8.SINIF MATEMATİK-ÇARPANLAR VE KATLAR

KONU 1-ÇARPAN NEDİR?

BÖLÜM 2-ÇARPAN NASIL BULUNUR?


 
 

Bir tam sayının çarpanlarını bulabilmek için farklı yöntemler bulunmaktadır. Bunlardan muhtemelen en uzun olanı, ilk bölümde yaptığımız gibi, verilen sayıyı 1'den kendisine kadar olan tüm sayılara bölüp, kalanın 0 olup olmadığına bakmaktır. Bu yöntemi kısaltmak için aşağıdaki bilgileri kullanabiliriz.

 
 

    Tüm pozitif tam sayılarda olan çarpanlar

  • 1, tüm pozitif tam sayıların çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar 1'e kalansız böldüğü için 1'i direk olarak çarpan listesine yazabiliriz.
  • Pozitif bir tam sayı, kendisinin çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar kendisine kalansız bölünür. Sayının kendisini de çarpan listesine direk olarak ekleyebiliriz.
  • Diğer çarpanlar

    1 ve sayının kendisi dışında kalan çarpanları deneyerek bulabiliriz. Yalnız, arada kalan tüm sayıları denememiz gerekmez.

  • Sayıları denerken kalansız bir bölme yakaladığımızda, bu işlemden iki farklı çarpan bulabiliriz. Hem böldüğümüz sayı hem de bulduğumuz sonuç birer çarpandır. Bu çarpanlar birbirinden farklıysa listemize ikisini de ekleyebiliriz. Örneğin, 12 sayısı 2'ye kalansız bölünür. Bölme işlemini yaptığımızda sonuç 6 çıkar. Buradan, hem 2'nin hem de 6'nın, 12'nin çarpanı olduğunu anlarız.
  • a'nın çarpanlarını bulabilmek için, a'ya kadar olan tüm sayıları test etmemiz gerekmez. 2'den başlayarak, a’nın kareköküne eşit veya daha küçük tam sayıların a'yı tam bölüp bölmediğini denememiz yeterlidir. Başka bir değişle, 2’den başlayarak karesi a’ya eşit veya daha küçük pozitif tam sayılara bakmamız bize tüm çarpanları verecektir. Eğer a, iki tam sayının çarpımına eşitse, bu sayıların ikisi birden a'nın karekökünden büyük olamaz. a'nın karekökünden küçük olan çarpanları bulursak, diğer çarpanları bölme işlemi yaparak hesaplayabiliriz.
  • Bölmenin kalansız olup olmadığını anlayabilmemiz için bazen bölme yapmak yerine bölünebilme kurallarını kullanmamız işimizi kolaylaştıracaktır.
 
 

KISACASI, a'nın çarpanlarını bulabilmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

  • 1 ve a'yı listeye ekleriz.
  • 2'den başlayarak, karesi a'dan büyük olmayan tam sayıların a'yı kalansız bölüp bölmediğini deneriz. Bazı sayılar için bölünebilme kurallarını kullanabiliriz.
  • a'yı kalansız bölen bir sayı ile karşılaştığımızda, hem bu sayıyı hem de a'yı bu sayıya böldüğümüzde bulduğumuz sonucu çarpan listemize ekleriz.

24’ün çarpanlarını bulalım.

 
  • 1 ve 24'ü çarpan listesine ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 24)
  • 2'den başlayarak karesi 24'ten büyük olmayan tam sayıları denememiz yeterlidir. Bu sayılar 2, 3 ve 4'tür.
  • 2: 24 çift olduğu için 2'ye kalansız bölünür. Bu nedenle, 24'ün çarpanlarından biri 2'dir. 24'ü 2'ye bölersek, 12 buluruz. Böylece diğer bir çarpanın 12 olduğu sonucuna varırız. (Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 12, 24)
  • 3: 24'ün rakamları toplamı (2 + 4 = 6) 3'ün tam katı olduğu için çarpanlardan biri 3'tür. 24'ü 3'e bölersek, 8 buluruz. Bu nedenle 24'ün çarpanlardan bir diğeri de 8'dir. (Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 3, 8, 12, 24)
  • 4: 24 sayısı 4'e kalansız bölünür. 24'ü 4'e bölersek 6 buluruz. Bu nedenle 4 ve 6 da 24'ün çarpanları arasındadır. (Çarpan listesi: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Yukarıdaki çıkarımlarımıza göre, 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

25’in çarpanlarını bulalım.

 
  • 1 ve 25'i çarpan listesine ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 25)
  • 2'den başlayarak karesi 25'ten büyük olmayan tam sayıları test etmeliyiz. Bu sayılar 2, 3, 4 ve 5'tir.
  • 2: 25 tek olduğu için 2'ye tam bölünmez.
  • 3: 25'in rakamları toplamı (2 + 5 = 7) 3'ün tam katı değildir. 25, 3'e kalansız bölünmez.
  • 4: 25, 4'e de tam bölünmez.
  • 5: 25, 5'e bölündüğünde yine 5 bulunur. 5'i de listeye ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 5, 25)

25'in çarpanları: 1, 5, ve 25'dir.

Farklı sayılar için de bu yöntemi kullanarak çarpanları bulabilirsiniz. Sonuçlarınızın doğru olup olmadığını bu bağlantıdaki listeden kontrol edebilirsiniz.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

Aşağıdaki sayıların tüm çarpanlarını bulalım.

a) 8, b) 15, c) 33, d) 21, e) 98

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

 

ÇARPAN HESAPLAMA ARACI

Çarpan Hesaplama Aracı

1 ile 10 000 arasında bir tam sayı girin.

 

Bu hesaplama aracını yeni pencerede açmak ve nasıl kullanıldığını öğrenmek için tıklayın.

 

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-2

a) 1, 2, 4 ve 8, b) 1, 3, 5 ve 15, c) 1, 3, 11 ve 33 d) 1, 3, 7 ve 21, e) 1, 2, 7, 14, 49 ve 98

ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

HATIRLATMALAR

Sayı Bölünebilme kuralı
2 Birler basamağındaki rakam çift olmalı.
3 Rakamları toplamı 3'ün tam katı olmalı.
4 Son iki basamağındaki sayı 4'ün tam katı veya 0 olmalı.
5 Birler basamağında 0 veya 5 rakamı olmalı.
6 2 ve 3'e kalansız bölünebilmeli.
9 Rakamları toplamı 9'ün tam katı olmalı.