DERS-9 ARALARINDA ASAL SAYILAR


İki pozitif tam sayının 1’in dışında ortak böleni yoksa, bu sayılar aralarında asaldırlar.


8 ile 15'in aralarında asal olup olmadıklarına bakalım.

8’in bölenleri: 1, 2, 4 ve 8'dir.

15’in bölenleri: 1, 3, 5 ve 15’tir.

Bölenlerine baktığımızda 8 ve 15'in 1 dışında ortak böleni olmadığını görüyoruz. Bu nedenle, 8 ile 15'in aralarında asal olduklarını söyleyebiliriz.

15 ile 25'in aralarında asal olup olmadıklarına bakalım.

Her iki sayının da birler basamağında 5 rakamı olduğu için iki sayı da 5'e kalansız bölünür. Bu nedenle, 15 ve 25 aralarında asal değildir.

Aşağıdaki sayılar aralarında asaldırlar.

a) 25 ile 32, b) 7 ile 5, c) 63 ile 100, d) 54 ile 35

Aşağıdaki sayılar aralarında asal değildirler..

a) 7 ile 49, b) 18 ile 207, c) 42 ile 44, d) 39 ile 65

Aralarında asal olan sayıların ortak asal çarpanı olmaz, tüm asal çarpanları farklıdır. Bu nedenle, tüm çarpanları kontrol etmek yerine, ortak asal çarpan olup olmadığını kontrol edebiliriz.

İKİ SAYININ ARALARINDA ASAL OLUP OLMADIKLARINI NASIL ANLARIZ?

Verilen iki sayının ortak bir böleni olduğunu görüyorsak, işlem yapmadan aralarında asal olmadıkları sonucunu çıkarabiliriz. Diğer durumlar için aşağıdaki yöntemlerden birini kullanabiliriz.

YÖNTEM 1: ASAL ÇARPANLARI BULMA

İki sayının aralarında asal olup olmadıklarını anlamak için

  • Sayılardan birinin asal çarpanlarını buluruz.
  • Bulduğumuz asal çarpanların diğer sayıyı kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
  • Eğer bulduğumuz asal sayılardan hiçbiri diğer sayıyı tam bölmüyorsa, bu sayılar aralarında asaldır. Diğer durumlarda ise aralarında asal değildirler.

Bu yöntemde sayılardan hangisinin asal çarpanlarını bulduğumuz farketmez. Gözünüze kolay görüneni seçebilirsiniz.

Seçtiğimiz sayının asal çarpanlarını bulabilmek için birkaç yöntem kullandığımızı hatırlayalım. Biz asal çarpanları bulabilmek için bölen listesi oluşturacağız.

105 ile 32'nin aralarında asal olup olmadıklarına bakalım.

32'nin bölen listesi aşağıdaki gibidir.

Bölen Listesi

Bu listeye göre 32'nin tek asal çarpanı 2'dir. 105 ile 32'nin aralarında asal olup olmadıklarını anlamak için, 105'in 2'ye kalansız bölünüp bölünmediğini test etmemiz yeterlidir.

105 tek olduğu için 2'ye kalansız bölünmez. Bu nedenle, 105 ile 32'nin aralarında asal olduklarını söyleyebiliriz.

32 yerine 105'in asal çarpanlarını bulup, bu sayıların 32'yi kalansız bölüp bölmediklerini test etsek de aynı sonuca ulaşırdık.

ARALARINDA ASAL SAYILARLA İLGİLİ 10 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK İÇİN TIKLAYIN.

Alıştırmalar

Aşağıdaki sayıların aralarında asal olup olmadıklarını bulalım.

a) 42 ile 49, b) 35 ile 18, c) 75 ile 72, d) 108 ile 125, e) 27 ile 56

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR'IN ÇÖZÜMLERİ

20 ONLINE ALIŞTIRMA İÇİN TIKLAYIN!

YÖNTEM 2: EBOB BULMA

İki tam sayının EBOB'u 1'e eşitse, bu sayılar aralarında asaldır. Bu nedenle, verilen sayıların EBOB'unu bularak, aralarında asal olup olmadıklarını anlayabiliriz.

YÖNTEM 3: EKOK BULMA

İki tam sayının EKOK'u çarpımlarına eşitse, bu sayılar aralarında asaldır. EKOK'u bularak da verilen sayıların aralarında asal olup olmadıklarını anlayabiliriz. Yalnız bu yöntem ilk ikisinden daha uzun sürer.

ARALARINDA ASAL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

  • Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı (EKOK'u), bu sayıların çarpımına eşittir.
  • Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni (EBOB'u), 1’e eşittir.
  • Aralarında asal sayılar asal olmak zorunda değildir. Örneğin, 8 de 15 de asal olmadığı halde, bu sayılar aralarında asaldır.
  • İki farklı asal sayı aralarında da asaldır. (Örneğin, 5 ve 13 aralarında asaldır.)
  • Ardışık sayılar aralarında asaldır. (Örneğin, 21 ve 22 aralarında asaldır.)
  • İki çift sayı aralarında asal olamaz.
  • Kesir halinde yazıldığında aralarında asal sayılar sadeleşmez. (Örneğin, 44 ile 21 aralarında asal olduğundan $\frac{44}{21}$ sadeleşmez.)

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

a) Aralarında asal değil, b) Aralarında asal , c) Aralarında asal değil, d) Aralarında asal , e) Aralarında asal

ALIŞTIRMALAR'IN ÇÖZÜMLERİ