TEOG HAZIRLIK-DOĞRUSAL DENKLEMLER

DERS 2: DOĞRUNUN EĞİMİ


DOĞRUNUN EĞİMİ

 

Koordinat sisteminde verilen bir doğru için, bu doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren, eğim adı verilen bir parametre tanımlanmıştır.

 

Eğim, eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında, -100, 0, 1ve 5,2 gibi gerçek bir sayıdır.

 

Bir doğrunun eğimi $m$ ile gösterilir.

 

Aşağıda değişik eğimlere sahip doğrular gösterilmiştir.

Doğrunun eğimi

Bir denklemin eğimi, x’in birim miktar değişimlerine karşı, y’nin ne kadar değişeceğini gösterir.

 

Aşağıda farklı eğimlere sahip iki doğru görüyoruz.

Doğrunun eğimi

Kırmızı doğrunun eğimi 1 ve mavi doğrununki 2’dir. x=0 iken her iki doğru için de y=0'dır. x’i 1 artırdığımızda, kırmızı doğru y=1 ve mavi doğru y=2 noktasına gelir. x'i 1 artırmamız, kırmızı doğru için 1 birim ve mavi doğru için 2 birimlik bir artışa karşılık gelmiştir. x’deki birim miktar artışa karşılık, y’de meydana gelen artış eğim yükseldikçe artacaktır.

 

Paralel doğruların eğimleri aynıdır.

Aşağıda gösterilen paralel doğruların tümünün eğimi 1’dir.

Paralel doğrular
 

Eğimin 0 Olması

x-eksenine paralel (y-eksenine dik) olan doğruların eğimleri sıfırdır.

Bu doğrularda x’deki artış, y’de artış olmasına neden olmaz. y’nin değeri her zaman sabittir. Aşağıda eğimi 0 olan doğrular görmekteyiz.

Eğimi 0 olan doğrular
 

Eğimin Sonsuz Olması

y-eksenine paralel (x-eksenine dik) olan doğruların eğimi sonsuzdur.

Aşağıda eğimi sonsuz olan doğrular görmekteyiz.

Eğimi sonsuz olan doğrular
 

Eğimin Pozitif Olması

Eğimi pozitif olan bir doğru için x değeri arttıkça, y değeri de artar.

Aşağıda pozitif eğimli doğrular görmekteyiz. Eğimi pozitif olan doğruların tümü sağa doğru eğimlidir.

Pozitif Eğimli Doğrular
 

Eğimin Negatif Olması

Eğimi negatif olan bir doğru için x değeri arttıkça, y değeri azalır.

Aşağıda negatif eğimli doğrular görmekteyiz. Eğimi negatif olan doğruların tümü sola doğru eğimlidir.

Negatif Eğimli Doğrular
 

DENKLEM FORMÜLÜNDEN DOĞRUNUN EĞİMİNİ BULMA

$ax+by+c=0$

formundaki bir doğrusal denklemi

$y=mx+n$

haline dönüştürürsek, bulduğumuz $m$ katsayısı doğrunun eğimini verir.

 

Genel formülü $y=mx+n$ haline dönüştürdüğümüzde,

$by=-ax-c$

$y=-{a \over b}x-{c \over b}$

olduğundan, $ax+by+c=0$ denkleminin eğimi $-{a \over b}$'dir.

 

$-{a \over b}$ veya $m$ değeri pozitifse, eğim pozitif,

$-{a \over b}$ değeri negatifse, eğim negatiftir.

 

Eğer $a=0$ ise veya denklemimiz $by+c=0$ formundaysa, eğim sıfırdır.

Eğer $b=0$ ise veya denklemimiz $ax+c=0$ formundaysa, eğim sonsuzdur.

 

Örnek 1:

$2x+3y+4=0$

denkleminde $y$’yi yalnız bırakırsak,

$y=-{2 \over 3}x-{4 \over 3}$

buluruz. x’in katsayısı $-{2\over 3}$ olduğundan bu doğrunun eğimi $-{2\over 3}$’tür.

Denklemden eğimi bulma-Örnek 1
 

Örnek 2:

$x-y=0$

denklemi

$y=x$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle eğimi $1$’dir.

Denklemden eğimi bulma-Örnek 2
 

GRAFİKTEN DOĞRUNUN EĞİMİNİ BULMA

 

Denklemin grafiğinden doğrunun eğimini bulabiliriz. Eğim, x değerindeki birim değişime karşılık y değerindeki değişim miktarıdır. Eğimi bulabilmek için hipotenüsü doğru üzerinde olan bir üçgen oluşturup, y’deki değişimi x’deki değişime oranlayabiliriz.

Örneğin, aşağıdaki doğrunun eğimini bulmaya çalışalım.

Grafikten eğimi bulma

Önce hipotenüsü doğru üzerine gelecek şekilde bir dik üçgen oluşturalım.

Grafikten eğimi bulma-Üçgen

Bu üçgeni kullanarak, eğimi

$$\text{Eğim}={\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}={2 \over 2}=1$$

olarak buluruz. Hipotenüsü doğru üzerinde olmak koşuluyla, eğimi hesaplarken oluşturacağımız üçgenin yeri ve büyüklüğü önemli değildir. Tüm üçgenler aynı eğimi verirler.

Örneğin, aynı doğru için aşağıdaki gibi farklı bir üçgen oluşturursak,

Grafikten eğimi bulma-Üçgen

eğimi yine

$$\text{Eğim}={\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}={3 \over 3}=1$$

olarak buluruz.

 

Örnek 1:

Aşağıdaki doğrunun eğimi

$$\text{Eğim}={\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}={4 \over 2}=2’\text{dir.}$$

Grafikten eğimi bulma-Örnek 1
 

Örnek 2:

Aşağıdaki doğrunun eğimi:

$$\text{Eğim}={\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}={2 \over 4}=0,5’\text{tir.}$$

Grafikten eğimi bulma-Örnek 2
 

Sola doğru eğimli olan doğrular için, yukarıdaki ile aynı yöntemi uygulayıp, bulduğumuz sayının negatifini alırsak, eğimi buluruz.

 

Örnek 3:

Aşağıdaki doğrunun eğimi:

$$\text{Eğim}={-\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}=-{2 \over 4}=-1’\text{dir.}$$

Grafikten eğimi bulma-Örnek 3
 

Örnek 4:

Aşağıdaki doğrunun eğimi,

$$\text{Eğim}={-\text{Yükseklik} \over \text{Taban}}=-{3 \over 5}’\text{dir.}$$

Grafikten eğimi bulma-Örnek 4
 

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

Denklemi $6x-ay+5=0$ olan doğrunun eğimi ${2\over3}$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

A) -9

B) -4

C) 4

D) 9

Çözüm:

$6x-ay+5=0$ denklemini $y=mx+n$ formuna getirelim.

$6x-ay+5=0$

$\Rightarrow ay=6x+5$

$\Rightarrow y={6 \over a}x+{5\over a}$

Bu denklemde $m={6 \over a}$ olduğundan, ${2\over3}={6 \over a}$ eşitliği sağlamalıdır.

Eşitliği sağlayan $a$ sayısı $9$'dur.


(2014-2015 TEOG 2. Dönem Mazeret Sınav Sorusu)

TEOG çıkmış sorular

Verilen koordinat sisteminde $A(3, 0)$ ve $B(0, 6)$ noktalarından geçen d doğrusunun eğimi nedir?

A) -3

B) -2

C) -{1 \over 2}

D) -{1 \over 3}

Çözüm:

x ve y eksenleri ile doğru arasındaki üçgenin yüksekliği 6 ve tabanı 3 birim olduğundan doğrunun eğimi

$-{6\over 3}=-2$

olur. Doğru sola eğik olduğundan eğimi negatiftir.


(2015-2016 TEOG 2. Dönem Sınav Sorusu)

TEOG çıkmış sorular

Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen hangi iki noktadan geçen doğrunun eğimi ${1 \over 2}$'dir?

A) R ile M

B) M ile K

C) R ile N

D) N ile K

Çözüm:

TEOG çıkmış sorular

Bu noktalar arasında arasına çizceğimiz doğrular için oluşturacağımız üçgenin yüksekliği tabanın yarısı olmalıdır. M ile R arasına çizilen doğru bu şartlara uyduğu için cevap A'dır.