KAREKÖKLÜ SAYILAR

DERS-4 KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI $a\sqrt{b}$ BİÇİMİNDE YAZMA


a) Tam Kare Sayılar

Karekök içerisindeki bir tam kare sayıyı, karekök dışına tamsayı olarak çıkarırız.

Örneğin, $\sqrt{25}=\sqrt{5.5}=\sqrt{5^2}=5$

Karekök içerisindeki sayının tam kare olduğunu, asal çarpanlarına ayrılmış biçiminden anlayabiliriz. Tam kare bir sayı çarpanlarına ayrıldığında, eğer tüm çarpanların üsleri çift sayı ise, bu sayı bir tam kare sayıdır.

$36=2^2.3^2$ tam kare sayısındaki tüm üsler ($2$ ve $2$) çift sayıdır.

$144=2^4.3^2$ tam kare sayısındaki tüm üsler ($4$ ve $2$) çift sayıdır.

 

$5^8.7^{12}.11^{64}$ sayısınının tüm üsleri ($8$, $12$ ve $64$) çift sayı olduğu için bu sayı bir tam kare sayıdır.

Böyle bir sayının karekökünü bulmak için çarpanların kuvvetlerini ikiye böleriz.

$5^8.7^{12}.11^{64}$ sayısının karekökü $5^4.7^6.11^{32}$’dir.

a) Tam Kare Olmayan Sayılar

Karekök içerisindeki sayı tam kare değilse, bu sayının tamamını karekök dışına alamasak da, bazı sayılar için çarpanlarının bir kısmını dışarı çıkarabiliriz.

Örneğin, $20$’yi çarpanlarına ayırırsak,

$20=2^2.5$

buluruz. Eşitliğin her iki tarafını da kök içerisine aldığımızda

$\sqrt{20}=\sqrt{2^2.5}$

buluruz. Kök içerisindeki $2^2$ bir tam kare olduğu için, kökün dışına $2$ olarak çıkar. $5$ ise, herhangi bir tam sayının karesi olmadığı için kök içerisinde kalır.

$\sqrt{20}=\sqrt{2^2.5}=2\sqrt{5}$

Örnek: $\sqrt{50}$ sayısını çarpanlarına ayırırsak,

$50=2.5^2$ olduğu için,

$\sqrt{50}=\sqrt{2.5^2}=5\sqrt{2}$

olur.

Örnek: $\sqrt{18}$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali,

$18=2.3^2$ olduğu için,

$\sqrt{18}=\sqrt{2.3^2}=3\sqrt{2}$

olur.

 

Köklü sayının çarpanlara ayrılmış biçiminde, çarpanların kuvvetleri $2$’den yüksek olabilir.

Örnek: $\sqrt{27}$ sayısının çarpanlara ayrılmış biçimi

$27=3^3$ olduğu için

$\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=\sqrt{3^2.3}=3\sqrt{3}$

eşitliğini elde ederiz.

Örnek: $\sqrt{72}$ sayısının çarpanlara ayrılmış biçimi

$72=2^3.3^2$ olduğu için

$\sqrt{72}=\sqrt{2^3.3^2}=\sqrt{2^2.2.3^2}=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

eşitliğini elde ederiz.

Örnek: $\sqrt{32}$ sayısının çarpanlara ayrılmış biçimi

$32=2^5$ olduğu için,

$\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=\sqrt{2^2.2^2.2}=2.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

eşitliğini elde ederiz.

Veya son örnek için, $32=16.2=4^2.2$ eşitliğini de kullanabiliriz. Bu durumda

$\sqrt{32}=\sqrt{16.2}=\sqrt{4^2.2}=4\sqrt{2}$

gene aynı sonucu elde ederiz.

 

Köklü bir sayının asal çarpanlara ayrılmış biçiminde, birden fazla tam kare olabilir.

Örnek: $\sqrt{180}$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali,

$180=2^2.3^2.5$ olduğundan

$\sqrt{180}=\sqrt{2^2.3^2.5}$

yapar. Kök içerisinde hem $2$ hem de $3$ ün ikinci kuvveti olduğundan, her ikisini de çarpım halinde kök dışarısına alabiliriz.

$\sqrt{2^2.3^2.5}=2\sqrt{3^2.5}=2.3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

Dolayısıyla, $\sqrt{180}$, $6\sqrt{5}$’e eşittir.

 

Yukarıdaki örnekten yola çıkarak, bir sayının birden fazla $a \sqrt{b}$ biçiminin olduğunu söyleyebiliriz. Aşağıdakilerin tamamı $a \sqrt{b}$ biçimindedir.

$1\sqrt{180}=2\sqrt{45}=3\sqrt{20}=6\sqrt{5}$

 

Bir sayının $a \sqrt{b}$ biçiminde $a+b$’nin en düşük değeri için, mümkün olan tüm çarpanlar kök dışarısına çıkarılmalıdır. Örneğin, $\sqrt{180}$ için, en düşük $a+b$ değeri $6\sqrt{5}$ gösterimi ile elde edilir.

Aşağıdaki sayıları $b$ en küçük olacak şekilde $a \sqrt{b}$ biçiminde yazınız.

a) $\sqrt{125}$

b) $\sqrt{375}$

c) $\sqrt{98}$

d) $\sqrt{108}$

e) $\sqrt{242}$

Tam Sayıyı Karekök İçerisine Alma


Yukarıda kök içerisindeki sayıyı kök dışına çıkarmayı öğrenmiştik. Bu bölümde, yukarıda yaptığımız işlemin tam tersini yapacağız.

Genel olarak, kök içerisine almada

$a \sqrt{b}=\sqrt{a^2.b}$

formülü geçerlidir. Çarpım halindeki bir sayıyı kök içerisine alırken, bu sayının karesini alırız.

$2 \sqrt{3}=\sqrt{2^2.3}=\sqrt{4.3}=\sqrt{12}$

$5 \sqrt{8}=\sqrt{5^2.8}=\sqrt{25.8}=\sqrt{200}$


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Bir karenin alanı, kenar uzunlukları $12$ cm ve $18$ cm olan bir dikdörtgenin alanına eşittir. Bu karenin bir kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

A) $ 6\sqrt{6}$

B) $ 4\sqrt{6}$

C) $ 3\sqrt{3}$

D) $ 6\sqrt{3}$

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımı olan $12.18$'dir. Karenin bir kenarı ise alanının kareköküdür. $\sqrt{12.18}=\sqrt{4.3.9.2}=2.3\sqrt{3.2}=6\sqrt{6}$ Cevap:A


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$a$ ve $b$ birer tamsayı olmak üzere, $\sqrt{72}$ sayısı $a\sqrt{b}$ biçiminde yazılırsa $a+b$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

Çözüm:

$\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=6\sqrt{2}$ olduğu için $a+b=6+2=8$ olabilir. Cevap B


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?

A) $\sqrt{40}=4\sqrt{10}$

B) $\sqrt{48}=2\sqrt{6}$

C) $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

D) $\sqrt{99}=9\sqrt{2}$

Çözüm:

$\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=\sqrt{6^2.2}=6\sqrt{2}$ işlemi doğrudur. Cevap: C


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$a$ ve $b$ birer doğal sayıdır.

$\sqrt{192}$ sayısı $a \sqrt{b}$ biçiminde yazıldığında $a$’nın en büyük değeri için $a+b$ kaç olur?

A) 7

B) 11

C) 16

D) 28

Çözüm:

$\sqrt{192}=\sqrt{64.3}=8\sqrt{3}$ olduğundan, $a+b=11$'dir. Cevap:B

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) $5\sqrt{5}$, b) $5\sqrt{15}$, c) 7$\sqrt{2}$, d) 6$\sqrt{3}$, e) 11$\sqrt{2}$