TEOG HAZIRLIK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 4: ÖZDEŞLİKLER


İçerisindeki değişkenlerin alabileceği tüm değerler için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

...

eşitliği bir özdeşliktir.

 

Bu eşitlik bir özdeşlik ise, ...'in tüm değerleri için doğru olmalıdır. Birkaç farklı değer için bunu test edelim.

 

x = 0

... yerine 0 koyarsak, eşitliğin

  • Sol tarafı: ... ve
  • Sağ tarafı: ...

olur.

 

x = 1

... yerine 1 koyduğumuzda, eşitliğin

  • Sol tarafı: ... ve
  • Sağ tarafı: ...

çıkar.

 

Yukarıdakilere benzer şekilde, ... yerine koyduğumuz tüm değerler için eşitliğin sol ve sağ taraflarının aynı çıktığını görebiliriz. Bu denklem bir özdeşliktir.

 

Aşağıdaki eşitlikler birer özdeşliktir.

  • ...
  • ...
  • ...
 

BİR DENKLEMİN ÖZDEŞLİK OLUP OLMADIĞINI NASIL ANLARIZ?

 

Verilen bir denklemin özdeşlik olup olmadığını anlamak için değişkenleri denklemin bir tarafına atıp, bu denklemi çözmeye çalışabiliriz. Yaptığımız işlemler sonucunda elde ettiğimiz en sade eşitlik bize bu denklemin özdeşlik olup olmadığını verecektir.

 

ÖZDEŞLİK OLAN DENKLEMLER

Eğer denklem sonucunda eşitliğin her iki tarafında da aynı ifadeyi elde ediyorsak, denklemin bir özdeşlik olduğunu söyleyebiliriz. Bir özdeşliği çözmeye çalıştığımızda değişkenler birbirini götürür ve 2 = 2, 0 = 0 gibi sonuçlar elde ederiz.

 

ÖZDEŞLİK OLMAYAN DENKLEMLER

  • Denklemi çözmeye çalıştığımızda, değişkenlerin tamamı birbirini götürmüyor ve

    ..., ... veya ...

    gibi sonuçlar elde ediyorsak, bu denklemin tüm değerler tarafından sağlanmadığını anlarız. Böyle sonuçlar veren denklemler özdeşlik değildir.

  • Denklemde değişkenler birbirini götürüyor ve

    ...

    gibi yanlış ifadeler çıkıyorsa, değişkene verebileceğimiz değerlerden hiç biri bu denklemi sağlamaz. Bu durumda da verilen denklem bir özdeşlik olamaz.

 

...

denkleminin özdeşlik olup olmadığını test edelim.

 

Çarpmanın dağılma özelliğini kullandığımızda, denklemin sağ tarafı

... ...'ya

eşit olur. Bulduğumuz ifade denklemin sol tarafı ile aynıdır. Eşitliğin iki tarafındaki ...'ler birbirini götürür ve ... gibi ...'ten bağımsız olarak her zaman doğru olan bir denklem elde ederiz. Bu nedenle, verilen denklem tüm ... değerleri için doğrudur ve bir özdeşliktir.

 

...

denkleminin özdeşlik olup olmadığı bulalım.

 

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, denklemin her iki tarafındaki terimleri parantez dışına çıkarırsak,

...

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte solda ve sağdaki değişkenler birbirini götürmediği için, yukarıdaki denklemin bir özdeşlik olmadığını söyleyebiliriz.

 

Eğer denklemi çözmeye çalışırsak,

...

...

...

...

sonucunu buluruz. Verilen denklem tüm değerler için değil, sadece ... doğrudur.


 

ÜÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK

Aşağıdaki 3 özdeşliği bilmemiz bazı problemlerin çözümünde oldukça faydalı olacaktır.

 

ÖZDEŞLİK 1

...

Doğrulama

...

...

...

...


 

ÖZDEŞLİK 2

...

Doğrulama

...

...

...

...


 

ÖZDEŞLİK 3

...

Doğrulama

...

...

...


 

Özdeşlikleri nasıl kullanabiliriz?

ÖZDEŞLİK 1

...

İlk özdeşlikte üç farklı ifade arasındaki ilişkiyi görüyoruz:

... : iki sayının toplamı

... : iki sayının çarpımı

... : iki sayının karelerinin toplamı

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı 85 olan iki sayının toplamı 11 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

Bu sayılara ... ve ... dersek, soruda ... ve ... olduğu verilip, ...’nin değeri isteniliyor.

Bu değerleri

... ...

özdeşliğinde yerine koyarsak,

...

olduğunu buluruz. Bu denklemden,

... ve ... buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 2

...

Bu özdeşliği de ilkindekine benzer bir şekilde kullanabiliriz. Özdeşlik içinde

... : iki sayının farkı

... : iki sayının çarpımı

... : iki sayının karelerinin toplamı

terimlerini görüyoruz.

Bir soruda, bunlardan ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

 

Örnek:

Kareleri toplamı 52 olan iki sayının çarpımı 24 ise bu sayıların farkı kaçtır?

Bu sayılara ... ve ... dersek, soruda ... ve ... olduğu verilip, ...’nin değeri isteniyor.

Bu değerleri

... ...

özdeşliğinde yerine koyarsak,

... ...

olduğunu buluruz. Her iki tarafın karekökünü alırsak, bu sayıların farkını ... buluruz.

 

ÖZDEŞLİK 3

...

Bu özdeşliği pay ve paydada verilen ifadeleri sadeleştirmek için kullanabiliriz.

Örnek:

... ... ... ... ...

Aynı özdeşliği büyük sayıların kareleri arasındaki farkı kolay hesaplayabilmek için kullanabiliriz.

 

Örnek:

... ... ...

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi bir özdeşlik değildir?

A) ...

B) ...

C) ...

D) ...

 

Çözüm:

Çarpanın dağılma özelliğini kullanarak

...

denklemini

...

şeklinde yazabiliriz. Şimdi her iki tarafa da 6 eklersek,

...

denklemini elde ederiz. Eğer soldaki ...’i sağa ... olarak atarsak,

...

sonucunu elde ederiz. Bu da bize denklemin çözümünün ... olduğu gösterir. Tüm gerçek sayılar için bu denklem doğru olmadığından, A seçeneği özdeşlik değildir.

 

(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Alanı ... metrekare olan arsaya alanı ... metrekare olan bir ev yapılıyor.

... ve ...’nin alabileceği her değer için arsanın kalan kısmının alanını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) ...

B) ...

C) ...

D) ...

 

Çözüm:

Soruda verilenlere göre

  • Arsanın alanı: ... ve
  • Evin alanı: ...'dir.

Arsanın alanından evin alanını çıkarırsak, geriye kalan alanı bulabiliriz. İstenilen alan

...'dir.

Soruda, tüm değerler için doğru olan ifade sorulmaktadır. Başka bir değişle, ...'nin özdeşi olan ifadenin hangi seçenekte olduğu sorulmaktadır. Bu soruyu çözebilmek için bir kaç farklı yol izleyebiliriz.

YOL 1

Yukarıdaki 3. özdeşliği hatırlarsak

...

olduğunu görebiliriz. Çarpmanın değişme özelliğini kullanarak, sağ tarafta parantez içine yazılan ifadelerin yerini değiştirdiğimizde C seçeneğinde verilen cebirsel ifadeyi elde ederiz.

YOL 2

Eğer özdeşlikleri hatırlamıyorsak, seçeneklerdeki ifadeleri daha açık hale getirip, hangisinin ...'ye eşit olduğunu bulabiliriz.

A)

...

...

...

...

B)

...

...

...

...

C)

...

...

...

D)

...

...

...

Bu seçeneklerden sadece C'nin ...'ye eşit olduğunu görüyoruz.

YOL 3

Özdeşlikleri hatırlamıyor ve denklem çözümleri ile uğraşmak istemiyorsak, ... ve ... için çeşitli değerler verip, seçeneklerden hangisinin ... ile aynı sonucu verdiğine bakabiliriz. Örneğin, ... ve ... olsun. Bu değerler için

.........

sayısını elde ederiz. Şimdi aynı değerler için seçeneklerden hangisinin 3 sonucunu verdiğine bakalım.

A) ...... ...

B) ... ... ...

C) ... ... ...

D) ... ... ...

Sadece C'nin aynı sonucu verdiğini görüyoruz. Birden fazla seçenek doğru cevabı verseydi, farklı ... ve ... değerleri için tekrar deneme yapabilirdik.

Tüm ... ve ... değerleri için ... ile ... ifadeleri aynı sonucu verir.

CEVAP: C