TEOG HAZIRLIK-BENZERLİK VE EŞLİK

DERS 1: ÜÇGENLERDE BENZERLİK ve EŞLİK


 

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

 

İki üçgenin iç açıları aynı ise, bu üçgenlere benzer üçgen denir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki iki üçgenin de iç açıları ..., ... ve ... olduğundan, bu üçgenler benzerdir.

 

İki üçgen arasındaki benzerliği göstermek için, ... işaretini kullanmaktayız. Yalnız, üçgenlerin benzerliğini gösterirken aynı olan açılar aynı sırada olmalıdır.

 

Örneğin, yukarıdaki üçgenler için A ile D açısı, B ile E açısı, C ile F açısı aynı olduğu için, bu iki üçgenin benzerliğini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

  • ABC ve DEF üçgenleri benzerdir, veya ABC ... DEF
  • BAC ve EDF üçgenleri benzerdir, veya BAC ... EDF
  • CAB ve FDE üçgenleri benzerdir, veya CAB ... FDE

Yukarıdaki ifadelerde aynı açılı köşeler aynı sıraya konulmuştur.

 

BENZER ÜÇGENLERDE DÖNÜŞÜM

 

Dönme

Dönme hareketi sonucu benzerlik bozulmaz.

Üçgenlerde Benzerlik

Benzer olan ABC ve DEF üçgenlerinden, DEF’yi döndürdüğümüzde, bu iki üçgen benzer kalmaya devam eder.

 

Yansıma

Yansıma hareketi sonucu benzerlik bozulmaz.

Üçgenlerde Benzerlik

Benzer olan ABC ve DEF üçgenlerinden DEF’nin herhangi bir eksene göre yansımasını aldığımızda, aradaki benzerlik bozulmaz.

 

İKİ ÜÇGENİN BENZER OLDUĞUNU NASIL ANLARIZ?

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için aşağıda verilen 3 şarttan birini kontrol edebiliriz.

 
  1. İç açıları eşit olan üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik

    Yukarıdaki ABC ve DFE üçgenlerinin iç açıları eşit olduğu için, bu üçgenler benzerdirler.

     
  2. İki üçgenin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran varsa, bu üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik

    ABC üçgeninin kenar uzunlukları, DEF üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katıdır. Bu nedenle, ABC ... DEF olur.

    ......

    ......

    ......

     
  3. İki üçgenin bir iç açısı eşit ve bu açıyı oluşturan iki kenarının uzunlukları arasında sabit bir oran varsa, bu üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik
     
 

BENZER ÜÇGEN ÖRNEKLERİ

 

Örnek 1:

Benzer üçgenlerle ilgili karşınıza çıkabilecek soru, birbirinden bağımsız ve yukarıdaki benzerlik şartlarına uyan üçgenler olabilir.

Üçgenlerde Benzerlik
 

Örnek 2:

Tabanları birbirine paralel içiçe üçgenler benzer üçgenlerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki ABC üçgeninin içerisinde, A köşesi ortak ADE üçgenini görmekteyiz. Eğer, DE ile BC birbirine paralelse,

... ve ...

olur. Bu iki üçgenin tüm açıları birbirine eşit olduğundan ADE...ABC olur. Böylece kenar uzunlukları arasında aşağıdaki gibi bir ilişki görürüz.

...=...=...

 

Örnek 3:

Tabanları birbirine paralel olmasa da, iç açılar birbirine eşitse, içiçe olan üçgenler benzerdirler.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda ABC üçgeni içerisinde ADE üçgenini görmekteyiz. Bu üçgenlerde A noktasındaki açılar ortaktır. DE ve BC birbirine paralel değildir. Eğer ... açısı ...’ye eşitse, bu üçgenlerin üçüncü iç açıları (... ve ...) birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda ABC ve AED üçgenleri benzer olur. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasında aşağıda gösterilen eşitlik bulunmaktadır.

...=...=...

Örnek 2 ile bu örnek arasındaki farka dikkat ediniz.

 

Örnek 4:

İki doğru ve paralel tabanlardan oluşan üçgenler benzerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda

  • A, C ve E noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • B, C ve D noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • AB ve DE birbirine paraleldir.

Bu durumda oluşan ACB ve ECD üçgenlerinin iç açıları birbirine eşit olur. Bu durum ACB ve ECD üçgenlerini benzer üçgen yapar. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır:

...=...=...

 

Örnek 5:

Tabanları paralel olmasa da, aşağıdaki gibi iç açıları aynı olan üçgenler benzerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda

  • A, C ve E noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • B, C ve D noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • ... ve ... açıları eşittir.

İki doğru arasında kalan ... ve ... açıları da eş olacağı için BAC ve EDC üçgenleri benzer olur. Bu üçgenlerde, kenar uzunlukları arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

...=...=...

 

ÜÇGENLERDE EŞLİK

Benzer olan iki üçgenin kenar uzunlukları eşitse veya kenar uzunluklarının oranları 1’se, bu üçgenler eştir.

Örnek:

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki, benzer ACB ve DCE üçgenlerinde |AC|=|CD| ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Böylece, diğer kenar uzunluklarının da eş olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

|BC|=|CE| ve |AB|=|DE|