DERS-6 ÇARPAN AĞACI YÖNTEMİ


Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın bir yolu da çarpan ağacı oluşturmaktır.

Çarpan ağacı, ters dönmüş bir ağaca benzer. En üste (köke) çarpanlara ayıracağımız sayıyı, dallara ise bu dalların çıktığı sayının çarpanlarını yazarız.

Bu derste,

öğreniyoruz.

ÇARPAN AĞACI İLE BİR SAYI ASAL ÇARPANLARINA NASIL AYRILIR?

Çarpan ağacı yönteminde,

  • Asal çarpanlarına ayıracağımız sayıyı yazarız.
  • Bu sayıdan iki dal çıkarıp, dalların ucuna çarpıldığında bu sayıya eşit olan 1'den büyük tam sayıları yazarız.
  • Yazdığımız tam sayı asalsa daire içerisine alırız; değilse bu sayıdan da dallar çıkarır çarpanlarını buluruz.
  • Tüm dalların ucundaki sayılar daire içerisine alınana kadar, sayılardan dallar çıkarıp ağacı oluşturmaya devam ederiz.
  • Son olarak, daire içerisindeki sayıları çarparız.
Çarpan Ağacı Örnek

Şimdi de örnekleri inceleyelim. Aşağıda adım adım 12, 15 ve 60 sayılarının çarpan ağaçlarını oluşturuyoruz.

Bu bağlantıda 40 adet çarpan ağacı örneği bulabilirsiniz.

12'yi asal çarpanlarına ayıralım.

 
Çarpan Ağacı

Bir çarpan ağacı oluştururken, ilk olarak sayıyı ağacı tepesine yazyoruz.

Çarpan Ağacı

Bir sonraki adımda, $12$'nin hangi iki doğal sayının çarpımına eşit olduğunu bulmalıyız. Bunun için bir kaç farklı çözümünüz olabilir. Örneğin, $12$ sayısını

$12=2\times6$ veya $12=3\times4$

şeklinde yazabiliriz. Burada önemli olan, çarpanların tümünün $1$’den büyük olmasıdır. Örneğin, $12=1\times12$ çarpan ağacı yöntemi için geçerli bir çarpım değildir.

Birden fazla çarpım buluyorsak, bunlardan yalnızca birini kullanırız. Farklı bir çarpımı kullanmamız ağacı değiştirse de, sonuç aynı çıkacaktır.

Burada $12=2\times6$’yı kullanalım. $2$ ve $6$ sayılarını ağacın bir alt satırına yazıp, $12$’den bu sayılara doğru birer çizgi çekeriz. Bu çizgiler, ağacın dalları oluyor.

Çarpan Ağacı

Dalların ucundaki sayılarla ($2$ ve $6$ ile) devam ediyoruz. Soldaki dalda $2$ sayısı var ama, $2$’yi $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayız. O zaman, bu dalı devam ettirmeyip, $2$'yi daire içine alıyoruz. (Bu sayıyı ağacın meyvesi gibi düşünebilirsiniz.)

Çarpan Ağacı

Sağdaki sayı olan $6$’yı ise $2\times3$ şeklinde yazabildiğimiz için, $6$’dan iki dal daha çıkarıp, uçlarına $2$ ve $3$ sayılarını yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Gene, en uçtaki daire içerisine alınmamış sayıları çarpım halinde yazıp yazamadığımızı kontrol ediyoruz. Bu sayılar asal olduğu için 1'den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazılamaz. Bu sayıları da daire içerisine alıyoruz.

Dalların ucunda daire içine alınmamış sayı kalmadığına göre, meyvelerimizi toplayabiliriz. Bu ağaçta daire içine alınmış üç sayı var: $2$, $2$ ve $3$. Eğer bu sayıları birbiri ile çarparsak, $12$ elde ederiz.

$2.2.3=12$

$2$ sayısı iki kere çarpıldığı için, $2.2$ yerine $2^2$ kullanırsak,

$12=2^2.3$

eşitliğini elde ederiz. Böylece $12$’yi asal çarpanlarına ayırmış olduk.


 

12'yi farklı bir ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

 
Çarpan Ağacı

$12$’nin asal çarpanlarını bulurken, ilk dallar için iki seçeneğimiz vardı: $12=2\times6$ ve $12=3\times4$. Yukarıda, ilk seçeneği kullanmıştık. Bu örnekte ise, ikinciyi kullandığımızda, sonucun değişip değişmediğini görelim. $12=3\times4$ için, $12$’den iki dal çıkarıp uçlarına $3$ ve $4$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

$3$ asal olduğu için daire içerisine alalım.

Çarpan Ağacı

Sağ daldaki $4$'ü $2\times2$ şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle, $4$’ten iki dal çıkarıp, bu dalların uçlarına $2$ yazalım.

Çarpan Ağacı

$2$ asal olduğu için bu sayıları daire içerisine alalım.

Dallarının uçlarında daire içerisine alınmamış sayı kalmadığı için yeni dallar oluşturmamız gerekmiyor. Son olarak, daire içine alınmış sayıları çarpalım.

$12=3.2.2=2^2.3$

Farklı bir çarpan ağacı oluşturduğumuz halde, sonuç ilk örnekteki ile aynı çıkıyor.

 

15'i asal çarpanlarına ayıralım.

 
Çarpan Ağacı

İlk olarak, $15$’i yazalım.

Çarpan Ağacı

$15$ sayısını

$15=3\times5$

şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle $15$’ten iki dal çıkarıp, uçlarına $3$ ve $5$ yazalım.

Çarpan Ağacı

Dalların ucunda bulunan $3$ sayısı da, $5$ sayısı da asal olduğundan, $1$’den büyük iki sayının çarpımı şeklinde yazamayız. Bu nedenle, bu sayıları daire içerisine alalım.

Son yapmamız gereken şey, daire içindeki sayıları çarpıp $15$’e eşitlemek.

$15=3.5$

 

60'ı asal çarpanlarına ayıralım.

 
Çarpan Ağacı

$60$’ı ağacın en tepesine yazdıktan sonra yapmamız gereken ilk şey, bu sayıyı $1$’den büyük iki sayının çarpımı halinde yazmak. $60$ için karşımıza çok fazla seçenek çıkıyor. Biz $60=6\times10$’u kullanacağımız için, $60$’tan iki dal çıkarıp altlarına $6$ ve $10$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Soldaki $6$'yı da $6=2\times3$ şeklinde yazabiliriz. Bu nedenle, $6$’dan iki dal çıkarıp altına $2$ ve $3$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

$2$ ve $3$ asal olduğu için daire içine alıp, $10$ sayısına geçiyoruz.

Çarpan Ağacı

$10$’u $10=2\times5$ şeklinde yazabildiğimiz için altına $2$ ve $5$ yazıyoruz.

Çarpan Ağacı

Hem $2$, hem de $5$ asal olduğu için bu sayıları da daire içerisine alıp ağaç oluşturmayı bitiriyoruz.

Son olarak daire içindeki sayıları birbirleri ile çarparak $60$’a eşitliyoruz.

$60=2.3.2.5=2.2.3.5=2^2.3.5$

Böylece $60$’ın asal çarpanlarına ayrılmış halini

$60=2^2.3.5$

olarak buluyoruz.

60'ın farklı çarpan ağaçlarına bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki sayıları çarpan ağacı kullanarak çarpanlarına ayıralım.

a) 32, b) 70, c) 100, d) 112, e) 117

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ

ÇARPAN AĞACI İLE BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARI NASIL BULUNUR?

Bir sayının çarpan ağacını oluşturduğumuzda, daire içerisine aldığımız sayılar asal çarpanlardır.

40'ın asal çarpanlarını bulalım.

40'ın çarpan ağacı aşağıdaki gibidir.

Asal Çarpanlar

Bu çarpan ağacında 2, 2, 2 ve 5 sayılarının daire içerisine alındığını görüyoruz. Buna göre, 40'ın asal çarpanları 2 ve 5'tir.

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını bulalım.

a) 24, b) 42, c) 64, d) 68, e) 180

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) Çarpan Ağacı

b) Çarpan Ağacı

c) Çarpan Ağacı

d) Çarpan Ağacı

e) Çarpan Ağacı

ALIŞTIRMALAR-1'İN ÇÖZÜMLERİ

Alıştırmalar-2

a) 2, 3, b) 2, 3, 7, c) 2, d) 2, 17, e) 2, 3, 5

ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ