8. SINIF MATEMATİK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

KONU 29-CEBİRSEL İFADELERLE İŞLEMLER

BÖLÜM 1-CEBİRSEL İFADELERDE PARANTEZE ALMA


 
 

Bu konuda cebirsel ifadelerde temel işlemleri ele alıyoruz. İlk olarak paranteze alma işlemi ile başlıyoruz. Sonraki bölümlerde sırasıyla,

öğreniyoruz.

ORTAK PARANTEZE ALMA

Cebirsel ifadelerde, terimleri ortak çarpan parantezine alabiliriz. Bunu yapabilmek için önce hangi çarpanların ortak olduğunu, başka bir değişle, hangi çarpanların terimlerin hepsinde birden bulunduğunu saptamamız gerekir. Daha sonra

  • Parantez dışına, bulduğumuz ortak çarpanları yazarız.
  • Parantez içine, ifadeyi ortak çarpanlara böldüğümüzde ortaya çıkan sonucu yazarız.

x2 + xy

 

Yukarıdaki cebirsel ifadede 2 terim görüyoruz: x2 ve xy

 

Ortak Çarpan:

  • x2 terimi iki tane x'in çarpımına eşittir: x2 = x . x
  • xy terimi ise x ile y'nin çarpımına eşittir: xy = x . y

Bu terimlerin ortak çarpanı x'tir. İfadeyi x parantezine almak için,

  • parantez dışına, x değişkenini ve
  • parantez içerisine, birer x çarpanı atıldığında terimlerden geriye kalan ifadeyi

yazarız.

 

Parantezin İçi:

Parantez içerisine yazacağımız ifadeyi bulabilmek için terimleri tek tek ortak çarpana böleriz.

  • x2'den bir tane x çarpanını atarsak, geriye x kalır.
  • xy'den x çarpanını atarsak, geriye y kalır.
 

Paranteze alınmış ifade:

Yukarıdaki çıkarımları özetleyecek olursak,

  • Parantezin dışında, x olmalıdır.
  • Parantez içinde, x + y olmalıdır.

Matematiksel olarak, paranteze alma işlemini

x2 + xy = x(x + y)

şeklinde gösterebiliriz.

Paranteze alma ile ilgili 20 ÖRNEK için tıklayın.

 
 
Noktanın ötelenmesi-örnek

Yukarıdaki örnekte gördüğümüz paranteze alma işlemini geometrik olarak da yorumlayabiliriz.

  • Bir kenar uzunluğu x olan bir karenin alanı x2'dir.
  • Kenar uzunlukları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı ise xy'dir.

Bu iki şeklin alanları toplamı x2 + xy'dir. Tanımladığımız kare ve dikdörtgeni yukarıdaki gibi iliştirirsek, kısa kenarı x ve uzun kenarı x + y olan bir dikdörtgen elde ederiz. Şekillerin birleştirilmesiyle oluşturulan bu dikdörtgenin alanı ise x(x + y)'dir. İlk bulduğumuz alan formülü ile ikinci bulduğumuz formül aynı olmalıdır. Bu iki ifadeyi eşitlediğimizde, örnekte elde ettiğimiz sonuçla karşılaşırız.

x2 + xy = x(x + y)

 
 

a2b + b2a

 

Ortak Çarpan:

Yukarıdaki ifadede gördüğümüz

  • a2b terimi, 2 tane a ve 1 tane b'nin çarpımına eşittir: a2b = a . a . b
  • b2a terimi, 2 tane b ve 1 tane a'nın çarpımına eşittir: b2a = b . b . a

İki ifadede de bir a ve bir b çarpanının ortak olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, verilen ifadeyi ortak ab parantezine alabiliriz.

  • Ortak ab parantezine alınmış ifadede, parantez dışında ab bulunmalıdır.
  • Parantez içerisine ise, terimleri tek tek ab'ye bölündüğümüzde bulduğumuz ifadeyi yazmamız gerekir.
 

Parantezin İçi:

  • İlk Terim: İlk terimde iki a ve bir b çarpanı bulunuyor. Eğer bu çarpanlardan bir a ve bir b'yi çıkarırsak, geriye sadece bir tane a kalır. Başka bir değişle, a2b terimini ab'ye böldüğümüzde a sonucunu buluruz. Bu nedenle parantez içerisindeki ilk terimin yerine a yazmamız gerekir.

    ...

  • İkinci Terim: Bir a ve iki b çarpanı olan ikinci terime de aynı bölme işlemini uyguladığımızda, b sonucunu elde ederiz.

    ...

 

Paranteze alınmış ifade:

Kısacası, parantez dışında ab ve içinde a + b olmalıdır.

a2b + b2a = ab(a + b)

 

NOT: Aynı ifadeyi yalnız a veya yalnız b parantezine almak istersek, srasıyla, aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz.

a2b + b2a = a(ab + b2)

a2b + b2a = b(a2 + ba)

Paranteze alma ile ilgili 20 ÖRNEK için tıklayın.

Aşağıdaki cebirsel ifadelerdeki ortak çarpanları bulup, bu ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım.

a) –x2y + xy = ...

b) x3 + x2y = ...

c) –a3b2 – a2b = ...

d) m3 + m2 = ...

e) x – x18 = ...

CEVAPLAR

İkiden fazla terim içeren ifadeleri de ortak çarpan parantezine alabiliriz.

m2nmn3 + mn

 

Yukarıdaki terimlerin tümünün ortak çarpanı mn'dir.

  • İlk terimin mn'ye bölümü m'dir.
  • İkinci terimin mn'ye bölümü n2'dir.
  • Üçüncü terimin mn'ye bölümü 1'dir.

Bu nedenle parantez içerisindeki ifade mn2 + 1 olmalıdır. Verilen ifadeyi mn parantezine aldığımızda, sonuç aşağıdaki gibi olur.

m2nmn3 + mn = mn(mn2 + 1)

Paranteze alma ile ilgili 20 ÖRNEK için tıklayın.

Aşağıdaki cebirsel ifadelerdeki ortak çarpanları bulup, bu ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım.

a) x3 – x2 + x = ...

b) x2y + xy2 + x = ...

c) –x3y2 + x4 – x2y2 = ...

d) a2b2 + ab2 + b2 = ...

e) a3 – a2b – ab2 – a4b3 = ...

CEVAPLAR

Bir cebirsel ifadede, sadece değişken kısımların değil, aynı zamanda katsayıların ortak çarpanlarını da paranteze alma işlemine dâhil edebiliriz.

6x2 + 12xy + 18x

 

Yukarıdaki ifadenin terimlerine baktığımızda, değişken kısımların ortak çarpanının x ve katsayıların ortak çarpanının 6 olduğunu görebiliriz. Bu ifadeyi, ortak 6x parantezine aşağıdaki gibi alabiliriz.

6x2 + 12xy + 18x = 6x(x + 2y + 3)

Paranteze alma ile ilgili 20 ÖRNEK için tıklayın.

Aşağıdaki cebirsel ifadelerdeki ortak çarpanları bulup, bu ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım.

a) 15x2 – 5x = ...

b) 12xy + 6x2 – 9xy2 = ...

c) 3a2 – 9a + 27a3 = ...

d) –10xy2 + 25x2y = ...

e) 12a3 + 6a2 – 3a5 = ...

CEVAPLAR

Yukarıdaki örneklerin tümünde ortak çarpanın işaretini "+" olarak seçtik. Bir terimi pozitif bir çarpana böldüğümüzde işareti değişmediği için başlangıçtaki ifade ile parantez içerisine yazdığımız ifadenin terimlerindeki işaretler aynı kaldı.

Ortak çarpanın işaretini "" olarak da seçebiliriz. Bu durumda, parantez içerisindeki terimlerin tümünün işareti değişir.

Paranteze alma işlemini yukarıdaki gibi yapıp, hem ortak çarpanın hem de parantez içerisindeki terimlerin işaretlerini değiştirdiğimizde, başlangıçtaki ifadeye denk bir ifade elde ederiz.

x2 – 6x

 

Yukarıdaki ifadeyi ortak x parantezine aldığımızda, karşımıza

x2 – 6x = x(–x – 6)

çıkar. Aynı ifadeyi x parantezine almak istersek, parantez içerisindeki terimlerin işaretlerini değiştirip,

x2 – 6x = –x(x + 6)

eşitliğini elde edebiliriz.

Paranteze alma ile ilgili 20 ÖRNEK için tıklayın.

Aşağıdaki boşlukları uygun ifadelerle dolduralım.

a) x2 – 2x3 + x = –x(.......)

b) –x2y + xy – xy2 = –xy(.......)

c) a3b3 – a2b2 = –a2b2(.......)

d) a3b3 – a2b2 = a2b2(.......)

e) a2 – ab + a2b2 = –a(.......)

CEVAPLAR

Bir ifadedeki terimleri ortak çarpan parantezine alarak, bu ifadeyi çarpanlarına ayırmış oluyoruz. Çünkü paranteze alınmış bir ifade, parantez içi ile parantez dışının çarpımına eşittir. Bu bölümde kullandığımız yönteme ek olarak, bazı özel ifadeleri çarpanlarına nasıl ayıracağımızı özdeşlikler konusunda görüyoruz.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) xy(–x + 1),   b) x2(x + y),   c) a2b(–ab – 1),   d) m2(m + 1),   e) x(1 – x17)

Alıştırmalar-2

a) x(x2 – x + 1),   b) x(xy + y2 + 1),   c) x2(–xy2 + x2 – y2),   d) b2(a2 + a + 1),   e) a(a2 – ab – b2 – a3b3)

Alıştırmalar-3

a) 5x(3x – 1),   b) 3x(4y + 2x – 3y2),   c) 3a(a – 3 + 9a2),   d) 5xy(–2y + 5x),   e) 3a2(4a + 2 – a3)

Alıştırmalar-4

a) –x + 2x2 – 1,   b) x – 1 + y,   c) –ab + 1,   d) ab – 1,   e) –a + b – ab2