TEOG HAZIRLIK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 4: ÖZDEŞLİKLER


Değişkenin alabileceği tüm değerler için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

Örneğin,

...

eşitliği tüm ... değerleri için doğrudur. Eğer ... yerine 0 koyarsak,

...

eşitliğin her iki tarafı da 0’a eşit olur. Eğer ... yerine 1 koyarsak,

...

eşitliğin her iki tarafı da 2’ye eşit olur. Bunun gibi, ... yerine konulan her değer eşitliğin her iki tarında da aynı sayının çıkmasına neden olacağından, bu eşitlik tüm ... değerleri için doğrudur. Bu nedenle, bu denklem bir özdeşliktir.

 

Aşağıdaki eşitlikler birer özdeşliktir.

  • ...
  • ...
  • ...
 

BİR DENKLEMİN ÖZDEŞLİK OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?

 

Verilen bir denklemin özdeşlik olup olmadığını anlamak için denklemi çözmeye çalışabiliriz.

Eğer denklem sonucu ..., ..., ... gibi değerler veriyorsa, özdeşlik değildir.

Eğer denklem sonucunda eşitliğin her iki tarafında da aynı ifadeyi elde ediyorsak, bu bir özdeşliktir.

Bir özdeşliği çözmeye çalıştığımızda değişkenler birbirini götürür ve 2=2, 0=0 gibi sonuçlar elde ederiz.

 

Örnek 1:

...

denkleminin bir özdeşlik olup olmadığını test edelim.

Denklemin sağ tarafında çarpmanın dağılma özelliğini kullanırsak, ... ... elde ederiz. Bu ise, denklemin sol tarafı ile aynıdır. Bu nedenle, ... denklemi bir özdeşliktir.

 

Örnek 2:

...

denkleminin özdeşlik olup olmadığı bulalım.

Denklemin her iki tarafında da çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak terimleri parantez dışına çıkarırsak,

...

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte solda ve sağdaki değişkenler biribirini götürmediği için, yukarıdaki denklemin bir özdeşlik olmadığını söyleyebiliriz.

 

Eğer denklemi çözmeye çalışırsak,

...

...

...

...

sonucunu buluruz.


 

ÜÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK

Bazı problemlerin çözümlerinde aşağıdaki 3 özdeşliği bilmenizin faydası olacaktır.

 

ÖZDEŞLİK 1

...

Doğrulama

...

...

...

...


 

ÖZDEŞLİK 2

...

Doğrulama

...

...

...

...


 

ÖZDEŞLİK 3

...

Doğrulama

...

...

...


 

Özdeşlikleri nasıl kullanabiliriz?

ÖZDEŞLİK 1

...

İlk özdeşlikte üç farklı ifade arasındaki ilişkiyi görüyoruz:

... : iki sayının toplamı

... : iki sayının çarpımı

... : iki sayının karelerinin toplamı

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı 85 olan iki sayının toplamı 11 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

Bu sayılara ... ve ... dersek, soruda ... ve ... olduğu verilip, ...’nin değeri isteniliyor.

Bu değerleri

... ...

özdeşliğinde yerine koyarsak,

...

olduğunu buluruz. Bu denklemden,

... ve ... buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 2

...

Bu özdeşliği de ilkindekine benzer bir şekilde kullanabiliriz. Özdeşlik içinde

... : iki sayının farkı

... : iki sayının çarpımı

... : iki sayının karelerinin toplamı

terimlerini görüyoruz.

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı 52 olan iki sayının çarpımı 24 ise bu sayıların farkı kaçtır?

Bu sayılara ... ve ... dersek, soruda ... ve ... olduğu verilip, ...’nin değeri isteniliyor.

Bu değerleri

... ...

özdeşliğinde yerine koyarsak,

... ...

olduğunu buluruz. Her iki tarafın karekökünü alırsak, bu sayıların farkını ... buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 3

...

Bu özdeşliği pay ve paydada verilen ifadeleri sadeleştirmek için kullanabiliriz.

Örnek:

... ... ... ... ...

Aynı özdeşliği büyük sayıların kareleri arasındaki farkı kolay hesaplayabilmek için kullanabiliriz.

 

Örnek:

... ... ...

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi bir özdeşlik değildir?

A) ...

B) ...

C) ...

D) ...

Çözüm:

Çarpanın dağılma özelliğini kullanarak

...

denklemini

...

şeklinde yazabiliriz. Şimdi her iki tarafa da 6 eklersek,

...

denklemini elde ederiz. Eğer soldaki ...’i sağa ... olarak atarsak,

...

sonucunu elde ederiz. Bu da bize denklemin çözümünün ... olduğu gösterir. Tüm gerçek sayılar için bu denklem doğru olmadığından, A seçeneği özdeşlik değildir.


(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Alanı ... metrekare olan arasaya alanı ... metrekare olan bir ev yapılıyor.

... ve ...’nin alabileceği her değer için arsanın kalan kısmının alanını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) ...

B) ...

C) ...

D) ...

Çözüm:

Alanı ... olan arasadan evin kapladığı alanı çıkardığımızda geriye

...

büyüklüğünde bir alan kalır.

...

özdeşliğinden, cevabın C olduğunu görebiliriz.