8. SINIF MATEMATİK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

KONU 30-ÖZDEŞLİKLER

BÖLÜM 1-ÖZDEŞLİK NEDİR? BİR EŞİTLİĞİN ÖZDEŞLİK OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?


 
 

Değişken içeren bir eşitlik, değişkenlerin alabileceği tüm değerler için sağlanıyorsa bu eşitliğe özdeşlik ismi verilir.

 
 

x(x + 1) = x2 + x

eşitliği bir özdeşliktir.

 

Bu eşitlik bir özdeşlik ise x'in tüm değerleri için doğru olmalıdır. Birkaç farklı değer için bunu test edelim.

 

x = 0

x yerine 0 koyduğumuzda

  • Eşitliğin sol tarafı: 0(0 + 1) = 0 olur.
  • Eşitliğin sağ tarafı: 02 + 0 = 0 olur.
 

x = 1

x yerine 1 koyduğumuzda

  • Eşitliğin sol tarafı: 1(1 + 1) = 2 olur.
  • Eşitliğin sağ tarafı: 12 + 1 = 2 olur.
 

Yukarıdakilere benzer şekilde x yerine koyduğumuz tüm değerler için eşitliğin sol ve sağ taraflarının aynı çıktığını görebiliriz. Bu denklem bir özdeşliktir.

 
 

Aşağıdaki eşitlikler birer özdeşliktir.

  • x = x
  • 2x – 6 = 2(x – 3)
  • (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2
 

BİR EŞİTLİĞİN ÖZDEŞLİK OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?

Değişken içeren bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlayabilmek için eşitliğin sol ve sağ tarafındaki cebirsel ifadelerle ilgili aşağıdaki işlemleri yapabiliriz.

  • Parantezleri açar, terimler arasındaki çarpma işlemlerini yaparız.
  • Benzer terimler arasında toplama ve çıkarma işlemleri yaparak iki ifadenin de en sade halini buluruz.

Bu işlemler sonucunda elde ettiğimiz eşitlikte

  • Sol ve sağ taraftaki tüm terimler aynıysa bu eşitlik bir özdeşliktir.
  • Sol ve sağ taraftaki terimler arasında katsayıların farklı olması, bir terimin bir tarafta olup diğer tarafta olaması gibi farklılıklar varsa, bu eşitlik bir özdeşlik değildir.

2x – 6 = 2(x – 3)

eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını test edelim.

 

Eşitliğin sağındaki parantezi açalım.

2(x – 3) = 2x – 6

Bulduğumuz ifade, denklemin sol tarafı ile aynıdır.

2x – 6 = 2x – 6

İki tarafta da aynı terimler olduğu için bu eşitlik bir özdeşliktir.

3(x – 1) = 2(x – 2)

eşitliğinin özdeşlik olup olmadığı bulalım.

 

Eşitliğin sağındaki ve solundaki parantezleri açalım.

  • Eşitliğin solu: 3(x – 1) = 3x – 3
  • Eşitliğin sağı: 2(x – 2) = 2x – 4

Buna göre

3x – 3 = 2x – 4

olmalıdır. Yalnız bu eşitlikte sol ve sağ taraftaki terimlerin katsayıları aynı değildir. Örneğin, solda 3x olduğu halde sağda 2x bulunmaktadır. İki tarafta farklı terimlerle karşılaştığımız için bu eşitlik bir özdeşlik değildir.

Aşağıdaki eşitliklerden hangileri özdeşliktir?

a) a(a – b) = a2 – b2

b) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1

c) 3(a2 + a) = a(3a + 3)

d) y2 – 1 = (1 – y)(y – 1)

e) x = y

f) (x – 1)(x + 2) = x2 + x – 2

CEVAPLAR

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

b, c ve f seçeneklerinde verilen eşitlikler özdeşliktir; diğer seçeneklerdeki eşitlikler özdeşlik değildir.