DERS-5 BÖLEN LİSTESİ YÖNTEMİ


2'den büyük bir tam sayıyı asal çarpanlarına ayırabilmek için kullandığımız yöntemlerden biri "Bölen Listesi" oluşturmaktır. Bu derste,

öğrenceğiz.

BÖLEN LİSTESİ İLE BİR SAYI ASAL ÇARPANLARINA NASIL AYRILIR?

Bölen listesi yönteminde,

  • Asal çarpanlarına ayıracağımız sayıyı yazıp, sağına dik bir çizgi çekeriz.
  • Bu sayıyı kalansız bölen asal sayıları bulup, çizginin sağına yazarız.
  • Sağa bir asal sayı yazdığımızda, soldaki sayıyı bu asal sayıya böleriz.
  • Çizginin solundaki sayı 1 olana kadar bu işleme devam eder, sağa yazdığımız asal sayıları çarparız.

Bölen listesi oluştururken en küçük 15 asal sayıyı bilmemiz yararlı olacaktır.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47

Verilen sayıyı kalansız bölen asal sayıları bulmak için 2'den başlayarak küçükten büyüğe doğru asal sayıları tek tek deneyebiliriz. Aşağıdaki örneklerde bu yöntemi kullandığımız için sağa yazdığımız asal sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanmış çıkıyor. Yalnız sağa yazdığımız asal sayılar sıralı olmak zorunda değildir. Bu nedenle, sıralamaya dikkat etmeden verilen sayıyı tam böldüğünü gördüğümüz bir asal sayıyı da direk olarak yazabiliriz. Bu durumda sağdaki sayılar farklı bir sırada çıkar yalnız sonuç değişmez.

Şimdi örnekleri inceleyelim.

40 tane bölen listesi ile asal çarpanlara ayırma örneği için tıklayın.

İlk 1000 sayının çarpanlara ayrılmış halini görmek için tıklayın.


12'yi asal çarpanlarına ayıralım.

 
Bölen Listesi

Önce 12'yi yazıp sağına düz bir çizgi çiziyoruz.

Bölen Listesi

Daha sonra, $2$’den başlayarak, bu sayıyı bölen en küçük asal sayıyı bulmaya çalışıyoruz. Çizginin solundaki sayıyı bölen en küçük asal sayıyı bulduğumuz an, çizginin sağ tarafına bu asal sayıyı yazıyoruz. $12$ çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Çizginin sağına $2$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$12 \div 2=6$ olduğu için $12$’nin altına $6$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

Şimdi, $12$ için yaptığımız işlemi $6$ için tekrarlıyoruz. $6$ sayısı 2'ye tam bölündüğü için, sağ tarafa bir tane daha $2$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$6$’yı son yazdığımız asal sayı olan $2$’ye bölersek, $3$ buluruz. Bu yüzden $6$’nın altına $3$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$3$ için de en küçük asal böleni bulmamız gerekiyor. $2$ sayısı $3$’ü bölmediği için, bir sonraki asal sayı olan $3$’e geçiyoruz. Soldaki sayı $3$’e bölündüğü için, sağ tarafa $3$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

Sola son yazdığımız sayının $3$’e bölümü $1$ olduğundan, soldaki $3$’ün altına $1$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

Çizginin solunda 1’e ulaştığımız için asal sayı arama işini bırakıyoruz.

Sağ tarafta iki tane $2$ ve bir tane $3$ var. Bu sayıları birbiri ile çarptığımızda, $2.2.3=12$ sayısını elde ediyoruz. $2$’den iki tane olduğu için $2.2$’yi $2^2$ şeklinde de yazabiliriz.

Böylece, $\mathbf{12}$’nin asal çarpanlara ayrılmış şeklini,

$\mathbf{12=2^2.3}$

olarak buluyoruz.

15'i asal çarpanlarına ayıralım.

 
Bölen Listesi

Yukarıda olduğu gibi, ilk olarak $15$’i yazıp sağına bir çizgi çekiyoruz.

Bölen Listesi

$2$’den başlayarak, $15$’i tam bölen asal sayıları bulmaya çalışıyoruz. $15$ çift olduğu için 2'ye kalansız bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan $3$, $15$’i tam böldüğü için sağa $3$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$15$’i $3$’e bölersek $5$ buluruz. Bu nedenle $15$’in altına $5$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$3$ sayısı $5$’i tam bölmediği için bir sonraki asal sayı olan $5$’e geçiyoruz. $5$’i tam böldüğü için sağa $5$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$5$’i $5$’e böldüğümüzde $1$ buluruz. Bu yüzden solda en alta $1$ yazıp asal sayı arama işlemini bitiriyoruz.

Bölen Listesi

Artık, $15$’i asal çarpanlarına ayrılmış halde yazabiliriz. Sağdaki sayıların çarpımı $15$’i verecektir.

$\mathbf{15}$’in asal çarpanlara ayrılmış hali,

$\mathbf{15=3.5}$

olur.

60'ı asal çarpanlarına ayıralım.

 
Bölen Listesi

Önce $60$’ı sola yazıp sağına bir çizgi çekiyoruz. Bu defa çarpanımız daha fazla olduğundan, daha uzun bir çizgiye ihtiyacımız olabilir.

Bölen Listesi

Asal sayıların en küçüğü olan $2$ ile başlıyoruz. $60$’, $2$'ye tam bölündüğü için sağa $2$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$60 \div 2 =30$ olduğundan, $60$’ın altına $30$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$30$ çift olduğu için $2$'ye tam bölünür. Sağa bir tane daha $2$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$30 \div 2 =15$ olduğundan sola $15$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$15$, $2$’ye tam bölünmediği için, bir sonraki asal sayı olan $3$’e geçiyoruz. $3$ sayısı $15$’i kalansız böldüğünden sağa $3$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$15$’i $3$’e bölersek $5$ buluruz. Bu nedenle, sola $5$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

$3$ sayısı $5$’i tam bölmediği için bir sonraki asal sayı olan $5$’e geçiyoruz. $5$ ise $5$’i tam böler. Bu nedenle sağa $5$ yazıyoruz.

Bölen Listesi

Son adımda $5$’i $5$’e bölüp, sonuç olan $1$’i sola yazıyoruz. Solda $1$’i elde ettiğimiz için bölme ve asal sayı seçme işlemini durduruyoruz.

Bölen Listesi

Artık, $60$’ın asal çarpanlarına ayrılmış halini yazabiliriz.

Sağdaki asal sayıları çarpalım.

$2.2.3.5$

$2$ sayısı iki kere yazıldığı için, çarpımda $2^2$ şeklinde yazabiliriz.

Böylece, $\mathbf{60}$’ın asal çarpanlarına ayrılmış halini

$\mathbf{60=2^2.3.5}$

olarak buluruz.

DAHA FAZLA BÖLEN LİSTESİ ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN.

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki sayıları çarpanlarına ayıralım.

a) 8, b) 30, c) 45, d) 132, e) 156

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ

BÖLEN LİSTESİ İLE BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARI NASIL BULUNUR?

Bir sayının bölen listesini oluşturduktan sonra asal çarpanlarının hangi sayılar olduğunu kolaylıkla bulabiliriz. Bölen listesi oluşturduğumuzda çizginin sağında kalan sayılar, asal çarpanlardır.

50'nin asal çarpanlarını bulalım.

50'nin bölen listesini oluşturduğumuzda aşağıdaki listeyi elde ederiz.

Asal Çarpanlar

Bu listede çizginin sağında 2, 2 ve 5 sayılarını görüyoruz. Buna göre, 50'nin asal çarpanları 2 ve 5'tir.

99'un asal çarpanlarını bulalım.

99'un bölen listesi aşağıdaki gibidir.

Asal Çarpanlar

Çizginin sağında 3, 3 ve 11 sayılarını görüyoruz. Buna göre 99'un asal çarpanlarının 3 ve 11 olduğunu söyleyebiliriz.

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını bulalım.

a) 18, b) 32, c) 56, d) 105, e) 132

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) Bölen Listesi

b) Bölen Listesi

c) Bölen Listesi

d) Bölen Listesi

e) Bölen Listesi

ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ

Alıştırmalar-2

a) 2, 3, b) 2, c) 2, 7, d) 3, 5, 7, e) 2, 3, 11

ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ