8. SINIF MATEMATİK-DOĞRUSAL DENKLEMLER

KONU 31 - 1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BÖLÜM 3-1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?


 
 
eşitliğin sol ve sağ tarafları

1. dereceden 1 bilinmeyenli bir denklemi çözebilmek için

  • eşitliğin bir tarafında yalnızca katsayısı 1 olan bir değişken ve
  • eşitliğin diğer tarafında yalnızca bir sabit sayı

kalacak şekilde işlemler yaparız. Bu işlemlerin sonucunda, denklemde kullanılan değişkene göre, ..., ... gibi bir eşitlik elde ederiz. Elde ettiğimiz bu eşitlik, verilen denklemin çözümüdür.

Bir denklemin çözümü

Bir denklemi ..., ... gibi bir hale getirebilmek için eşitliğin her iki tarafına da aşağıdaki işlemlerden bir veya birkaçını uygularız.

  • Bir terimle veya sayıyla toplama,
  • Bir terimi veya sayıyı çıkarma,
  • Sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ve
  • Sıfırdan farklı bir sayıya bölme

Aşağıdaki örnekleri inceledikten sonra, bir sonraki bölümü de okumanızı tavsiye ediyoruz. Aynı örneklerin farklı bir yorumlamayla çözümünü sonraki bölümde bulabilirsiniz.

 
 

... ...

denklemini çözelim.


ÖZET ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     ... ...

(ADIM 2)     ⇒ ... ... ...

(ADIM 3)     ⇒ ...


AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     Eşitliğin sol tarafına baktığımızda "..." ifadesini görüyoruz. Bu ifade, ... değişkenine ... eklendiğini gösteriyor. ...'i sol tarafta yalnız bırakabilmek için yanındaki ...'den kurtulmamız gerekiyor. Sol taraftan ... çıkararak bunu başarabiliriz. Fakat, eşitliğin sadece sol tarafından ... çıkarmamız, sol ve sağ taraflar arasındaki eşitliği bozar. Eşitliğin devam edebilmesi için bir tarafa yaptığımız işlemi, denklemin diğer tarafına da uygulamamız gerekir.

(ADIM 2)     Sol tarafta ...'i yalnız bırakabilmek için her iki taraftan da ... çıkaralım.

... ...

(ADIM 3)     Eşitliğin solundaki ... ile ... birbirini götürür ve denklem,

...

haline gelir. Bu denklemin çözümü ...'tir. Başka bir değişle, verilen denklemde eşitliğin sağlanabilmesi için ...'in alması gereken değer ...'tir.

40 DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA!

 
 

...

denklemini çözelim.


ÖZET ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     ...

(ADIM 2)     ⇒ ...

(ADIM 3)     ⇒ ...


AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     Eşitliğin sol tarafında "..." ve sağ tarafında "..." ifadelerini görüyoruz.

(ADIM 2)     Sol taraftaki ...'in yalnız kalmasını istediğimiz için, ...'i ...'e bölebiliriz. Eşitliğin devam edebilmesi için aynı işlemi sağ tarafa da uygulamamız gerekir.

...

(ADIM 3)     İki tarafı da ...'e böldüğümüzde eşitliğin solunda ... ve sağında ... kalır.

...

Bu denklemin çözümü ...'tür. Denklemde ... yerine ... yazdığımızda eşitliğin iki tarafı da ...'a eşit olur.

40 DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA!

... ...

denklemini çözelim.


ÖZET ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     ... ...

(ADIM 2)     ⇒ ... ...

(ADIM 3)     ⇒ ...

(ADIM 4)     ⇒ ...

(ADIM 5)     ⇒ ...


AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

Diğer örneklerde olduğu gibi, bu denklemde de ...’i yalnız bırakmaya çalışıyoruz. Yalnız bu defa, yukarıdaki örneklerin aksine, birden fazla işlem yapmamız gerekiyor.

(ADIM 1)     Verilen denklemin sol tarafında bir değişken ve bir sayı, sağ tarafında ise sadece bir sayı görüyoruz.

(ADIM 2)     Değişken içeren terimi solda yalnız bırakabilmek için denklemin iki tarafından da ... çıkarmamız gerekiyor.

... ...

(ADIM 3)     Soldaki ...'ler birbirini götüreceğinden, eşitliğin solunda yalnız ... kalır. Sağ taraftaki işlemin sonucu ise ...'dır. Bu denklemi tekrar yazalım.

...

(ADIM 4)     Soldaki ...'i ... haline getirebilmek için iki tarafı da ...'e bölmemiz gerekir.

(ADIM 5)     Bölme işlemini sağ tarafa uyguladığımızda ... sayısını elde ederiz. Böylece, solda yalnızca ... ve sağda sadece sabit sayı olan bir eşitliğe ulaşırız.

...

Verilen denklemin çözümü ...'dir.

40 DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA!

... ...

denklemini çözelim.


ÖZET ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     ... ...

(ADIM 2)     ⇒ ... ...

(ADIM 3)     ⇒ ... ...

(ADIM 4)     ⇒ ... ... ...

(ADIM 5)     ⇒ ...

(ADIM 6)     ⇒ ...

(ADIM 7)     ⇒ ...


AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     Bu denklemde, eşitliğin iki tarafında da değişken içeren terimlere rastlıyoruz.

(ADIM 2)     Eşitliğin sağ tarafındaki ...'ten kurtulmak için iki taraftan da ...'i çıkarabiliriz.

... ...

(ADIM 3)     Sağ tarafta, ... ve ... birbirini götürdüğünde geriye sadece ... kalır. Sol tarafta çıkarma yaptığımızda ise ... ifadesini elde ederiz. Böylece eşitlik

... ...

haline dönüşür.

(ADIM 4)     Sol tarafta yalnızca ...'li terimin kalabilmesi için eşitliğin iki tarafına da ... ekleyebiliriz.

... ... ...

(ADIM 5)     Toplama işlemini yaptığımızda, solda ... ve sağda ... kalır.

...

(ADIM 6)     Solda yalnız ... bulunmasını istediğimizden iki tarafı da ...'ye bölebiliriz.

(ADIM 7)     Sol tarafın ...'ye bölümü ...'e ve sağ tarafın ...'ye bölümü ...'e eşittir.

...

Böylece, denklemin çözümünün ... olduğunu görebiliriz.


SAĞLAMA:

Bulduğumuz sonucun sağlamasını yapmak için ... ... denkleminde her ... gördüğümüz yere ... yazıp, eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakabiliriz.

... ...

Her ... yerine ... yazdığımızda, hem sol hem de sağ taraf ...'e eşit olduğunu görebiliriz. Eşitlik sağlandığı için bulduğumuz ... çözümü doğrudur.

40 DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA!

... ...

denklemini çözelim.


ÖZET ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     ... ...

(ADIM 2)     ⇒ ... ... ...

(ADIM 3)     ⇒ ... ...

(ADIM 4)     ⇒ ... ... ...

(ADIM 5)     ⇒ ...

(ADIM 6)     ⇒ ...

(ADIM 7)     ⇒ ...

(ADIM 8)     ⇒ ...

(ADIM 9)     ⇒ ...


AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1)     Bu denklemde eşitliğin iki tarafında da hem değişken içeren terimler hem de sabit sayılar görüyoruz.

(ADIM 2)     Sağ taraftaki ...'ten kurtulabilmek için iki taraftan da bu terimi çıkaralım.

... ... ...

(ADIM 3)     Sol taraftaki ...'li terimler arasında çıkarma işlemi yaptığımızda, ... ifadesinin kaldığını görebiliriz. Sağ tarafta ise ...'li terimler birbirini götüreceğinden geriye sadece ... kalır.

... ...

(ADIM 4)     Şimdi de soldaki sabit sayıdan kurtulmak için iki taraftan da ... çıkaralım.

... ... ...

(ADIM 5)     Sabit sayılar arasındaki işlemleri yaptığımızda, eşitliğin sol tarafında ..., sağ tarafında ise ... kalır.

...

(ADIM 6)     ...'li terimin katsayısındaki kesirden kurtulabilmek için her iki tarafı da bu kesrin paydası olan ... ile çarpabiliriz.

(ADIM 7)     ...'ün ... ile çarpımı ...'e; ...'ün ... ile çarpımı ise ...'e eşittir.

...

(ADIM 8)     Bu aşamadan sonra denklemin çözümüne ulaşabilmek için yapmamız gereken tek işlem, her iki tarafı da ...'ye bölmektir.

(ADIM 9)     Bölme işlemini yaptığımızda, solda ... ve sağda ... sayısını elde ederiz.

...


SAĞLAMA:

Denklemin sağlamasını yapmak için denklemde her gördüğümüz ... yerine ... yazarsak, eşitliğin iki tarafında da ... kesrini elde ederiz.

40 DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA!

Aşağıdaki denklemleri çözelim.

a) ...

b) ...

c) ... ...

d) ... ...

e) ... ...

f) ... ...

g) ... ...

h) ... ...

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-2

a) ..., b) ..., c) ..., d) ..., e) ..., f) ..., g) ..., h) ...

ÇÖZÜMLER