OLASILIK

DERS 3: BİRDEN FAZLA DENEY


Önceki derslerde, yalnız bir deneyin olduğu (bir zarın bir kere atılması, yalnız bir kutudan top çekilmesi vb.) problemleri gördük. Bu derste ise, bir zarın iki defa atılması, iki farklı zarın atılması, aynı kutudan birden fazla defa top çekilmesi vb. birden fazla deneyin bir arada değerlendirildiği problemlerin çözümlerini öğreneceğiz. Bu tarz problemlerde iki veya daha fazla deney bir arada, tek bir deney gibi düşünülür.

 

Birden fazla deneyin olduğu problemleri, tüm olası çıktıları (sonuçları) sıralayıp, bunlar içerisinden istenilen olayların kaç tane olduğunu bularak çözebiliriz. İstenilen olasılığı bulabilmek için, bulduğumuz sayıyı tüm olayların sayısına bölmeliyiz.

$$\text{Olayın Olma Olasılığı}={\text{Olay İçindeki Çıktı Sayısı} \over \text{Tüm Çıktıların Sayısı}}$$

Bu problem çeşidinin DERS 2’deki problemlerden farkı, çıktıların tek tek değil, deney sayısına göre ikili üçlü şekilde ifade edilmesidir. Örneğin, yazı-tura atma deneyinde eğer tek bir para bir defa atılıyorsa deney çıktıları Yazı ve Tura olarak tanımlanır. Eğer, bir para iki kere ya da iki farklı para birer defa tılıyorsa bu defa çıktıları (Yazı,Tura) (Yazı, Yazı) vs gibi tanımlıyoruz.

Aşağıda örnekler üzerinde, çıktı tanımlamayı ve olasılık bulmayı öğreneceğiz.

İKİ DENEYLİ ÖRNEKLER

 

ÖRNEK 1:

İki farklı bozuk parayla yazı-tura attığımızı varsayıp, bu iki paradan birinin yazı, diğerinin tura gelme olasılığını bulalım.

Sonuçları parantez içerisinde

$$(\text{İlk bozuk paranın sonucu, İkinci bozuk paranın sonucu})$$

şeklinde yazarsak, tüm olası sonuçlar için, aşağıdaki gibi bir liste elde edebiliriz.

$$( \text{Yazı, Yazı})\text{ } \color{Maroon}{(\text{Yazı, Tura})} \text{ } \color{Maroon}{(\text{Tura, Yazı})} \text{ } (\text{Tura, Tura})$$

Örneğin, $(\text{Yazı, Tura})$ ilk paranın yazı, ikincinin ise tura geldiği anlamına gelmektedir. Bu listede 4 farklı çıktımız var. Bizden istenilen ise, paralardan birinin yazı diğerinin tura gelme olasılığı. İstenilen duruma uyan iki farklı seçeneğimiz var. Ya birinci para yazı ve ikinci tura gelecek; ya da birinci para tura ikinci yazı gelecek. Listede kullandığımız biçimde yazacak olursak, istenilene uyan seçenekler: $\color{Maroon}{(\text{Yazı, Tura})}$ ve $\color{Maroon}{(\text{Tura, Yazı})}$'dır.

Kısacası, deneyimizin 4 farklı sonucu olabilir ama bizden istenilen durum bunlardan 2’sine uyuyor. Bu nedenle, soruda istenilen olasılık:

$${\text{Olaya Uyan Çıktı Sayısı} \over \text{Toplam Çıktı Sayısı}}={2 \over 4}={1 \over 2}=0,5$$

olur.

Dikkat: Burada sorulan birincinin yazı, ikincinin tura gelme olasılığı değildir. Eğer bu sorulsaydı, çıktılar içinde sadece (Yazı, Tura) çıktısı istenilen olaya uyacaktı ve bu nedenle olasılık ${1\over4}$ olacaktı.


 

ÖRNEK 2:

Atılan iki zardan birincinin çift ve ikincinin 4’ten büyük gelme olasılığını bulalım.

Birinci ve ikinci zarların sonuçlarını ikili sayılar halinde yazabiliriz: $(\text{Birinci Zarın Sonucu, İkinci Zarın Sonucu})$

Bu şekilde yazdığımızda, tüm sonuçları aşağıdaki gibi listeleyebiliriz:

$$(1, 1)\text{ }(1, 2)\text{ }(1, 3)\text{ }(1, 4)\text{ }(1, \color{Maroon}5)\text{ }(1, \color{Maroon}6)$$

$$(\color{Green}2, 1)\text{ }(\color{Green}2, 2)\text{ }(\color{Green}2, 3)\text{ }(\color{Green}2, 4)\text{ }(\color{Green}2, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}2, \color{Maroon}6)$$

$$(3, 1)\text{ }(3, 2)\text{ }(3, 3)\text{ }(3, 4)\text{ }(3, \color{Maroon}5)\text{ }(3, \color{Maroon}6)$$

$$(\color{Green}4, 1)\text{ }(\color{Green}4, 2)\text{ }(\color{Green}4, 3)\text{ }(\color{Green}4, 4)\text{ }(\color{Green}4, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}4, \color{Maroon}6)$$

$$(5, 1)\text{ }(5, 2)\text{ }(5, 3)\text{ }(5, 4)\text{ }(5, \color{Maroon}5)\text{ }(5, \color{Maroon}6)$$

$$(\color{Green}6, 1)\text{ }(\color{Green}6, 2)\text{ }(\color{Green}6, 3)\text{ }(\color{Green}6, 4)\text{ }(\color{Green}6, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}6, \color{Maroon}6)$$

Bu listede $(3, 5)$ ikilisi, birinci zarın 3 ve ikinci zarın 5 geldiği anlamına geliyor. Yukarıdaki listenin dışında bir sonuçla karşılaşma imkanımız yok. Listede toplam 36 farklı çıktı var ve bunlardan soruda istenilene uyanlar:

$$(\color{Green}2, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}2, \color{Maroon}6)$$

$$(\color{Green}4, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}4, \color{Maroon}6)$$

$$(\color{Green}6, \color{Maroon}5)\text{ }(\color{Green}6, \color{Maroon}6)$$

6 tanedir. Buna göre istenilen olasılığı ${6 \over 36}={1 \over 6}$ buluruz.


 

ÖRNEK 3:

Atılan iki zarın toplamının 5’ten küçük olma olasılığı bulalım.

Bir önceki örnekteki gibi toplam 36 adet çıktımız var. Bu çıktılardan,

$(1, 1)\text{ }(1, 2)\text{ }(1, 3)\text{ }(2, 1)\text{ }(2, 2)$ ve $(3, 1)$

toplamın 5’ten küçük olmasını sağlamaktadır. İstenilen duruma uyan 6 çıktı olduğu için, olasılık ${6 \over 36}={1 \over 6}$ çıkar.


 

ÖRNEK 4:

DENEME kelimesinin harflerinin her biri ayrı bir kağıda yazılıp, bir torbaya atılmıştır. Çekilen harfin geri torbaya atıldığını varsayıp, üstüste çekilen iki harfin de E olma olasılığını bulalım.

Yukarıdaki örneklere benzer şekilde tüm olası çıktıları listeleyeceğiz. Yalnız, E’leri ayırt etmek için, her bir E harfinin altına kaçıncı sırada olduğunu yazalım ($D\color{Orange}{E_1}N\color{Orange}{E_2}M\color{Orange}{E_3}$) . Aşağıdaki listede parantez içindeki birinci harf ilk çekilen harfi, ikincisi ise ikinci çekilen harfi temsil etmektedir.

$$(D, D)\text{ }(D, \color{Orange}{E_1})\text{ }(D, N)\text{ }(D, \color{Orange}{E_2})\text{ }(D, M)\text{ }(D, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_1},D)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, M)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(N, D)\text{ }(N, \color{Orange}{E_1})\text{ }(N, N)\text{ }(N, \color{Orange}{E_2})\text{ }(N, M)\text{ }(N, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_2}, D)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, M)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(M, D)\text{ }(M, \color{Orange}{E_1})\text{ }(M, N)\text{ }(M, \color{Orange}{E_2})\text{ }(M, M)\text{ }(M, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_3}, D)\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, M)\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_3})$$

İki zarı atma deneyimizde olduğu gibi, burada da 36 farklı çıktımız var. Bunlardan her ikisi de E harfi olanlar

$$(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_3})$$

toplam 9 çıktıdır. Kısacası 36 çıktının 9’u soruda verilen şarta uymaktadır. Bu nedenle, istenilen olasılık ${9 \over 36}={1 \over 4}$’tür.


 

ÖRNEK 5:

DENEME kelimesinin harflerinin her biri ayrı bir kağıda yazılıp, bir torbaya atılmıştır. Çekilen harfin geri torbaya atılmadığını varsayıp, üstüste çekilen iki harfin de E olma olasılığını bulalım.

Bir önceki örneğe benzer şekilde, E’leri ayırt edebilmek için E harflerinin altına sayılar ekleyelim: $D\color{Orange}{E_1}N\color{Orange}{E_2}M\color{Orange}{E_3}$. Bu soru için tüm olası çıktıların sayısı bir önceki örnekten daha azdır. Bunun nedeni, aynı harfin iki kere çekilememesidir. Örneğin, bu defa $(N, N)$ gibi bir çıktımız olmayacak.

$$(D, \color{Orange}{E_1})\text{ }(D, N)\text{ }(D, \color{Orange}{E_2})\text{ }(D, M)\text{ }(D, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_1}, D)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, M)\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(N, D)\text{ }(N, \color{Orange}{E_1})\text{ }(N, \color{Orange}{E_2})\text{ }(N, M)\text{ }(N, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_2},D)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, M)\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_3})$$

$$(M, D)\text{ }(M, \color{Orange}{E_1})\text{ }(M, N)\text{ }(M, \color{Orange}{E_2})\text{ }(M, \color{Orange}{E_3})$$

$$(\color{Orange}{E_3}, D)\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, N)\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, M)$$

Bu defa toplam 30 çıktımız var. Bu çıktılar içinden,

$$(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_2})\text{ }(\color{Orange}{E_1}, \color{Orange}{E_3})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_1})\text{ }(\color{Orange}{E_2}, \color{Orange}{E_3})\text{ }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_1})\text{ ve }(\color{Orange}{E_3}, \color{Orange}{E_2})$$

her iki harfin de E olduğu çıktılardır. Kısacası 30 çeşit çıktıdan 6’sı şartlarımıza uymaktadır. Bu nedenle, istenilen olasılık ${6 \over 30}={1 \over 5}$ olur.

 

ÜÇ DENEYLİ ÖRNEKLER

 

ÖRNEK 1:

Üç kere yazı-tura atıldığında, en az iki kere tura gelme olasılığını bulalım.

Yukarıdaki örneklere benzer şekilde, tüm deney sonuçlarını parantez içerisinde yazacağız. Bu soru için çıktılar listesi aşağıdaki gibidir.

$$(\text{Yazı}, \text{Yazı}, \text{Yazı})\text{ }(\text{Yazı}, \text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})\text{ }(\text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı})\text{ }(\text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})$$

$$(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı}, \text{Yazı})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})$$

En az iki kere tura gelmesi olayı, yukarıdaki liste içerisinde 2 veya 3 defa tura içeren çıktıları kapsamaktadır. Bu çıktılar,

$$(\text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı})\text{ }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})$$

olduğundan, en az iki kere tura gelme olasılığı,

$${\text{İki veya üç tura içeren çıktıların sayısı} \over \text{Tüm çıktıların sayısı}}={4 \over 8}={1 \over 2}$$

olur.


 

Eğer bize, sadece bir kez tura gelme olasılığı sorulursa, bu olaya uyan çıktılar

$$(\text{Yazı}, \text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}})\text{ }(\text{Yazı}, \color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı})\text{ ve }(\color{Fuchsia}{\text{Tura}}, \text{Yazı}, \text{Yazı})$$

olduğundan, sonucu

$${\text{Sadece 1 kez turanın geldiği çıktıların sayısı} \over \text{Tüm çıktıların sayısı}}={3 \over 8}$$

olarak buluruz.


 

DÖRT DENEYLİ ÖRNEKLER

 

ÖRNEK 1:

Dört farklı kutunun her birinde 1 kırmızı ve 1 mavi top vardır. Bu kutulardan sırayla birer top çekildiğinde, her defasında farklı renkte bir topun gelme olasılığını bulalım.

Kırmızıyı $\color{red}{\text{K}}$ ve maviyi $\color{blue}{\text{M}}$ ile gösterecek olursak, bu deneyin, aşağıda gösterilen 16 farklı sonucu olabilir:

$$(\color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}})$$

$$(\color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}})$$

$$(\color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}})$$

$$(\color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}})\text{ }(\color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{blue}{\text{M}})$$

Bu sonuçlar içerisinden, olasılığını bulmak istediğimiz olaya uyan sadece $(\color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}})$ ve $(\color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}}, \color{blue}{\text{M}}, \color{red}{\text{K}})$ çıktıları olduğundan, sonuç ${2 \over 16}={1 \over 8}$ çıkar.

 

ÖNEMLİ NOT: Yukarıdaki soru çözme yöntemi, her soru için uygun değildir. Örneğin, 2 zar değilde, 4 zar kullanırsak, 1296 çeşit çıktımız olur. Bazı soruları, sonuçlarını sıralamadan daha kolay şekilde çözmeyi bir sonraki derste öğreniyoruz.

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 2. Dönem Sorusu)

A şehrinden B şehrine hava, kara, deniz ve demir yolu ile gidilebilmektedir.

A şehrinden B şehrine gidecek olan Ali ve Ayşe'nin aynı ulaşım yolu ile gitme olasılığı nedir?

A) $ {1 \over 16}$

B) $ {1 \over 8}$

C) $ {1 \over 4}$

D) $ {1 \over 2}$

Çözüm:

Eğer have, kara, deniz ve demir yolu ile ulaşımı sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 ile gösterirsek, Ali ve Ayşe'nin A'dan B'ye gidebilmesi için aşağıda listelenen 16 seçenek bulunmaktadır.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)

Bu seçenekler içinden (1, 1), (2, 2) (3, 3) ve (4, 4) soruda istenilene uymaktadır. Bu nedenle, olasılık ${4 \over 16}={1 \over 4}$ olur. Cevap C.