TEOG HAZIRLIK-BENZERLİK VE EŞLİK

DERS 1: ÜÇGENLERDE BENZERLİK ve EŞLİK


 

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

 

İki üçgenin iç açıları aynı ise, bu üçgenlere benzer üçgen denir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki iki üçgenin de iç açıları $50^{\circ}$, $60^{\circ}$ ve $70^{\circ}$ olduğundan, bu üçgenler benzerdir.

 

İki üçgen arasındaki benzerliği göstermek için, $\cong$ işaretini kullanmaktayız. Yalnız, üçgenlerin benzerliğini gösterirken aynı olan açılar aynı sırada olmalıdır.

 

Örneğin, yukarıdaki üçgenler için A ile D açısı, B ile E açısı, C ile F açısı aynı olduğu için, bu iki üçgenin benzerliğini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

  • $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri benzerdir, veya $ABC \cong DEF$
  • $BAC$ ve $EDF$ üçgenleri benzerdir, veya $BAC \cong EDF$
  • $CAB$ ve $FDE$ üçgenleri benzerdir, veya $CAB \cong FDE$

Yukarıdaki ifadelerde aynı açılı köşeler aynı sıraya konulmuştur.

 

BENZER ÜÇGENLERDE DÖNÜŞÜM

 

Dönme

Dönme hareketi sonucu benzerlik bozulmaz.

Üçgenlerde Benzerlik

Benzer olan $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinden, $DEF$’yi döndürdüğümüzde, bu iki üçgen benzer kalmaya devam eder.

 

Yansıma

Yansıma hareketi sonucu benzerlik bozulmaz.

Üçgenlerde Benzerlik

Benzer olan $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinden $DEF$’nin herhangi bir eksene göre yansımasını aldığımızda, aradaki benzerlik bozulmaz.

 

İKİ ÜÇGENİN BENZER OLDUĞUNU NASIL ANLARIZ?

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için aşağıda verilen 3 şarttan birini kontrol edebiliriz.

 
  1. İç açıları eşit olan üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik

    Yukarıdaki $ABC$ ve $DFE$ üçgenlerinin iç açıları eşit olduğu için, bu üçgenler benzerdirler.

     
  2. İki üçgenin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran varsa, bu üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik

    $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları, $DEF$ üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katıdır. Bu nedenle, $ABC \cong DEF$ olur.

    $${|AB| \over |DE|}=2$$

    $${|AC| \over |DF|}=2$$

    $${|BC| \over |EF|}=2$$

     
  3. İki üçgenin bir iç açısı eşit ve bu açıyı oluşturan iki kenarının uzunlukları arasında sabit bir oran varsa, bu üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerde Benzerlik
     
 

BENZER ÜÇGEN ÖRNEKLERİ

 

Örnek 1:

Benzer üçgenlerle ilgili karşınıza çıkabilecek soru, birbirinden bağımsız ve yukarıdaki benzerlik şartlarına uyan üçgenler olabilir.

Üçgenlerde Benzerlik
 

Örnek 2:

Tabanları birbirine paralel içiçe üçgenler benzer üçgenlerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki $ABC$ üçgeninin içerisinde, $A$ köşesi ortak $ADE$ üçgenini görmekteyiz. Eğer, $DE$ ile $BC$ birbirine paralelse,

$m(\widehat{ADE})=m(\widehat{ABC})$ ve $m(\widehat{DEA})=m(\widehat{BCA})$

olur. Bu iki üçgenin tüm açıları birbirine eşit olduğundan $ADE \cong ABC$ olur. Böylece kenar uzunlukları arasında aşağıdaki gibi bir ilişki görürüz.

$${|AD| \over |AB|}={|AE| \over |AC|}={|DE| \over |BC|}$$

 

Örnek 3:

Tabanları birbirine paralel olmasa da, iç açılar birbirine eşitse, içiçe olan üçgenler benzerdirler.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda $ABC$ üçgeni içerisinde $ADE$ üçgenini görmekteyiz. Bu üçgenlerde $A$ noktasındaki açılar ortaktır. $DE$ ve $BC$ birbirine paralel değildir. Eğer $m(\widehat{ADE})$ açısı $m(\widehat{ACB})$’ye eşitse, bu üçgenlerin üçüncü içaçıları ($m(\widehat{AED})$ ve $m(\widehat{ABC})$) birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda $ABC$ ve $AED$ üçgenleri benzer olur. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasında aşağıda gösterilen eşitlik bulunmaktadır.

$${|AD| \over |AC|}={|AE| \over |AB|}={|DE| \over |BC|}$$

Örnek 2 ile bu örnek arasındaki farka dikkat ediniz.

 

Örnek 4:

İki doğru ve paralel tabanlardan oluşan üçgenler benzerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda

  • $A$, $C$ ve $E$ noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • $B$, $C$ ve $D$ noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • $AB$ ve $DE$ birbirine paraleldir.

Bu durumda oluşan $ACB$ ve $ECD$ üçgenlerinin iç açıları birbirine eşit olur. Bu durum $ACB$ ve $ECD$ üçgenlerini benzer üçgen yapar. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır:

|AC|/|CE|=|BC|/|CD|=|AB|/|DE|

 

Örnek 5:

Tabanları paralel olmasa da, aşağıdaki gibi iç açıları aynı olan üçgenler benzerdir.

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıda

  • $A$, $C$ ve $E$ noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • $B$, $C$ ve $D$ noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • $m(\widehat{BAC})$ ve $m(\widehat{EDC})$ açıları eşittir.

İki doğru arasında kalan $m(\widehat{ACB})$ ve $m(\widehat{DCE})$ açıları da eş olacağı için $BAC$ ve $EDC$ üçgenleri benzer olur. Bu üçgenlerde, kenar uzunlukları arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

$${|AC| \over |CD|}={|BC| \over |CE|}={|AB| \over |DE|}$$

 

ÜÇGENLERDE EŞLİK

Benzer olan iki üçgenin kenar uzunlukları eşitse veya kenar uzunluklarının oranları 1’se, bu üçgenler eştir.

Örnek:

Üçgenlerde Benzerlik

Yukarıdaki, benzer $ACB$ ve $DCE$ üçgenlerinde $|AC|=|CD|$ ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Böylece, diğer kenar uzunluklarının da eş olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

$|BC|=|CE|$ ve $|AB|=|DE|$