8. SINIF MATEMATİK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

KONU 30-ÖZDEŞLİKLER

BÖLÜM 2-ÜÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK


 
 

Aşağıdaki 3 özdeşliği bilmemiz bazı problemlerin çözümünde oldukça faydalı olacaktır.

Özdeşlik-toplamın karesi
Özdeşlik-farkın karesi
Özdeşlik-karelerin farkı
 
 

ÖZDEŞLİK 1

... ...

Eşitliğin sol tarafındaki kareyi daha açık bir biçimde yazalım.

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak parantezlerden kurtulalım.

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)

= a . a + a . b + b . a + b . b

= a2 + 2ab + b2

Böylece eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi elde ediyoruz.


 
 

ÖZDEŞLİK 2

... ...

Sol taraftaki kareyi açık haliyle yazalım.

(ab)2 = (ab)(ab)

Parantezleri açalım.

(ab)(ab) = a(ab) – b(ab)

= a . aa . bb . a + b . b

= a2 – 2ab + b2

Eşitliğin sol tarafını daha açık şekilde yazdığımızda sağ tarafındaki ifadeyi elde ettiğimiz için bu bir özdeşliktir.


 

ÖZDEŞLİK 3

... ...

Eşitliğin solundaki parantezi açalım.

(a + b)(ab) = a(ab) + b(ab)

= a . aa . b + b . ab . b

= a2b2


 

ÖZDEŞLİKLERİN FARKLI BİÇİMLERİ

Yukarıda öğrendiğimiz özdeşliklerde, a ve b yerine farklı değişkenler veya sayılar koyabiliriz. Ayrıca bir özdeşlikte

  • sağ ve sol tarafları yer değiştirmemiz veya
  • bir taraftaki terimleri kendi aralarında yer değiştirmemiz

bu eşitliğin özdeşlik olduğu gerçeğini değiştirmez.

Aşağıdaki eşitlikler yukarıda öğrendiğimiz özdeşliklerin farklı biçimleridir.

  • (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
  • (1 + x)2 = 1 + 2x + x2
  • (x + 1)2 = 1 + x2 + 2x
  • (5 + a)(a – 5) = a2 – 25
  • 36 – x2 = (6 + x)(6 – x)
  • (10 – x)2 = 100 + x2 – 20x
  • 4 + 4y + y2 = (y + 2)2

Aşağıdaki eşitliklerden hangileri özdeşliktir?

a) (1 – x)(x + 1) = x2 – 1

b) 4 – 4x – x2 = (x – 2)2

c) (x + 3)2 – x2 = 6x + 9

d) (a – x)2 = –2ax + x2 + a2

e) (4 + z)2 = z2 + 16 + 8z

f) (a – 1)2 = b2 – 2b + 1

g) (1 + x)(x + 1) = 2x + 1 + x2

CEVAPLAR

Bu bölümde gördüğümüz üç özdeşlikte de eşitliğin sol tarafında parantez içerisine yazılmış ifadelerin çarpımını görüyoruz. Bu ifadeler, eşitliğin sağ tarafında açık halde verilmiş ifadelerin çarpanlarıdır.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-2

c, d, e ve g şıklarında verilen denklemler özdeşliktir.