CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 2 CEBİRSEL İFADELERLE İŞLEMLER


Bu derste değişken içeren ifadelerle temel işlemlerin nasıl yapıldığını öğreneceğiz.

PARANTEZE ALMA

Cebirsel bir ifadede iki farklı terimin ortak değişkenlerini paranteze alabiliriz.

 

Örnek 1:

$x^2+xy$

cebirsel ifadesini $x^2=x.x$ eşitliğini kullanarak daha açık halde yazabiliriz.

$x.x+x.y$

Bu ifadede, her iki terimde de $x$ çarpımı olduğu için, terimleri $x$ parantezine alabiliriz.

$x^2+xy=x.x+x.y=x(x+y)$

 

Örnek 2:

$x^2y+y^2x$

cebirsel ifadesini $x^2=x.x$ ve $y^2=y.y$ eşitliklerini kullanarak

$x.x.y+y.y.x$

şeklinde ifade edebiliriz. Bu ifadede her iki terimde de $x$ ve $y$ çarpımları olduğu için terimleri $x.y$ parantezine alabiliriz.

$x^2y+y^2x=x.x.y+y.y.x=xy(x+y)$

 

Örnekler

  • $a^3+a^2+a=a(a^2+a+1)$
  • $a^2b^2+ab=ab(ab+1)$
  • $ab-a^3b^3=ab(1-a^2b^2)$
  • $x^3y^3-x^2y^2=x^2y^2(xy-1)$
 

TOPLAMA VE ÇIKARMA

Bir cebirsel ifadenin değişken kısmı aynı olan terimlerini birbirleri ile toplayabiliriz.

 

Örnek 1:

$4xy+5x+2y+xy$

ifadesinde $4xy$ ve $xy$ terimlerinde aynı kuvvete sahip aynı değişkenleri görmekteyiz. Bu nedenle, ifadede $4xy$ ile $xy$’yi toplayıp tek bir terim olarak yazabiliriz.

$4xy+5x+2y+xy=5xy+5x+2y$

 

Örnek 2:

$3x^2+5y-2x^2+8x$

ifadesinde $3x^2$ ve $-2x^2$ terimlerinde aynı değişkenler aynı kuvvete sahiptir. İfadede bu iki terimin yerine toplamları olan $3x^2-2x^2=x^2$’yi yazabiliriz.

$3x^2+5y-2x^2+8x=x^2+5y+8x$

 

Örnek 3:

$xy^2-x^2y+4xy-xy^2$

ifadesinde $xy^2$ ve $-xy^2$’yi toplarsak, $xy^2-xy^2=0$ elde ettiğimiz için, ifadeden her iki terimi de atabiliriz.

$xy^2-x^2y+4xy-xy^2=-x^2y+4xy$

 

Örnek 4:

$2a^3+4a^2-a^3+8a^2$

ifadesinde $a^3$ ve $a^2$’li terimleri kendi aralarında toplayabiliriz.

$2a^3+4a^2-a^3+8a^2=(2-1)a^3+(8+4)a^2=a^3+12a^2$

 

ÇARPMA

 

A) İki terimin çarpımı

İki farklı terimi çarptığımızda bu terimdeki aynı değişkenlerin üslerini toplarız.

 

Örnek 1:

$4x^2$ ile $6x^3$’ü çarpalım.

$4x^2.6x^3$

Bu çarpımda sabit sayıları kendi aralarında ve $x$’li terimleri kendi aralarında çarpmalıyız.

Sabit sayıların çarpımı $6.4=24$ yapar.

$x$’li terimlerin çarpımı ise, $x^2.x^3=x^{2+3}=x^5$ yapar.

Böylece çarpım sonucunu

$4x^2.6x^3=24.x^{5}$

olarak buluruz.

 

Örnek 2:

$3x^2y$ ile $2xy^2$’yi çarpalım.

$3x^2y.2xy^2$

Bu terimde iki farklı değişkenimiz var: $x$ ve $y$.

Sabit sayıların kendi aralarında çarpımı $3.2=6$ yapar.

$x$’li terimlerin kendi aralarında çarpımları $x^2.x=x^{2+1}=x^3$ yapar.

$y$’li terimlerin kendi aralarında çarpımları $y.y^2=y^{2+1}=y^3$ yapar.

Bu sonuçları birleştirirsek çarpımı,

$3x^2y.2xy^2=6x^3y^3$

çıkar.

 

Örnekler

  • $x.6y^3=6xy^3$
  • $a^2.a^3=a^5$
  • $a.2a^2b=2a^3b$
  • $a^2b.b^2a=a^3b^3$
  • $x^2yz.xy^2z=x^3y^3z^2$
 

B) İki ifadenin çarpımı

İki farklı ifadeyi birbiri ile çarptığımızda, çarpmanın dağılma özelliğini kullanırız.

 

Örnek 1:

$x$ ile $x^2+3x$’i çarpalım:

$x(x^2+3x)=x.x^2+x.3x=x^3+3x^2$

 

Örnek 2:

$xy$ ile $x^2y+y$ ifadelerini çarpalım:

$xy(x^2y+y)=xyx^2y+xy.y=2x^3.y^2+xy^2$

 

Örnek 3:

$x+1$ ile $x+2$’yi çarpalım:

$(x+1)(x+2)=x.(x+1)+1.(x+2)=x.x+x.1+1.x+1.2=x^2+x+x+2=x^2+2x+2$

 

Örnekler

  • $(2x+1)(2x+2)=4x^2+6x+3$
  • $(x+3)(2x+2)=2x^2+8x+6$
  • $(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$
  • $(x+3)(xy+1)=x^2y+x+3xy+3$
  • $(xy^2+1)(x^2y+1)=x^3y^3+xy^2+x^2y+1$
 

BÖLME

Pay ve paydada çarpım halinde bulunan cebirsel ifadeleri sadeleştirebiliriz.

 

Örnek 1:

${x(x+y) \over x^2}$

ifadesinin hem payında hem de paydasında çarpım halinde $x$ bulunmaktadır. Bu nedenle, pay ve paydadan birer $x$’i birbiri ile sadeleştirebiliriz.

${x(x+y) \over x^2}={(x+y)\over x}$

 

Örnek 2:

${(y+3)(x+1) \over (x+1)(y+8)}$

ifadesinin hem payında hem de paydasında $(x+1)$’i görmekteyiz. Sadeleştirme yaptığımızda,

${(y+3)(x+1) \over (x+1)(y+8)}={(y+3) \over (y+8)}$

ifadesine ulaşırız.

 

Örnek 3:

${xy+x^2y \over x^3y^3}$

ifadesinde sadeleşebilecek terimler açıkça görünmediği için, paydaki terimleri ortak paranteze almamız gerekiyor.

$xy+x^2y=xy(1+x)$ olduğundan payı bu ifade ile değiştirirsek,

${xy+x^2y \over x^3y^3}={xy(1+x) \over x^3y^3}$

olur. Payda çarpım halinde bulunan x ve y paydadaki ifadelerle sadeleşir ve sonuç

${xy(1+x) \over x^3y^3}={1+x \over x^2y^2}$

olur.

 

Örnek 4:

${xy^2+xy \over x^2y+x}$

ifadesinde hem pay hem de paydayı ortak değişkenler parantezine alıyoruz.

$xy^2+xy=xy(y+1)$

$x^2y+x=x(xy+1)$

Paranteze alınmış ifadeleri yerine yazarsak her iki ifade içinde de bulunan çarpım halindeki $x$’in sadeleştiğini görürüz.

${xy(y+1) \over x(xy+1)}={y(y+1) \over xy+1}$

 

Örnekler:

  • ${x^2+3x \over x}=x+3$
  • ${(x+y)(x^2+y)\over (x^3+y)(x+y)}={x^2+y \over x^3+y}$
  • ${a^2b+b^2a \over a^2b^2}={a+b \over ab}$
  • ${a^3-ab^3 \over a^2-ab^2}={a^2-b^3 \over a-b^2}$