DERS-1 ÇARPAN NEDİR?

Bir sayının çarpanları ile bölenleri aynıdır. Bu konuda, sırayla bölen'in ne olduğunu, çarpanın ne olduğunu ve bir sayının çarpanlarının nasıl bulunduğunu öğreniyoruz.

Daha sonra bu konuyu ÇARPAN NEDİR? ÖZET KONU ANLATIMI ile tekrar edebilirsiniz.

1'den 250'ye kadar olan sayıların tüm çarpanlarına bu bağlantıdan ulaşabilirsiz.

Çarpan=Bolen

BÖLEN NEDİR?


$a$ bir pozitif tam sayı olsun. $a$'yı tam bölen (veya kalansız bölen) pozitif tam sayılara, $\mathbf{\color{Orange}a}$’nın bölenleri denir.


Örneğin, 12’yi tam bölen sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}1} = 12 $

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}2} = 6 $

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}3} = 4 $

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}4} = 3 $

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}6} = 2 $

$12 \div \mathbf{\color{Orchid}{12}} = 1 $

Tüm bu bölümlerde kalan sıfırdır. 12’yi tam bölen bu sayılara, 12’nin bölenleri denir. Yukarıdaki sonuçlara göre, 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

Bu bölenlerin dışında kalan pozitif tam sayılar 12’yi tam bölmez. Örneğin, 12'yi 5'e bölersek, kalan 2 olur.

12 bölü 5

Bölen olmayan sayılarla bölme işlemine devam edersek,

$12 \div \mathbf{5} = 2,4 $

$12 \div \mathbf{15} = 0,8 $

gibi ondalık gösterimde sonuçlar elde ederiz.

örnek 6’nın çarpanlarını bulalım.

6 bölü 1
6 bölü 2
6 bölü 3
6 bölü 4
6 bölü 5
6 bölü 6

6’yı sırayla 1’den 6’ya kadar olan tam sayılara böldüğümüzde, 1, 2, 3 ve 6'nın 6’yı kalansız böldüğünü görüyoruz. Bu nedenle, 6’nın çarpanları 1, 2, 3 ve 6'dır.

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki sayıların tüm bölenlerini bulalım.

a) 3, b) 4, c) 8, d) 9, e) 15

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ

ÇARPAN NEDİR?

Bir sayının çarpanları ile bölenleri aynıdır.

$a$ bir pozitif tam sayı olsun. İki pozitif tam sayı çarpıldığında $a$ sonucu elde ediliyorsa, bu tam sayılar $\mathbf{a}$'nın çarpanlarıdır.

Örneğin, 3 sayısı 12’nin çarpanlarından biridir; çünkü 3 ile 4'ü çarptığımızda sonuç 12 çıkar. Aşağıda sonucu 12 olan tam sayı çarpımları görüyoruz.

$\mathbf{\color{Orchid}{1}} \times 12 = 12 $

$\mathbf{\color{Orchid}{2}} \times 6 = 12 $

$\mathbf{\color{Orchid}{3}} \times 4 = 12 $

$\mathbf{\color{Orchid}{4}} \times 3 = 12 $

$\mathbf{\color{Orchid}{6}} \times 2 = 12 $

$\mathbf{\color{Orchid}{12}} \times 1 = 12 $

Buna göre 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Bu sayıların yukarıda bulduğumuz bölenlerle aynı olduklarına dikkat edelim.

Tüm pozitif tam sayılar için çarpanlar ile bölenler aynı çıkar.

Bir bölen aynı zamanda çarpandır; çünkü kalansız bir bölmede, bölen ile bölümün çarpımı bölünene eşittir. (bknz: Bölmenin öğeleri) Başka bir değişle, öğeleri pozitif tam sayılar olan kalansız bir bölme işleminde böleni çarparak bölüneni elde edebileceğimiz bir pozitif tam sayı bulunmaktadır.

BİR SAYININ ÇARPANLARINI NASIL BULURUZ?

Bir tam sayının çarpanlarını bulabilmek için farklı yöntemler bulunmaktadır. Bunlardan muhtemelen en uzun olanı, yukarıda yaptığımız gibi, bu sayıyı 1'den kendisine kadar olan tüm sayılara bölüp, kalanın sıfır olup olmadığına bakmaktır. Bu yöntemi kısaltmak için aşağıdaki bilgileri kullanabiliriz:

1, tüm pozitif tam sayıların çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar 1'e kalansız böldüğü için denemeden 1'i direk olarak çarpan listesine yazabiliriz.

Bir pozitif tam sayı kendisinin çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar kendisine kalansız bölünür. Sayının kendisini de çarpan listesine direk olarak yazabiliriz.

Sayıları tek tek denerken kalansız bir bölme yakaladığımızda, bu işlemde iki farklı çarpan bulabiliriz. Hem böldüğümüz sayı hem de bulduğumuz sonuç çarpandır. Bu iki sayı aynı değilse, listemize iki sayıyı da ekleyebiliriz. Örneğin, 12'yi 2'ye böldüğümüzde kalan 0 çıkar. Bu yüzden 2, 12'nin çarpanıdır. Ayrıca, bölme sonucunda 6 buluruz. Bu bölmeden 2 ve 6'nın 12'nin çarpanları olduğunu buluruz. 12'nin 6'ya kalansız bölünüp bölünmediğini test etmemiz gerekmez.

Bölmenin kalansız olup olmadığını bulabilmek için, bazen bölme yapmak yerine bölünebilme kurallarını kullanabiliriz.

$a$'nın çarpanlarını bulmak için, 1'den başlayarak sayıları tek tek test edebiliriz. Yalnız $a$'ya kadar olan tüm sayıları test etmemiz gerekmez. Karesi $a$'ya eşit veya daha küçük sayıları test etmemiz yeterlidir. Örneğin 63'ün çarpanlarını bulurken, 8'in karesi 63'ten büyük olduğu için 8'e kadar olan (8 hariç) sayıları denememiz yeterlidir. 63'ü bulduğumuz çarpana bölerek 8'den büyük çarpanları bulabiliriz.


KISACASI, $a$'nın çarpanlarını bulabilmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

  • 1 ve $a$'yı listeye ekleriz.
  • Karesi $a$'dan küçük olan en büyük doğal sayıyı buluruz. Bu sayıya $b$ diyelim.
  • 2'den $b$'e kadar olan tam sayıların $a$'yı kalansız bölüp bölmediğini deneriz. Bazı sayılar için bölünebilme kurallarını kullanabiliriz.
  • $a$'yı kalansız bölen bir sayı bulduğumuzda, hem bu sayıyı hem de $a$'yı bu sayıya böldüğümüzde bulduğumuz sonucu çarpan listemize ekleriz.

24’ün çarpanlarını bulalım.

  • 1 ve 24'ü çarpan listemize ekliyoruz. (Şu anki çarpan listesi: 1, 24)
  • Karesi 25'ten küçük en büyük tam sayı 4 olduğu için 2'den 4'e kadar olan sayıları (2, 3 ve 4'ü) test etmemiz yeterlidir.
  • 2: 24 çift olduğu için 2'ye kalansız bölünür. Bu nedenle, 2 çarpanlardan biridir. 24'ü 2'ye bölersek, 12 buluruz. Böylece 12'nin de çarpanlardan biri olduğu sonucuna varırız.( Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 12, 24)
  • 3: 24'ün rakamları toplamı (2 + 4 = 6) 3'ün tam katı olduğu için çarpanlardan biri 3'tür. 24'ü 3'e bölersek, 8 buluruz. Bu nedenle, 8 de çarpandır. ( Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 3, 8, 12, 24)
  • 4: 4, 24'ü kalansız böler ve çarpandır. 24'ü 4'e bölersek 6 buluruz. Bu nedenle, 6 da çarpandır.(Çarpan listesi: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Yukarıdaki çıkarımlarımıza göre, 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

27’nin çarpanlarını bulalım.

  • 1 ve 27'yi çarpan listemize ekliyoruz. (Şu anki çarpan listesi: 1, 27)
  • Karesi 27'den küçük en büyük tam sayı 5 olduğu için 2'den 5'e kadar olan sayıları (2, 3, 4 ve 5'i) test etmemiz yeterlidir.
  • 2: 27 tek olduğu için 2'ye kalansız bölünmez.
  • 3: 27'nin rakamları toplamı (2 + 7 = 9) 3'ün tam katı olduğu için çarpanlardan biri 3'tür. 27'yi 3'e bölersek, 9 buluruz. 3 ve 9'u listeye ekleyelim. ( Şu anki çarpan listesi: 1, 3, 9, 27)
  • 4: 27, 4'e kalansız bölünmez.
  • 5: 27, 5'e kalansız bölünmez.

Buna göre, 27'nin çarpanları: 1, 3, 9, ve 27'dir.

Farklı sayılar için de bu yöntemi kullanıp, sonuçlarınızın doğru olup olmadığını bu bağlantıdaki listeden kontrol edebilirisiniz.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki sayıların tüm çarpanlarını bulalım.

a) 8, b) 15, c) 33, d) 21, e) 98

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

ÇARPANLARIN ÖZELLİKLERİ

  • Tüm sayılar hem kendisine hem de 1’e kalansız bölünür. Bu nedenle, sayının kendisi ve 1 bu sayının çarpanlarıdır. Örneğin, 1 ve 12 sayıları 12’nin çarpanlarıdır.
  • Bir sayının kendisinden büyük çarpanı olamaz, en büyük çarpanı kendisine eşittir. Örneğin, 12’nin en büyük çarpanı 12'dir.
  • Asal sayılar sadece kendine ve 1'e kalansız bölündüğü için, asal sayıların sadece 2 çarpanı olur: 1 ve kendisi. Örneğin, 7'nin çarpanları 1 ve 7’dir. SORU: Bu listedeki çarpanlara bakarak hangi sayıların asal olduklarını bulabilir miyiz?
  • Bir sayının değeri büyüdükçe, çarpan sayısı her zaman artmaz. Örneğin, 36’nın 9 çarpanı olduğu halde (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36), 37’nin sadece 2 çarpanı vardır (1 ve 37).
  • $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$'nin tam katı ise, $\mathbf{b}$'nin tüm çarpanları $\mathbf{a}$'nın çarpan listesinde yer alır. Örneğin, 36, 18'in tam katıdır. 18'in tüm çarpanları (1, 2, 3, 6, 9 ve 18) 36’nın çarpanları (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) arasındadır.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) 1 ve 3, b) 1, 2 ve 4, c) 1, 2, 4 ve 8 d) 1, 3 ve 9, e) 1, 3, 5 ve 15

ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ


Alıştırmalar-2

a) 1, 2, 4 ve 8, b) 1, 3, 5 ve 15, c) 1, 3, 11 ve 33 d) 1, 3, 7 ve 21, e) 1, 2, 7, 14, 49 ve 98

ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

HATIRLATMALAR

0 dışında kalan doğal sayılar, pozitif tam sayılardır. 1, 2, 3, 4, 5 ... pozitif tam sayılar kümesinin elemanlarıdır.

Bölmenin öğreleri

Sayı Bölünebilme kuralı
2 Birler basamağındaki rakam çift olmalı.
3 Rakamları toplamı 3'ün tam katı olmalı.
4 Son iki basamağındaki sayı 4'ün tam katı veya 0 olmalı.
5 Birler basamağında 0 veya 5 rakamı olmalı.
6 2 ve 3'e kalansız bölünebilmeli.
9 Rakamları toplamı 9'ün tam katı olmalı.