TEOG HAZIRLIK - CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 3: 1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ RASYONEL DENKLEMLER


DENKLEMLER

Bir veya daha fazla değişken içeren eşitliklere denklem denir.

Bir denklemdeki eşitliği sağlayan değişken değerlerinin kümesine, çözüm kümesi ismi verilir.

 

Bir denklemin tek bir çözümü olabilir.

$2x=4$

eşitliğini sağlayan tek gerçek sayı $x=2$’dir. Bu denklemin çözüm kümesinde sadece $2$ var veya başka bir değişle bu denklemin tek çözümü $x=2$’dir.


 

Bir denklemin birden fazla çözümü de olabilir.

$x(x-1)=0$

eşitliğini ise yalnızca $x=0$ ve $x=1$ değerleri sağlar. Örneğin, $x$ yerine $2$ yazarsak eşitliğin sol tarafı $2(2-1)=2.1=2$ olduğundan eşitliği sağlamaz. Bu denklemin çözüm kümesinde sadece $0$ ve $1$ vardır.


 

Bir denklemin çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olabilir.

$x^2=x.x$

eşitliği ise tüm $x$ gerçek değerleri için doğrudur. $x$ yerine $0$ da, $5$ de $\sqrt{10}$ da koysanız, tüm değerler için doğrudur. Bu tarz denklemlere özdeşlik adını veririz. Özdeşlikleri bir sonraki derste daha detaylı bir şekilde inceliyoruz.


 

Bir denklemin çözümü olmayabilir.

$x+2=x+4$

denklemini hiç bir gerçek sayı sağlamaz. Bu nedenle, yukarıdaki denklemin çözümü yoktur.


 

Aşağıdaki denklemlerin tümünün tek bir çözümü var. Çözüm kümesi gerçek sayılar olan özdeşlikleri, bir sonraki derste öğreniyoruz.

 

TEK BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

Tek bilinmeyenli (sadece bir değişken içeren) denklemlerin bazılarının nasıl çözüldüğünü bu bölümde öğreneceğiz.

 

$2x+5=3x+2$

Yukarıdaki gibi bir denklemi çözebilmek için eşitliğin bir tarafında $x$’i yalnız bırakmalı, diğer tarafında ise bir sayı bulmalıyız. Eğer bu denklemi,

$x=3$

haline getirebilirsek, çözümü bulmuş oluyoruz.

$x$’i eşitliğin bir tarafında yalnız bırakabilmek için, eşitliğin her iki tarafına birden aynı işlemleri uygulayabiliriz.

 

Örnek 1:

$x+2=7$

denkleminde $x$’i yalnız bırakabilmek için eşitliğin her iki tarafından da $2$ çıkarırız.

$x+2-2=7-2$

Eşitliğin solundaki $2$’ler birbirini götürür denklem,

$x=5$

haline dönüşür ve denklemi çözmüş oluruz.

Eşitliğin her iki tarafından $2$ çıkarmakla, soldaki $+2$’yi sağa $-2$ olarak geçirmek aynı şeylerdir. Bu işlemi yaparsak, yine

$x+2=7$

$x=7-2$

$x=5$

sonucunu elde ederiz.


 

Örnek 2:

$3x+2=8$

Bu denklemde yine $x$’i yalnız bırakmaya çalışıyoruz. Bunu yapabilmek için, soldaki $2$’yi sağa $-2$ olarak atarsak,

$3x=8-2$

elde ederiz. Eşitliğin sağındaki çıkarma işlemini yaparsak,

$3x=6$

olduğunu buluruz. Denklemi çözebilmek için bir tarafta sadece $x$ bulunması gerekir. Bunu sağlayabilmek için eşitliğin her iki tarafını $3$’e bölebiliriz.

${3x \over 3}={6 \over 3}$

Soldaki $3$’ler sadeleşir ve geriye yalnız $x$ kalır. Sağda ise ${6 \over 3}=2$ sayısı kalır. Böylece,

$x=2$

sonucunu bulmuş oluruz.

Her iki tarafı $3$’e bölmekle, soldaki çarpım halindeki $3$’ü sağ tarafa bölüm halinde geçirmek aynı şeydir.

$3x=6$

$x={6 \over 3}$

$x=2$


 

Örnek 3:

$3x+2=8+x$

Bu örneğimizde, eşitliğin her iki tarafında da $x$ değişkenine rastlıyoruz. Eşitliğin bir tarafındaki sabit sayıyı diğer tarafa geçirmek için, işaretini değiştiriyorduk. Aynı yöntem değişkenler için de geçerlidir. Sağdaki $x$’i sola $-x$ olarak atabiliriz.

$3x+2-x=8$

Eşitliğin solundaki $x$’li terimler $3x-x=2x$ yapar. Böylece

$2x+2=8$

olduğunu buluruz. Şimdi ise, eşitliğin solundaki $2$’yi sağa $-2$ olarak geçiririz.

$2x=8-2$

Bu eşitliğin sağ tarafı $8-2=6$ olduğu için,

$2x=6$

denklemini elde ederiz. Son olarak $x$’i yalnız bırakabilmek için, $x$’in katsayısı olan $2$’yi sağ tarafa çarpım olarak geçirebiliriz.

$x={6 \over 2}$

Sağ taraftaki bölümün sonucu $3$ olduğundan,

$x=3$

sonucunu elde ederiz.


 

Örnek 4:

$2x+5=3x+2$

denkleminde, sağdaki $2$’yi sola $-2$ olarak geçirip,

$2x+5-2=3x$

$5-2=3$ sonucunu yerine yazarsak, denklem

$2x+3=3x$

haline dönüşür. Eşitliğin yalnız bir tarafında x olsun istediğimiz için soldaki $2x$’i sağa $-2x$ olarak geçirirsek.

$3=x$

denklemini buluruz. Son olarak $3$ ile $x$’in yerini değiştirirsek,

$x=3$

sonucunu elde ederiz.


 

Örnek 5:

$x+2={x \over 3}+{5 \over 3}$

denkleminde ilk olarak $x$’li terimleri aynı tarafta toplayalım. Sağdaki ${x \over 3}$’ü sola $-{x \over 3}$ olarak atarsak, denklem

$x+2-{x \over 3}={5 \over 3}$

haline gelir. $x$’li terimler arasındaki çıkarma işlemini yaparsak ($x-{x \over 3}={2x \over 3}$)

${2x \over 3}+2={5 \over 3}$

buluruz. Soldaki $x$’li terimi yalnız bırakmak için $2$’yi sağa $-2$ olarak geçirdiğimizde,

${2x \over 3}={5 \over 3}-2=-{1 \over 3}$

buluruz.

${2x\over 3}=-{1 \over 3}$

denkleminin her iki tarafını $3$ ile çarpıp $2$’ye bölersek,

$x=-{1 \over 2}$

sonucuna ulaşırız.


 

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

a) $-x+5=x+2$

b) $2a+{1 \over 2}=a+{1 \over 2}$

c) ${b \over 3}+{1 \over 3}={b \over 2}+{1 \over 2}$

c) $3y+8=y+5$

c) $3x+5=0$

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Mazeret Sınav Sorusu)

Bir sayının 3 fazlasının yarısı, aynı sayının 2 eksiğinin 1/3’ine eşittir.

Bu sayının 1 fazlasının yarısı kaçtır?

A) $-6$

B) $-10$

C) $-{21 \over 2}$

D) $-{29 \over 2}$

Çözüm:

Bu sayıya $x$ dersek, ilk cümledeki ifade matematiksel olarak,

${(x+3) \over 2}={(x-2) \over 3}$

olarak ifade edebiliriz. Bu eşitlik,

${x \over 2}+{3 \over 2}={x \over 3}-{2 \over 3}$

halinde de yazılabilir. Bu denklemde ilk olarak eşitliğin sağ tarafındaki ${x \over 3}$’ü sağ tarafa $-{x \over 3}$ olarak geçirirsek,

${x \over 2}+{3 \over 2}-{x \over 3}=-{2 \over 3}$

olduğunu buluruz. $x$’li terimler arasındaki çıkarma işlemini yaparsak, sol tarafta $x$’li bir terim olarak sadece ${x \over 2}-{x \over 3}={x \over 6}$ kalır ve denklem

${x \over 6}+{3 \over 2}=-{2 \over 3}$

haline dönüşür. $x$’li terimi yalnız bırakabilmek için, soldaki ${3 \over 2}$’yi sağa $-{3 \over 2}$ olarak geçiririz.

${x \over 6}=-{2 \over 3}-{3 \over 2}$

Sağdaki kesirli sayılar arasındaki işlem, $-{2 \over 3}-{3 \over 2}=-{13 \over 6}$ çıkar. Böylece,

${x \over 6}=-{13 \over 6}$

olduğunu buluruz. $x$’in ne olduğunu bulabilmek için denklemin her iki tarafını da $6$ ile çarparsak,

$x=-13$

buluruz.

Soruda sorulan ${(x+1) \over 2}$’dir. $x$ yerine $-13$ koyarsak, bu sayının $-6$ olduğunu buluruz. Cevap A.


 

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

${3x \over 2}+{5 \over 4}={1 \over 2}+{x \over 2}$ denklemini sağlayan $x$ sayısı kaçtır?

A) ${3 \over 4}$

B) ${1 \over 4}$

C) $-{1 \over 4}$

D) $-{3 \over 4}$

Çözüm:

${3x \over 2}+{5 \over 4}={1 \over 2}+{x \over 2}$

denkleminde ilk olarak eşitliğin sağındaki ${x \over 2}$’yi sol tarafa $-{x \over 2}$ olarak atalım.

${3x \over 2}+{5 \over 4}-{x \over 2}={1\over 2}$

Soldaki $x$’li terimler arasındaki çıkarma işlemini yaparsak ${3x \over 2}-{x \over 2}=x$ buluruz. Böylece denklem,

$x+{5 \over 4}={1 \over 2}$

buluruz. $x$’i yalnız bırakabilmek için, soldaki ${5 \over 4}$’ü sağa $-{5 \over 4}$ olarak atarsak,

$x={1 \over 2}-{5 \over 4}$

olduğunu buluruz. Sağ taraftaki işlemi yaparsak,

${1 \over 2}-{5 \over 4}={2 \over 4}-{5 \over 4}=-{3 \over4}$

olduğundan,

$x=-{3 \over 4}$

çıkar. Cevap D.

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) $x=3$, b) $a=0$, c) $b=-1$, d) $y=-{3 \over 2}$, e) $x=-{5 \over 3}$