8. SINIF MATEMATİK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

KONU 30-ÖZDEŞLİKLER

BÖLÜM 3-ÖZDEŞLİKLER NASIL KULLANILIR?


 
 

Önceki bölümde öğrendiğimiz 3 önemli özdeşliği nasıl kullanabileceğimize dair örnekleri aşağıda bulabilirsiniz.

 

ÖZDEŞLİK 1

Özdeşlik-toplamın karesi

İlk özdeşlik, 2 sayının toplamı, çarpımı ve kareleri toplamı arasında bir ilişki kurmaktadır.

a + b : 2 sayının toplamı

ab : 2 sayının çarpımı

a2 + b2 : 2 sayının kareleri toplamı

Bunlardan ikisi verilip, üçüncüsü istendiğinde yukarıdaki özdeşliği kullanabiliriz.

 
 

Kareleri toplamı 85 olan iki sayının toplamı 11 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

Bu sayılara a ve b diyelim. Soruda a2 + b2 = 85 ve a + b = 11 olduğu verilip ab’nin değeri isteniyor.

Verilen değerleri

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

özdeşliğinde yerine yazdığımızda

112 = 85 + 2ab

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için ab = 18 olması gerekir.

 
 

Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazalım.

... ...

Toplam Çarpım Kareleri Toplamı
4 3 ...
4 ... 8
... 33 130
16 ... 130
16 15 ...

CEVAPLAR

 

ÖZDEŞLİK 2

Özdeşlik-farkın karesi

Bu özdeşlik, iki sayının farkı ile bu sayıların çarpımı ve kareleri toplamı arasında bir ilişki kurmaktadır.

ab : 2 sayının farkı

ab : 2 sayının çarpımı

a2 + b2 : 2 sayının karelerinin toplamı

Bir soruda yukarıdakilerden ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

Kareleri toplamı 52 olan iki sayının çarpımı 24'e eşitse bu sayıların farkı kaçtır?

 

Bu sayılara a ve b diyelim. Soruda a2 + b2 = 52 ve ab = 24 olduğu verilip ab’nin değeri isteniyor.

Bu değerleri

(ab)2 = a2 + b2 – 2ab

özdeşliğinde yerine koyarsak

(ab)2 = 52 – 2 . 24 = 4

olduğunu buluruz. Her iki tarafın karekökünü alırsak bu sayıların farkının ab = 2 olduğunu görebiliriz.

Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazalım.

... ...

Fark Çarpım Kareleri Toplamı
1 ... 25
1 90 ...
... 36 153
2 ... 74
... 64 128

CEVAPLAR

 

ÖZDEŞLİK 3

Özdeşlik-karelerin farkı

Bu özdeşliği pay ve paydada verilen ifadeleri sadeleştirmek için kullanabiliriz.

... ... ...

Aynı özdeşliği, büyük sayıların kareleri arasındaki farkı kolay hesaplayabilmek için de kullanabiliriz.

  • 18122 – 18022 = (1812 – 1802)(1812 + 1802) = 10 . 3614 = 36 140
  • 100 0012 – 99 9992 = (100 001 – 99 999)(100 001 + 99 999) = 2 . 200 000 = 400 000
  • 362 – 322 = (36 – 32)(36 + 32) = 4 . 68 = 272

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-3

Toplam Çarpım Kareleri Toplamı
4 3 10
4 4 8
14 33 130
16 63 130
16 15 226
 

Alıştırmalar-4

Fark Çarpım Kareleri Toplamı
1 12 25
1 90 181
9 36 153
2 35 74
0 64 128