TEOG HAZIRLIK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 4: ÖZDEŞLİKLER


Değişkenin alabileceği tüm değerler için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

Örneğin,

$x(x+1)=x^2+x$

eşitliği tüm $x$ değerleri için doğrudur. Eğer $x$ yerine $0$ koyarsak,

$0(0+1)=0^2+0$

eşitliğin her iki tarafı da $0$’a eşit olur. Eğer $x$ yerine $1$ koyarsak,

$1(1+1)=1^2+1$

eşitliğin her iki tarafı da $2$’ye eşit olur. Bunun gibi, $x$ yerine konulan her değer eşitliğin her iki tarında da aynı sayının çıkmasına neden olacağından, bu eşitlik tüm $x$ değerleri için doğrudur. Bu nedenle, bu denklem bir özdeşliktir.

 

Aşağıdaki eşitlikler birer özdeşliktir.

  • $x=x$
  • $2x-6=2(x-3)$
  • $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
 

BİR DENKLEMİN ÖZDEŞLİK OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?

 

Verilen bir denklemin özdeşlik olup olmadığını anlamak için denklemi çözmeye çalışabiliriz.

Eğer denklem sonucu $x=3$, $x=0$, $x=5$ gibi değerler veriyorsa, özdeşlik değildir.

Eğer denklem sonucunda eşitliğin her iki tarafında da aynı ifadeyi elde ediyorsak, bu bir özdeşliktir.

Bir özdeşliği çözmeye çalıştığımızda değişkenler birbirini götürür ve $2=2$, $0=0$ gibi sonuçlar elde ederiz.

 

Örnek 1:

$2x-6=2(x-3)$

denkleminin bir özdeşlik olup olmadığını test edelim.

Denklemin sağ tarafında çarpmanın dağılma özelliğini kullanırsak, $2(x-3)=2.x-2.3=2x-6$ elde ederiz. Bu ise, denklemin sol tarafı ile aynıdır. Bu nedenle, $2x-6=2(x-3)$ denklemi bir özdeşliktir.

 

Örnek 2:

$3(x-1)=2(x-2)$

denkleminin özdeşlik olup olmadığı bulalım.

Denklemin her iki tarafında da çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak terimleri parantez dışına çıkarırsak,

$3x-3=2x-4$

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte solda ve sağdaki değişkenler biribirini götürmediği için, yukarıdaki denklemin bir özdeşlik olmadığını söyleyebiliriz.

 

Eğer denklemi çözmeye çalışırsak,

$3x-3-2x=-4$

$x-3=-4$

$x=-4+3$

$x=-1$

sonucunu buluruz.


 

ÜÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK

Bazı problemlerin çözümlerinde aşağıdaki 3 özdeşliği bilmenizin faydası olacaktır.

 

ÖZDEŞLİK 1

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Doğrulama

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$

$=a.(a+b)+b(a+b)$

$=a.a+a.b+b.a+b.b$

$=a^2+2ab+b^2$


 

ÖZDEŞLİK 2

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Doğrulama

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$

$=a.(a-b)-b(a-b)$

$=a.a-a.b-b.a+b.b$

$=a^2-2ab+b^2$


 

ÖZDEŞLİK 3

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Doğrulama

$(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)$

$=a.a-a.b+a.b-b.b$

$=a^2-b^2$


 

Özdeşlikleri nasıl kullanabiliriz?

ÖZDEŞLİK 1

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

İlk özdeşlikte üç farklı ifade arasındaki ilişkiyi görüyoruz:

$a+b$ : iki sayının toplamı

$ab$ : iki sayının çarpımı

$a^2+b^2$ : iki sayının karelerinin toplamı

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı $85$ olan iki sayının toplamı $11$ ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

Bu sayılara $a$ ve $b$ dersek, soruda $a^2+b^2=85$ ve $a+b=11$ olduğu verilip, $ab$’nin değeri isteniliyor.

Bu değerleri

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

özdeşliğinde yerine koyarsak,

$11^2=85+2ab$

olduğunu buluruz. Bu denklemden,

$2ab=36$ ve $ab=18$ buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 2

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

Bu özdeşliği de ilkindekine benzer bir şekilde kullanabiliriz. Özdeşlik içinde

$a-b$ : iki sayının farkı

$ab$ : iki sayının çarpımı

$a^2+b^2$ : iki sayının karelerinin toplamı

terimlerini görüyoruz.

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı $52$ olan iki sayının çarpımı $24$ ise bu sayıların farkı kaçtır?

Bu sayılara $a$ ve $b$ dersek, soruda $a^2+b^2=52$ ve $ab=24$ olduğu verilip, $a-b$’nin değeri isteniliyor.

Bu değerleri

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

özdeşliğinde yerine koyarsak,

$(a-b)^2=52-2.24=4$

olduğunu buluruz. Her iki tarafın karekökünü alırsak, bu sayıların farkını $a-b=2$ buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 3

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Bu özdeşliği pay ve paydada verilen ifadeleri sadeleştirmek için kullanabiliriz.

Örnek:

${a^2-b^2 \over (a+b)^2}={(a-b)(a+b) \over (a+b)^2}={a-b \over a+b}$

Aynı özdeşliği büyük sayıların kareleri arasındaki farkı kolay hesaplayabilmek için kullanabiliriz.

 

Örnek:

$1812^2-1802^2=(1812-1802)(1812+1802)=10.3614=36140$

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi bir özdeşlik değildir?

A) $2.(x-3)=3.(x-2)$

B) $(x-3)^2=x^2-6x+9$

C) $x^2-x=x(x-1)$

D) $x^2-4=(x-2)(x+2)$

Çözüm:

Çarpanın dağılma özelliğini kullanarak

$2(x-3)=3(x-2)$

denklemini

$2x-6=3x-6$

şeklinde yazabiliriz. Şimdi her iki tarafa da $6$ eklersek,

$2x=3x$

denklemini elde ederiz. Eğer soldaki $2x$’i sağa $-2x$ olarak atarsak,

$0=x$

sonucunu elde ederiz. Bu da bize denklemin çözümünün $x=0$ olduğu gösterir. Tüm gerçek sayılar için bu denklem doğru olmadığından, A seçeneği özdeşlik değildir.


(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Alanı $a^2$ metrekare olan arasaya alanı $b^2$ metrekare olan bir ev yapılıyor.

$a$ ve $b$’nin alabileceği her değer için arsanın kalan kısmının alanını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(a-b)^2$

B) $4. (a-b)^2$

C) $(a-b).(a+b)$

D) $4.(a-b).(a+b)$

Çözüm:

Alanı $a^2$ olan arasadan evin kapladığı alanı çıkardığımızda geriye

$a^2-b^2$

büyüklüğünde bir alan kalır.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

özdeşliğinden, cevabın C olduğunu görebiliriz.