DERS-6 ÇARPAN AĞACI YÖNTEMİ


Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanın bir yolu da çarpan ağacı oluşturmaktır. Çarpan ağacı, ters dönmüş bir ağaca benzemektedir. En üstte (kökte) çarpanlara ayıracağımız sayı, dallarda ise bu sayının çarpanları bulunmaktadır.

Çarpan Ağacı Örnek

Bu yöntemi de örnek üzerinde öğreneceğiz. Aşağıda adım adım 12, 15 ve 60 sayılarının çarpan ağaçlarını oluşturuyoruz.

Sayfanın sonunda çarpan ağacı oluşturulmuş değişik örnekleri inceleyebilirsiniz.


12'NİN ÇARPAN AĞACI

 
Çarpan Ağacı

Bir çarpan ağacı oluştururken, ilk olarak sayıyı ağacı tepesine yazyoruz.

Çarpan Ağacı

Bir sonraki adımda, $12$'yi hangi iki sayının çarpımı şeklinde yazabildiğimizi bulmalıyız. Bunun için bir kaç farklı çözümünüz olabilir. Örneğin,

$12=2\times6$ veya $12=3\times4$

yazabiliriz. Burada önemli olan, çarpanlardan her birinin $1$’den büyük olması. Örneğin, $12=1\times12$ çarpan ağacı yöntemi için geçerli bir çarpım değildir. Bulduğumuz çarpımlardan yalnızca birini kullanacağız. Geçerli çarpımlardan herhangi birini kullanmanız, aynı sonucu verecektir.

Burada $12=2\times6$’yı kullanalım. $2$ ve $6$ sayısılarını ağacın bir alt satırına yazıp, $12$’den bu sayılara doğru bir çizgi çekiyoruz. Bu çizgiler ağacın dalları olmuş oluyor.

Çarpan Ağacı

Şimdi dalların ucundaki sayılardan ($2$ ve $6$) gene $1$’den büyük sayıların çarpımı halinde yazabileceğimiz var mı diye bakıyoruz. Soldaki dalda $2$ sayısı var ama, $2$’yi $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayız. O zaman, bu dalı devam ettirmeyip, $2$ sayısını daire içine alıyoruz. (Bu sayıyı ağacın meyvesi gibi düşünebilirsiniz.)

Çarpan Ağacı

Sağdaki sayı olan $6$’yı ise $2\times3$ şeklinde yazabildiğimiz için, $6$’dan iki dal daha çıkarıp $2$ ve $3$ sayılarını yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Gene, en uçtaki daire içine alınmamış sayıları çarpım halinde yazıp yazamadığımızı kontrol ediyoruz. Burada hem $2$, hem de $3$ sayısı $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazılamaz. Bu nedenle, bu sayıları da daire içine alıyoruz.

Dalların ucunda daire içine alınmamış sayı kalmadığına göre, meyvelerimizi toplayabiliriz. Bu ağaçta daire içine alınmış üç sayı var: $2$, $2$ ve $3$. Eğer bu sayıları biribiri ile çarparsak $12$’yi elde ederiz.

$2.2.3=12$

$2$ sayısı iki kere çarpıldığı için, $2.2$ yerine $2^2$ kullanırsak,

$12=2^2.3$

eşitliğini elde ederiz. Böylece $12$’nin asal çarpanlarını bulmuş olduk.


12'NİN FARKLI BİR ÇARPAN AĞACI

 
Çarpan Ağacı

$12$’nin asal çarpanlarını bulurken, ilk dallar için iki seçeneğimiz vardı: $12=2\times6$ ve $12=3\times4$. Yukarıda, ilk seçeneği kullanıp devam etmiştik. Şimdi ise, ikinciyi kullanıp sonucun değişip değişmediğini görelim. $12=3\times4$ için, $12$’den iki dal çıkarıp uçlarına $3$ ve $4$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Soldaki sayımız olan $3$’ü, $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayız. Bu nedenle $3$’ü daire içerisine alıyoruz.

Çarpan Ağacı

Sağdaki dalda, $4$ sayısı var ve bu sayıyı $2\times2$ şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle, $4$’ten iki dal çıkarıp, ikisine de $2$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

$2$ sayısını, $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayacağımız için, bu iki sayıyı da daire içerisine alıyoruz.

Ağacımızın dallarının ucunda daire içerisine alınmamış sayımız kalmadığı için yeni dallar oluşturmamıza gerek yok. Son olarak daire içine alınmış sayıları çarpıp $12$’nin asal çarpanlarına ayrılmış halini buluyoruz.

$12=3.2.2=2^2.3$

Farklı bir çarpan ağacı oluşturduğumuz halde, sonuç yukarıdaki ile aynı çıkıyor.


15'İN ÇARPAN AĞACI

 
Çarpan Ağacı

İlk olarak, $15$’i ağacın ilk elemanı olarak yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

$15$ sayısını

$15=3\times5$

şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle $15$’ten iki dal çıkarıp, uçlarına $3$ ve $5$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Dalların ucunda bulunan $3$ sayısı da, $5$ sayısı da asal olduğundan, $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayız. Bu nedenle bu sayıları daire içerisine alıyoruz ve çarpan ağacını oluşturmuş oluyoruz.

Son yapmamız gereken şey ise daire içindeki sayıları çarpıp $15$’e eşitlemek.

$15=3.5$


60'IN ÇARPAN AĞACI

 

Son olarak, çarpan ağacı kullanarak $60$’ı asal çarpanlarına ayıracağız.

Çarpan Ağacı

$60$’ı ağacın en tepesine yazdıktan sonra yapmamız gereken ilk şey, bu sayıyı $1$’den büyük iki sayının çarpımı halinde yazmak. $60$ için karşımıza çok fazla seçenek çıkıyor. Bu seçeneklerden tümü aynı sonucu verecektir. Biz $60=6\times10$’u kullanacağımız için, $60$’tan iki dal çıkarıp altlarına $6$ ve $10$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Soldaki $6$ sayısını da $6=2\times3$ şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle, $6$’dan da iki dal çıkarıp altına $2$ ve $3$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

$2$ ve $3$ asal olduğu için daire içine alıp, sağdaki dalda bulunan $10$ sayısına geçiyoruz.

Çarpan Ağacı

$10$’u $10=2\times5$ şeklinde yazabildiğimiz için, altına $2$ ve $5$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Hem $2$, hem de $5$ asal olduğu için bu sayıları da daire içine alıp ağacımızı bitiriyoruz.

Son olarak daire içindeki sayıları birbirleri ile çarparak $60$’a eşitliyoruz.

$60=2.3.2.5=2.2.3.5=2^2.3.5$

Böylece $60$’ın asal çarpanlarına ayrılmış halini

$60=2^2.3.5$

olarak bulmuş oluyoruz.


ÖRNEKLER

Çarpan Ağacı
Çarpan Ağacı
Çarpan Ağacı
Çarpan Ağacı