ÜSLÜ SAYILAR

DERS-7 BİLİMSEL GÖSTERİM


Bir sayının bilimsel gösteriminde

  • Tam sayı kısmında (virgülün solunda) 0’dan farklı tek bir rakam vardır ve
  • Bu sayı 10’un bir kuvveti ile çarpım şeklinde gösterilmiştir.

Bilimsel gösterim, sayının değerini değiştirmez; sadece aynı sayının farklı bir şekilde ifadesidir.

Aşağıda bilimsel gösterim örnekleri verilmiştir.

$1,234.10^3$

$7,3.10^{25}$

$6,2.10^{-21}$

$5.10^{12}$

Yukarıdaki tüm sayılardaki tam sayı kısmı (sırasıyla 1, 7, 6 ve 5) 0’dan farklı tek bir rakamdan oluşmuştur ve sayı 10’un bir kuvveti ile çarpılmıştır.

Aşağıdakiler ise, bilimsel gösterim DEĞİLDİR.

$0,5.10^2$

$0,02.10^1$

$18.10^{-5}$

$10.10^3$

Bu sayıların bilimsel gösterim OLMAMASININ nedeni, tam sayı kısmında 0’dan farklı tek bir rakam olmamasıdır. İlk iki örneğin tam sayı kısımları 0’dır. Son iki örnekte ise, tam sayı kısmında birden fazla rakam bulunmaktadır.

Bir sayının bilimsel gösteriminin nasıl bulunabileceğini anlayabilmek için, öncelikle bu sayının 10’un kuvvetleri ile çarpımı şeklinde nasıl yazılacağını öğrenmemiz gerekir.

BİR SAYIYININ 10’UN KUVVETLERİNİ İLE GÖSTERİMİ

$10$’un pozitif kuvvetlerini

$10^1=10$

$10^2=100$

$10^3=1000$

$....$

ve negatif kuvvetlerini

$10^{-1}=0,1$

$10^{-2}=0,01$

$10^{-3}=0,001$

$...$

hatırlayalım. Ayrıca, $10^0=1$’dir.

Aşağıda, $10$’un kuvvetlerini kullanarak, sırasıyla tam ve ondalıklı sayıların çeşitli gösterimlerini nasıl bulduğumuzu öğreniyoruz.

A) TAM SAYILAR

$32767$ gibi bir sayımız olduğunu düşünelim. $10^0=1$ olduğundan, aynı sayıyı $32767.10^0$ şeklinde de gösterebiliriz.

$32767=32767.10^0$

Şimdi bu sayıyı ${10 \over 10}$ ile çarpalım. (${10 \over 10}=1$ olduğu için, bu işlem sayının değerini değiştirmeyecektir.)

$$32767.{10 \over 10}.10^0={32767\over10}.10.10^0=3276,7.10.10^0=3276,7.10^1$$

Böylece sayının değerini değiştirmeden, aynı sayıyı $3276,7.10^1$ şeklinde de ifade edebileceğimizi görmüş oluyoruz.

$32767=3276,7.10^1$

Benzer şekilde $3276,7.10^1$ gösterimini de, ${10 \over 10}$ ile çarpalım

$$3276,7.{10 \over 10}.10^1={3276,7 \over 10}.10.10^1=327,67.10.10^1=327,67.10^2$$

Yukarıdaki işlemi gerçekleştirerek $327,67.10^2$’nin de $32767$’nin gösterimlerinden biri olduğunu bulmuş olduk. Eğer bu işlemi tekrarlarsak, $32767$ için

$32767.10^0$

$3276,7.10^1$

$327,67.10^2$

$32,767.10^3$

$3,2767.10^4$

$0,32767.10^5$

$0,032767.10^6$

$.....$

yukarıdakilere benzer yüzlerce gösterim bulabiliriz. Bu gösterimleri incelediğimizde,

Virgülü sola kaydırdığımızda, $10$’un kuvvetinin $1$ arttığını,

Virgülü sağa kaydırdığımızda ise, $10$’un kuvvetinin $1$ azaldığını görürüz.

 

B) ONDALIKLI SAYILAR

Tam sayılar gibi ondalıklı sayıları da $10$’un kuvvetleri ile çarpıp değişik şekillerde gösterebiliriz.

$10^0=1$ olduğu için $0,00032$ sayısını $0,00032.10^0$ şeklinde yazabiliriz.

$0,00032=0,00032.10^0$

Virgülü her sağa kaydırdığımızda $10$’un kuvveti $1$ azalacaktır.

$0, 00032.10^0$

$0,0032.10^-1$

$0,032.10^-2$

$0,32.10^-3$

$3,2.10^-4$

$32.10^-5$

$320.10^-6$

$....$

Yukarıdaki gösterimlerden tümü aynı sayıyı ifade etmektedir.

Bu sayı için, eğer istersek virgülü sola kaydırıp, üs değerini artırabiliriz.

$0, 000032.10^1$

$0, 0000032.10^2$

$0, 00000032.10^3$

$.....$

 

BİR SAYIYININ BİLİMSEL GÖSTERİMİ BULMA

Yukarıda $32767$ için bulduğumuz gösterimlerden sadece $3,2767.10^4$ bilimsel gösterimdir. Diğerlerinde, ya virgülün solunda birden fazla rakam var, ya da virgülün solunda $0$ rakamı var.

$0,00032$ için ise sadece $3,2.10^{-4}$ bu sayının bilimsel gösterimidir.

Eğer sayı açık olarak verilmişse, yukarıdaki yöntemleri kullanarak bilimsel gösterimi bulabiliriz.

Örneğin, $3456,0009$ sayısının bilimsel gösterimi için, bu sayıyı $3456,0009.10^0$ biçiminde yazıp, virgülü $3$ basamak sola kaydırabiliriz. Bu durumda üs $3$ artacağından, bu sayının bilimsel gösterimini $3,4560009.10^3$ olarak buluruz.

Aşağıdaki sayıların bilimsel gösterimini bulunuz.

a) $574600=$........

b) $87465874=$.......

c) $6363,7632=$.......

d) $90000000=$.......

e) $15=$......

f) $0,0000000123=$.........

g) $0,0002=$.........

h) $7=$.........

10’un bir kuvveti ile çarpılmış bir sayının bilimsel gösterimini bulabilmek için, virgülü kaydırıp, üs değerini değiştirebiliriz.

ÖRNEK:

$320.10^8$ sayısının bilimsel gösteriminde, virgül $3$’ün sağında olmalı. Virgülü $2$ basamak sola kaydırırsak, $10$’un kuvveti de $2$ artar. Dolayısıyla, $320.10^8=3,2.10^{10}$ olur.

ÖRNEK:

$0,002.10^{-4}$ sayısının bilimsel gösterimi bulmak için virgülü $3$ basamak sağa kaydırmalıyız. Bu durumda üs değeri $3$ azalır. $0,002.10^{-4}=2.10^{-7}$

Aşağıdaki sayıların bilimsel gösterimini bulunuz.

a) $721.10^8=$........

b) $35,6.10^3=$.......

c) $776,98.10^{-90}=$.......

d) $0,00059.10^{10}=$.......

e) $0,0875.10^{75}=$......


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Uranüs gezegeninin güneşe uzaklığı yaklaşık $2$ $871$ $000$ $000$ km'dir. Bu uzaklığın bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A)$2871.10^6$

B)$287,1.10^7$

C)$2,871.10^8$

D)$2,871.10^9$

Çözüm:

A ve B şıkları virgülün solunda birden fazla rakam olduğu için bilimsel gösterim değildir. $2$ $871$ $000$ $000$ sayısında 2'den sonra toplam $9$ rakam olduğu için bu sorunun doğru cevabı D'dir.


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısı, her gün bir önceki günün 10 katına çıkıyor.

Birinci günün sonunda kültürde $15$ $000$ bakteri olduğuna göre, 4. günün sonundaki bakteri sayısının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A)$1$ $500$ $000$

B)$1,5.10^6$

C)$15$ $000$ $000$

D)$1,5.10^7$$

Çözüm:

A ve C şıkları virgülün solunda birden fazla rakam olduğu için bilimsel gösterim değildir. Her gün için verilen sayıyı $10$ ile çarparsak, $4$. gün sonunda $15$ $000$ $000$ bakteri olur. $1$'in sağında $7$ rakam olduğu için, bu sayının bilimsel gösterimi $1,5.10^7$ olur.

Her gün için 10 ile çarpmak yerine, önce $15$ $000$ sayısının bilimsel gösterimini bulup, her gün için $10$'un kuvvetini $1$ artırabiliriz. $15$ $000$'in bilimsel gösterimi $1,5.10^4$'tür. 1. ve 4. günler arasında 3 gün geçtiği için, üssü 3 artırıp sonucu $1,5.10^7$ buluruz.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi bir sayının bilimsel gösterimidir?

A)$3,4.10^9$

B)$0,99.10^9$

C)$0,7.10^{-6}$

D)$11.10^{-8}$$

Çözüm:

B ve C şıklarında virgülün solunda 0 rakamı olduğu için bilimsel gösterim değildir. D şıkkında ise virgülün solunda 1'den fazla rakam vardır, bu nedenle D şıkkı da bilimsel gösterim olamaz. Şıklarda sadece A'da verilen sayı bilimsel gösterimdir.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazerete Sınavı Sorusu)

$400$ $000 \times 9000$ işleminin sonucunun bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A)$3,6.10^9$

B)$36.10^8$

C)$36.10^{9}$

D)$3,6.10^{10}$

Çözüm:

B ve C şıklarında virgülün solunda 1'den fazla rakam olduğu için bilimsel gösterim değildir. $400$ $000=4.10^5$ ve $9000=9.10^3$ olduğu için çarpımları $36.10^8$ olur. Bu sayının bilimsel gösterimi ise $3,6.10^9$'dur.


Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) $5,746.10^5$, b) $8,7465874.10^7$, c) $6,3637632.10^3$, d) $9.10^7$, e) $1,5.10^1$, f) $1,23.10^{-8}$, g) $2.10^{-4}$, h) $7.10^{0}$

Alıştırmalar-2

a)$7,21.10^{10}$, b)$3,56.10^4$, c)$7,7698.10^{-88}$, d)$5,9.10^{6}$, e)$8,75.10^{72}$