DERS-2 ASAL SAYILAR (TEKRAR)

ASAL SAYI NEDİR?


Yalnız 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.


Bir asal sayının yalnızca iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi. Bir asal sayıyı 1'den büyük iki tam sayının çarpımı şeklinde yazamayız.

  • 3 asaldır; çünkü yalnızca 1'e ve 3’e kalansız bölünür.
  • 7 asaldır; çünkü yalnızca 1'e ve 7'ye kalansız bölünür.
  • 4 asal değildir; çünkü 1'in ve 4’ün yanı sıra, 2’ye de kalansız bölünür.
  • 6 asal değildir; çünkü 1'e ve 6’ya ek olarak, 2'ye ve 3’e kalansız bölünür.

En küçük 15 asal sayı aşağıda listelenmiştir. Bu sayıların asal olduklarını ezbere biliyor olmamız, bazı soruları çözerken bize hız kazandıracaktır.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47

Merak ediyorsanız, İLK 1000 ASAL SAYIya bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz. Yalnız yukarıdaki 15 sayıyı bilmemizin büyük ihtimalle yeterli olacağını unutmayalım. Diğer sayıları ezberlemeye çalışmayalım!!!

ÖZELLİKLERİ

1 asal değildir. (YAZI: 1 Neden Asal Değil?)

En küçük asal sayı 2’dir.

2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. Çift olan sayılar 2'ye kalansız bölünür. 2'den büyük tüm çift sayıların en az üç çarpanı vardır: 1, 2 ve sayının kendisi. Bu nedenle, 2'den büyük çift sayılar asal olamaz.

Asal sayılar bir dizi halinde sonsuza kadar gider ve sonsuz tane asal sayı vardır.

BİR SAYININ ASAL OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?

Asal sayıları veren bir formül bulunmamaktadır. Yine de, verilen bir sayının asal olup olmadığını farklı yöntemler kullanarak bulabiliriz.

Verilen sayının bazı bölünebilme kurallarına uyup uymadığını kontrol edebiliriz. 5'ten büyük bir sayı,

  • çiftse,
  • birler basamağında 5 rakamı varsa veya
  • rakamları toplamı 3'ün tam katı ise,

asal değildir. Bu yöntemi kullanarak, asal olmayan bazı çok büyük sayıların dahi asal olmadıklarını anlayabiliriz. Örneğin, 75 542, çift olduğu için asal değildir; 82 235, birler basamağında 5 rakamı olduğu için asal değildir; 67 341, rakamlarının toplamı 21 olduğu için asal değildir.

Bazı büyük sayıların asal olmadıkları açıktır. Örneğin, 13013 veya 2613 sayılarının 13'e kalansız bölündüğünü görebilmek için bu bu sayıları bölmemiz gerekmez.

Eğer önceki iki yöntemle bir sonuç elde edemiyorsak, verilen sayının çarpanlarını bulabiliriz. Bir sayının yalnız iki çarpanı varsa asaldır.

Çarpanları bulmaktan daha kısa sürede sonuca ulaşmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz.

  • Verilen sayıya $\mathbf{a}$ diyelim. İlk adımda, karesi $\mathbf{a}$'dan büyük en küçük asal sayıyı buluruz. Bu sayı $\mathbf{b}$ olsun.
  • $\mathbf{b}$'den küçük asal sayıların $\mathbf{a}$'yı tam bölüp bölmediğini test ederiz. Tüm sayıları test etmemiz gerekmez, sadece asal olanlar yeterli olur.
  • Eğer denediğimiz sayıların hiçbiri $\mathbf{a}$'yı tam bölmüyorsa, $\mathbf{a}$ asaldır. Diğer durumlarda $\mathbf{a}$ asal değildir.

77'nin asal olup olmadığını bulalım.

Karesi 77'den büyük en küçük asal sayı 11'dir. ($7 \times 7 = 49$ ve $11 \times 11 = 121$)

77'nin 11'den küçük asal sayılara (2, 3, 5 veya 7'ye) tam bölünüp bölünmediğini test etmemiz gerekiyor.

  • 77, tek olduğu için 2'ye tam bölünmez.
  • Rakamları toplamı (7 + 7 = 14) 3'ün tam katı olmadığı için 3'e de tam bölünmez.
  • Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olmadığı için 5'e de tam bölünmez.
  • 77, 7'ye tam bölünür. Bu nedenle, 77 asal değildir.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

53'ün asal olup olmadığını bulalım.

Karesi 53'ten büyük en küçük asal sayı 11'dir. ($7 \times 7 = 49$ ve $11 \times 11 = 121$)

53'ün 11'den küçük asal sayılara (2, 3, 5 veya 7'ye) tam bölünüp bölünmediğini test etmeliyiz.

  • 53, tek olduğu için 2'ye tam bölünmez.
  • 53'ün rakamları toplamı (5 + 3 = 8) 3'ün tam katı değildir, bu sayı 3'e tam bölünmez.
  • Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olmadığı için 5'e tam bölünmez.
  • 7'ye bölersek kalan 4 olur.

Denediğimiz bu sayılara tam bölünmediği için 53'ün asal olduğunu söyleyebiliriz.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

Alıştırmalar

Aşağıdaki sayıların asal olup olmadıklarını bulalım.

a) 8, b) 33, c) 43, d) 105, e) 71

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ

HATIRLATMALAR

Sayı Bölünebilme kuralı
2 Birler basamağındaki rakam çift olmalı.
3 Rakamları toplamı 3'ün tam katı olmalı.
5 Birler basamağında 0 veya 5 rakamı olmalı.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

a) Asal Değil, b) Asal Değil, c) Asal, d) Asal Değil, e) Asal

- ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ