DERS-3 ASAL ÇARPAN NEDİR?


Bir sayının çarpanlarını bulursak, bu çarpanlardan bazılarının asal olduğunu ve bazılarının ise asal olmadığını görürüz. Asal olan çarpanlara, bu sayının asal çarpanları deriz.


Bir sayının asal çarpanlarını bulabilmek için, önce tüm çarpanlarını bulup, daha sonra bunlar içerisinden asal olmayanları eleyebiliriz. (Bir sonraki derste asal çarpanları bulmanın daha kolay bir yolunu öğreniyoruz.)

örnek 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu çarpanlardan asal olanlar sadece 2 ve 3'tür. (1, 4, 6 ve 12 asal olmayan sayılardır.) Bu nedenle, 12’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

örnek 21 sayısının çarpanları 1, 3, 7 ve 21'dir. Bu çarpanlardan sadece 3 ve 7 asaldır. (1 ve 21 asal olmayan sayılardır.) Bu nedenle, 21’nin asal çarpanları 3 ve 7’dir.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

2'den 250'ye kadar olan sayıların asal çarpanlarına bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

Alıştırmalar

Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını bulalım.

a) 8, b) 15, c) 33, d) 25, e) 30

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ

  • İki farklı sayının asal çarpanları aynı olabilir. Yukarıda 12'nin asal çarpanlarının 2 ve 3 olduğunu gördük. 6 sayısını irdelediğimizde çarpanlarının 1, 2, 3 ve 6 ve asal çarpanlarının 2 ve 3 olduğunu görürüz. Bu nedenle 6'nın asal çarpanları, 12’ninkiler ile aynıdır: 2 ve 3.
  • Asal olan bir sayının tek bir asal çarpanı vardır: kendisi. Örneğin, 7'nin iki çarpanı vardır: 1 ve 7. Bunlardan, 1 asal olmadığı için, 7’nin tek asal çarpanı 7’dir.
  • $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$'yi tam bölüyorsa ( $\mathbf{b}$, $\mathbf{a}$'nın tam katıysa), $\mathbf{a}$'nın tüm asal çarpanları aynı zamanda $\mathbf{b}$'nin de asal çarpanıdır. Örneğin, 10, 90'ı tam böler. 10'un asal çarpanları 2 ve 5; 90'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 10'un tüm asal çarpanları, aynı zamanda 90'ın asal çarpanıdır.

ASAL ÇARPANLAR NASIL BULUNUR?

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.

A) TÜM ÇARPANLARI BULARAK

Yukarıdaki örneklerde yaptığımız gibi, verilen sayının tüm çarpanlarını bulup, bunların içinden asal olanları seçebiliriz. Yalnız özellikle büyük sayılar için bu yöntemle asal çarpanları bulmak çok uzun sürer. Diğer iki yöntemi kullanarak asal çarpanları daha kolay bulabiliriz.

B) BÖLEN LİSTESİNİ KULLANARAK

Sonraki derslerden birinde bölen listesi kullanarak bir sayıyı çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz. Bu işlemi yaptığımızda çizginin sağında kalan sayılar asal çarpanlardır.

Örneğin, 60'ı asal çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki listeyi oluştururuz.

Bölen Listesi

Bu listeyi oluşturduktan sonra, çizginin sağında 60'ın asal çarpanları bulunabilir. Aynı sayıları tekrarlamamız gerekmediği için bu listeye göre 60'ın asal çarpanlarının 2, 3 ve 5 olduğunu söyleyebiliriz.

C) ÇARPAN AĞACINI KULLANARAK

Bölen listesinin dışında, çarpan ağacı oluşturarak da bir sayıyı çarpanlarına ayırabiliriz. Bu ağacı oluşturduktan sonra, daire içerisine aldığımız sayıların asal çarpanlar olduğunu görebiliriz.

Örneğin, 72'nin çarpan ağacı aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

Çarpan Ağacı Örnek

Bu ağaçta daire içerisine alınan sayılar (3, 3, 2, 2 ve 2) 72'nin asal çarpanlarıdır. Aynı sayıları tekrarlamamız gerekmediği için 72'nin asal çarpanlarının 2 ve 3 olduğunu söyleyebiliriz.

Alıştırmaların Cevapları

a) 2, b) 3 ve 5, c) 3 ve 11, d) 5, e) 2, 3 ve 5

ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ