DERS-4 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Bu derste, asal çarpanlara ayırmanın ne anlama geldiğini ve bazı özelliklerini öğreniyoruz. Bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayıracağımızı ise, sonraki iki derste işliyoruz.


ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Bundan yaklaşık 2300 yıl önce Euclid (Tr. okunuşu: Öklid) tarafından yapılan çıkarımlara göre

  • 1'den büyük tam sayılar ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.
  • Bu çarpım her bir sayı için farklıdır.

Örneğin, $24$ sayısı, $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ şeklinde yazılabilir.

Tam sayıyı kalansız böleceğinden, çarpımda kullanılan asal sayılar, bu sayının asal çarpanlarıdır.


Bir pozitif tam sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmasına , asal çarpanlara ayırma adı verilir.


Bir sayı asal çarpanlara ayrılırken, asal çarpanlarının tümü en az bir kere kullanılır.

Aşağıda bazı tam sayıların asal çarpanlara ayrılmış hallerini görüyoruz. Bu çarpımlarda, sayıların asal çarpanlarının en az bir defa kullanıldığına dikkat edelim.

  • $6 = 2 \times 3$

    6'nın iki asal çarpanı var: 2 ve 3. Bu iki asal çarpanı çarparsak, 6 elde ederiz.

  • $12 = 2 \times 2 \times 3$

    12'nin iki asal çarpanı var: 2 ve 3. İki tane 2'yi ve bir tane 3'ü çarparsak, 12 elde ederiz.

  • $25 = 5 \times 5$

    25'in sadece bir asal çarpanı var: 5. Bu asal çarpanı kendisiyle çarparsak, 25 elde ederiz.

  • $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

    60'ın üç asal çarpanı var: 2, 3 ve 5. 60'ı elde etmek için iki tane 2'yi, bir tane 3'ü ve bir tane 5'i çarpmalıyız.

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılışı tektir, birden fazla şekilde ayrılmaz. Ayrıca, her sayının çarpanlara ayrılmış hali de farklıdır.

Bir asal sayının tek asal çarpanı kendisi olduğu için böyle bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak saçma gelebilir; ama illa ki ayırmak istersek kendisine eşitleyebiliriz.

  • $7 = 7$

  • $17 = 17$

  • $31 = 31$


ASAL ÇARPANLARI ÜSLÜ ŞEKİLDE GÖSTERME

Daha kısa bir gösterim için aynı sayıyı bir kaç defa çarpmak yerine üslü gösterim kullanabiliriz.

  • $8 = 2^3$

    $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ (3 tane 2'yi çarptığımız için 2'nin üssü 3 olmalıdır.)

  • $12 = 2^2 . 3$

    $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2.3$ (Çarpımda bir defa kullanılan 3'ün üzerine 1 yazmamıza gerek yok.) ( "$.$" ile "$\times$" sembollerinin aynı anlama geldiğini unutmayalım.)

  • $36 = 2^2 . 3^2$

    $12 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2.3^2$

  • $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

    $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2.3.5$

Bu bağlantıda 2'den 1000'e kadar olan sayıların çarpanlarına ayrılmış hallerini bulabilirsiniz.


ASAL ÇARPANLARINA AYRILMIŞ SAYIYI BULMA

Çarpanlara ayrılmış hali verilen bir sayının ne olduğunu bulmak için bu çarpımı gerçekleştirip sonucu bulmamız yeterlidir.

Çarpanlara ayrılmış hali $2^2.3^2$ olan sayıyı bulalım.

$2^2 . 3^2 = 2 . 2 . 3 . 3 = 36$


BİR SAYI ASAL ÇARPANLARINA NASIL AYRILIR?

Küçük sayıların asal çarpanlarını zihinden kolayca bulabiliriz, yalnız büyük sayılar için bu işlemleri zihinden yapmak zor olabilir. Çarpanlara ayırma işlemi için iki farklı yöntem bulunmaktadır:

  1. Bölen Listesi Yöntemi
  2. Çarpan Ağacı Yöntemi

Sonraki iki derste, bu yöntemleri kullanarak bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayırdığımızı öğreniyoruz.

HATIRLATMALAR

$2^2$ (iki üssü iki) şeklinde yazımlara üslü ifade denir. Bir üslü ifadede, alttaki sayıya taban, sağ üstteki küçük yazılmış sayıya ise üs denir.

Üslü Sayılar

Üs, tabandaki sayının kaç kere çarpıldığını gösterir.

Örneğin,

$2^1=2$

$2^2=2.2$

$2^3=2.2.2$

$2^4=2.2.2.2$

$3^1=3$

$3^2=3.3$

$3^3=3.3.3$ ve

$3^4=3.3.3.3$’tür.