OLASILIK

DERS-5 AYRIK OLAYLAR

---

TANIM: İki olayın ortak çıktıları yoksa bu olaylara ayrık olaylar denir.

---

Örneğin, zar atıldığında

• sonucun tek sayı olması olayı ile
• sonucun çift sayı olması olayı

ayrıktır. Çünkü tek sayı gelme olayındaki çıktılar (1, 3 ve 5); ve çift sayı gelme olayındaki çıktılar (2, 4 ve 6) arasında ortak bir çıktı yoktur.

Bir zar atıldığında

• sonucun tek sayı olma olayı ile,
• sonucun asal sayı olma olayı

ayrık değildir. Çünkü tek sayı gelme olayının çıktıları (1, 3 ve 5) ile asal sayı gelme olayının çıktıları (2, 3 ve 5) arasında ortak olanlar (3 ve 5) vardır.

Birbirinin tersi olan olaylar ayrıktır.

Örneğin,

• Zarın tek gelmesi olayı ile tek gelmemesi olayı ayrıktır.
• Atılan zarın tam kare olması ile tam kare olmaması olayları ayrıktır.

AYRIK OLAYLARIN OLASILIKLARI

Ayrık iki olayın birleşiminden oluşan bir olayın olasılığı, bu iki olayın olasılıklarının toplamına eşittir.

Örneğin, iki ayrık olay düşünelim:

• Atılan zarın 4 gelmesi olayı ile
• Atılan zarın tek gelmesi olayı

Bu iki olayın birleşimi ile oluşturulan olay

Atılan zarın 4 VEYA tek gelmesi

ile ifade edilir.

Tanımlanan bu olayın olasılığı ise, ayrık iki olayın olasılıklarının toplamıdır.

$$(\text{Zarın 4 veya tek gelme olasılığı}) = (\text{Zarın 4 gelme olasılığı}) + (\text{Zarın tek gelme olasılığı})$$

Birbirinin tersi olan olayların birleşimi tüm çıktıları verir ve olasılığı 1’dir. Örneğin, bir zarın tek veya çift gelmesi olayının olasılığı 1’dir.

ÖRNEK 1:

Bir torbada 3 siyah, 5 kırmızı ve 4 yeşil top bulunmaktadır. Rasgele çekilen bir topun siyah veya yeşil olma olasılığını bulalım.

Çekilen topun siyah olması ile yeşil olması olayları ayrıktır.

$$\text{Çekilen topun siyah olma olasılığı}= {\text{Siyah topların sayısı} \over \text{Tüm topların sayısı}}={3 \over 12}$$

$$\text{Çekilen topun yeşil olma olasılığı}= {\text{Yeşil topların sayısı} \over \text{Tüm topların sayısı}}={4\over12}$$

Topun siyah veya yeşil olma olasılığını bulmak için yukarıda bulduğumuz olasılıkları toplamamız gerekir.

$$\text{Çekilen topun siyah VEYA yeşil olma olasılığı}={3\over12}+{4\over12}={7\over12}$$

ÖRNEK 2:

Bir torbaya 1’den 100’e kadar olan sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya atılmıştır. Çekilen sayının tek basamaklı veya 80’den büyük olma olasılığını bulalım.

Tek basamaklı bir sayı 80’den büyük olamayacağı için, çekilen sayının tek basamaklı olması ile 80’den büyük olma olayları ayrıktır. Bu iki olayın olasılıklarını ayrı ayrı bulup toplarsak, istenilen olasılığı buluruz.

$$\text{Sayının tek basamaklı olma olasılığı}={\text{Tek basamaklı sayıların sayısı} \over \text{Tüm kağıtların sayısı}}={10\over100}$$

$$\text{Sayının 80’den büyük olma olasılığı}={\text{80’den büyük sayıların sayısı}\over \text{Tüm kağıtların sayısı}}={20\over 100}$$

Olasılıkların toplamı bize sonucu verir.

$$\text{Sayının tek basamaklı VEYA 80’den büyük olma olasılığı}={10\over100}+{20\over100}=0,3$$

Her zaman iki ayrık olayın birleşimi soru kökünde açık açık belirtilmeyebilir.

ÖRNEK 3:

Birinde 5 kırmızı ve 10 mavi top; diğerinde 10 kırmızı ve 5 mavi top bulunan iki torbanın her birinden birer top çekilecektir. Çekilen topların renklerinin birbirinden farklı olma olasılığını bulalım.

İki topun farklı renkte olması, toplardan birinin kırmızı ve diğerinin mavi olması anlamına gelir. Fakat soruda çekilen topların hangisinin mavi olması gerektiği yönünde bir kısıtlama konulmamıştır. Bu nedenle, istenilen olay,

• birinci torbadan mavi, ikinciden kırmızı top çıkma ve
• birinci torbadan kırmızı, ikinci torbadan mavi top çıkma

olaylarının birleşimidir. Sonucu bulmak için, bu iki olayın olasılıklarını ayrı ayrı bulup toplamamız gerekir.

Birinci torbadan top çekme ile ikinci torbadan top çekme bağımsız olduğu için,

$$\text{1. torbadan mavi ve 2. torbadan kırmızı top çıkma olasılığı}=$$

$$(\text{1. torbadan mavi top çıkma olasılığı}) \times (\text{2. torbadan kırmızı top çıkma olasılığı})$$

olur. Bu olasılık ise,

$${10 \over 15}. {10\over15}={4 \over 9}$$

olur.

Benzer şekilde ikinci olayın olasılığını,

$$\text{1. torbadan kırmızı ve 2. torbadan mavi top çıkma olasılığı}=$$

$$(\text{1. torbadan kırmızı top çıkma olasılığı}) \times (\text{2. torbadan mavi top çıkma olasılığı})$$

$$={5\over15}.{5\over15}={1\over9}$$

bulunur.

Ayrık bu iki olayın olasılığını toplarsak, sonucu

$${4\over9}+{1\over9}={5\over9}$$

buluruz.

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

Soru:(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sorusu)

Üç kutunun her birinde aynı özelliğe sahip 1 ve 2 sayılarının yazılı olduğu ikişer kart vardır.

Bu kutulardan her birinden rasgele birer kart alındığında, alınan bu kartların üzerinde yazılı olan sayıların toplamının 5 olma olasılığı kaçtır?

A) $ {1 \over 4}$

B) $ {3 \over 8}$

C) $ {1 \over 2}$

D) $ {5 \over 8}$

Çözüm:

Seçilen kartların üzerindeki sayıların toplamının 5 olabilmesi için, bu sayılardan ikisinin 2 ve birinin 1 olması gerekir. Bu olayın gerçekleşmesi için 1 olan kartın hangi kutudan çekildiği farketmez. Bu nedenle, olasılığı istenilen olayı

$$\text{(İki kartı 2 ve bir kartın 1 olması)=}$$

$$\text{(Birinci kartın 1 ve diğer iki kartın 2 olması) VEYA}$$

$$\text{(İkinci kartın 1 ve diğer iki kartın 2 olması) VEYA}$$

$$\text{(Üçüncü kartın 1 ve diğer iki kartın 2 olması)}$$

olarak tanımlayabiliriz. VEYA ile birleştirilen bu üç olay ayrıktır. Bu nedenle, iki kartın 2 ve bir kartın 1 olma olasılığı bu üç olayın olasılıkları toplamına eşittir.

$$\text{Birinci kartın 1, diğer iki kartın 2 olma olasılığı=}$$

$$\text{(Birinci kartın 1 olma olasılığı)}\times$$

$$\text{(İkinci kartın 2 olma olasılığı)}\times$$

$$\text{(Üçüncü kartın 2 olma olasılığı)=}$$

$${1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}={1 \over 8}$$

Benzer şekilde, ayrık diğer iki olayın da olasılıklarını ${1\over 8}$ buluruz. İstenilen olasılık bu üç ayrık olayın olasılıkları toplamına eşit olduğu için sonuç,

$${1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}={1 \over 8}$$

olur.

---