TEOG HAZIRLIK-DOĞRUSAL DENKLEMLER

DERS 1: DOĞRUSAL DENKLEMLER VE GRAFİKLERİ


DOĞRUSAL DENKLEMLER

 

$a$ ve $b$ gerçek sayılarının ikisi birden sıfır değilse

$$ax+by+c=0$$

formunda yazılabilen denklemlere doğrusal denklem denir.

 

Aşağıdaki örneklerin tümünde verilen denklem, doğrusal bir denklemdir.

Örnek 1:

$3x+2y+4=0$

Bu denklemde $a=3$, $b=2$ ve $c=4$’tür.

 

Örnek 2:

$x+y=5$

Bu denklem

$x+y-5=0$

şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle, $a=1$, $b=1$ ve $c=-5$’tir.

 

Örnek 3:

$\sqrt{3}y={3 \over 2}x+1$

Bu denklem,

${3 \over 2}x-\sqrt{3}y+1=0$

şeklinde yazılabilir. Genel formda, $a={3 \over 2}$, $b=-\sqrt{3}$ ve $c=1$ olur.

 

Örnek 4:

$2y=18$

Bu denklem

$2y-18=0$

şeklinde yazılabildiğinden, $a=0$, $b=2$, $c=-18$ olur.

 

Örnek 5:

$x-6=0$

Bu denklemde $a=1$, $b=0$ ve $c=-6$’dır.

 

Örnek 6:

$y=0$

Bu denklemde $a=0$, $b=1$ ve $c=0$’dır.

 

DOĞRUSAL DENKLEMLERİN GRAFİKLERİ

 

Doğrusal denklemlerin x-y düzlemindeki grafikleri birer doğrudur.

 

Doğrusal bir denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

 

Örneğin,

$x=2$ ve $y=3$ için

$x+y=5$

denklemi sağlandığından, $(x, y)=(2, 3)$ noktası bu denklemin bir çözümüdür. $(x, y)=(1, 4)$ de aynı denklemin çözümüdür. Bu denklemi sağlayan sonsuz sayıda çözüm bulabiliriz.

 

Her bir çözüm koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelir. Eğer doğrusal bir denklemin çözüm noktalarını birleştirirsek bir doğru elde ederiz.

 

Doğrusal bir denklemin grafiğini çizmek, bu denklemin sağladığı tüm noktaların (veya tüm çözüm noktalarının) grafiğini çizmektir.

 

Bir doğrusal denklemi sağlayan iki farklı noktayı birleştiren doğru, bu denklemin grafiğidir.

 

Örneğin, denklemimiz

  • $x=0$ ve $y=3$ için sağlanıyorsa (veya $(0, 3)$ noktası bir çözümse) ve
  • $x=4$ ve $y=0$ için sağlanıyorsa (veya $(4, 0)$ noktası bir çözümse)

Koordinat sisteminde önce $(0,3)$ ve $(4, 0)$ noktalarını işaretler,

Grafik çizme-noktalar

daha sonra ise bu iki noktadan geçen doğruyu çizebiliriz.

Grafik çizme-doğru
 

Bu doğru üzerinde bulunan her nokta denklemimizin bir çözümüdür.

 

A) ax+by+c=0 DENKLEMİNİN GRAFİĞİ

 

Eğer $ax+by+c=0$ denkleminde $a$, $b$ ve $c$ sıfırdan farklı ise, bu denklemin grafiği hem x hem de y ekseni ile farklı noktalarda kesişir. Bu iki noktayı bularak denklemin grafiğini çizebiliriz.

 

x-ekseni üzerindeki tüm noktalarda y=0’dır.

y-ekseni üzerindeki tüm noktalarda x=0’dır.

 

Yukarıdaki iki bilgiyi kullanarak doğrunun eksenlerle kesişim noktalarını bulabiliriz.

Doğrunun x-ekseni ile kesiştiği noktayı bulmak için, denklemde y yerine 0 koyup, x’in alacağı değeri bulabiliriz. Genel denklemde bunu yaparsak,

$ax+c=0$ ve $x=-{c \over a}$

buluruz. Böylece aradığımız noktalardan birinin $(-{c \over a}, 0)$ olduğunu görürüz.

 

Doğrunun y-ekseni ile kesiştiği nokta için ise, denklemde x yerine 0 koyup, y’nin değerini buluruz. Genel denklem için,

$by+c=0$ ve $y=-{c \over b}$

olur. İkinci noktamız $(0, -{c \over b})$ olur.

 

Bulduğumuz (-c/a, 0) ve (0, -c/b) noktalarından geçen doğru, bu denklemin grafiğini verir.

a, b ve c’nin değerlerine göre kesişim noktaları değişir.

Çeşitli a, b ve c değerlerine sahip aşağıdaki denklemler için çizilen grafikleri inceleyelim.

 

Örnek 1:

$x+y=5$

Bu denklemde $x$ yerine $0$ koyarsak $y=5$ olur. Bu nedenle, denklemin doğrusu $(0, 5)$ noktasından geçer.

$y$ yerine $0$ koyarsak, $x=5$ olur. Böylece, doğrunun geçtiği diğer noktanın $(5, 0)$ olduğunu buluruz. Koordinat sisteminde bu iki noktayı işaretleyip, noktalardan geçen doğruyu çizersek, aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 2:

$x-y=4$

Bu denklemde $x=0$ için $y=-4$ olur. Doğrunun geçtiği noktalardan biri $(0, -4)$’tür.

$y=0$ için, $x=4$ olur. Doğrunun geçtiği diğer nokta $(4, 0)$’dır.

$(0, -4)$ ve $(4, 0)$ noktalarından geçen doğru aşağıda gösterilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 3:

$2x+y=4$

$x=0$ için $y=4$’tür. Noktalarımızdan biri $(0, 4)$’tür.

$y=0$ için $2x=4$ ve $x=2$ çıkar. Diğer noktamız ise $(2, 0)$’dır.

Bu iki noktadan geçen doğrunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 4:

$y={x \over 2}+2$

$x=0$ için, $y=2$’dir. Noktalardan biri $(0, 2)$’dir.

$y=0$ için $x=-4$’tür. Noktalardan diğeri $(-4, 0)$’dır.

Bu iki noktadan geçen doğru aşağıda gösterilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

B) ax+by=0 DENKLEMİNİN GRAFİĞİ

 

$c$’nin $0$'a eşit olduğu denklemlerde, $x$ yerine $0$ konulduğunda

$by=0$ ve $y=0$

çıkar.

 

$y$’nin yerine $0$ konulduğunda ise

$ax=0$ ve $x=0$

buluruz. Her iki yerine koyma işleminde de $(0, 0)$ noktasını elde etmiş oluyoruz.

 

Buradan, $ax+by=0$ denkleminin grafiğinin orjinden geçtiği sonucunu çıkarabiliriz.

Doğrunun geçtiği ikinci noktayı bulabilmek için $x$ veya $y$ yerine $0$’dan farklı bir sayı koyabiliriz.

 

Örnek 1:

$x+y=0$

denkleminin graifği orjinden geçen bir doğrudur. Bu doğrunun diğer noktasını bulabilmek için $x$ yerine $1$ koyarsak,

$1+y=0$ ve $y=-1$

buluruz. Böylece diğer noktanın $(1, -1)$ olduğunu görürüz. $(0, 0)$ ve $(1, -1)$ noktalarından geçen doğrunun grafiği aşağıda gösterilmiştir.

$x=1$ yerine farklı herhangi bir sayı konulup, farklı bir nokta bulunsa da aynı grafik elde edilir.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 2:

$y=x$

denkleminin grafiğini bulmak için de 2 noktaya ihtiyacımız var. Bunlardan birinin orjin olduğunu bildiğimiz için, ikinci bir nokta bulmamız yeterlidir. Bu nokta için, denklemde $x$ yerine $1$ yazarsak, $y$’yi de $1$ buluruz. $(0, 0)$ ve $(1, 1)$ noktalarından geçen doğrunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 3:

$5x+2y=0$

denkleminde $c=0$ olduğundan, doğrunun geçtiği noktalardan biri $(0, 0)$’dır. Diğer noktayı bulabilmek için $x$ yerine herhangi bir sayı koyabiliriz. $y$’nin tamsayı çıkması için $x$ yerine $2$ koyarsak,

$10+2y=0$ ve $y=-5$

çıkar.

Böylece grafiğini çizmek istediğimiz doğru $(0, 0)$ ve $(2, -5)$ noktalarından geçer. Bu doğru aşağıda gösterilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

C) ax+c=0 DENKLEMİNİN GRAFİĞİ

 

$ax+c=0$ denklemini çözersek,

$x=-{c \over a}$

buluruz. Bu sonucu $y$’nin hangi değeri aldığı değiştirmez, başka bir değişle $y$’nin tüm değerleri için denklem sağlanır.

Örneğin, $(-{c \over a}, 0)$, $(-{c \over a}, 1)$, $(-{c \over a}, 2)$ vb. $y$’nin tüm değerleri için $(-{c \over a}, y)$ bir çözüm noktasıdır. Çizeceğimiz doğru, çözüm noktalarından geçeceğinden, x-eksenine dik bir doğru elde ederiz.

 

Örnek 1:

$x=3$

denkleminin grafiği aşağıda verilmiştir.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 2:

$2x+5=0$

Bu denklemin grafiğini çizmek için, önce x’in değerini buluyoruz. Denklemi çözersek,

$x=-{5 \over 2}=-2,5$

olduğunu görürüz. Bu nedenle, $2x+5=0$ denkleminin grafiği aşağıdaki gibidir.

Denklemin grafiğini çizme
 

D) by+c=0 DENKLEMİNİN GRAFİĞİ

 

$by+c=0$

Bu denklemi ilk olarak $y$ için çözüyoruz. Yukarıdaki genel formülde, çözüm $y=-{c \over b}$ bulunur. Bu sonuç $x$’in tüm değerleri için doğru olduğundan, denklemin doğrusu, $(0, -{c \over b})$ noktasından geçen x-eksenine paralel olan doğrudur.

 

Örnek 1:

$y=2$

denklemi $y$ değeri $2$ olan tüm noktalar için doğrudur. Örneğin, $(-5, 2)$, $(0, 2)$, $(1,23, 2)$, $(5, 2)$ ve $(100, 2)$ gibi ikinci parametresi $2$ olan tüm noktalar bu denklemin çözüm kümesindedir. Bu noktalar ise aşağıda gösterilen doğru üzerinde bulunurlar.

Denklemin grafiğini çizme
 

Örnek 2:

$3y+9=0$

denkleminde $y$’yi çözersek, $y=-3$ olduğu için, bu denklemin grafiği aşağıda gösterildiği gibidir.

Denklemin grafiğini çizme

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 2. Dönem Mazeret Sınav Sorusu)

Denklemleri x=2 ve y=-x+3 olan doğrularla x ve y eksenlerinin sınırladığı yamuğun alanı kaç birimkaredir?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

Çözüm:

Bu soruyu çözebilmek için koordinat sisteminde x=2 ve y=-x+3 denklemlerini çizmemiz gerekiyor.

x=2'nin grafiği x eksenine dik bir çizgidir.

y=-x+3 denkleminde x yerine 0 koyarsak y=3 çıkar. Aynı denklemde y yerine 0 koyarsak x=3 buluruz. Böylece, ikinci doğru (0, 3) ve (3, 0) noktalarından geçer.

Teog çıkmış soru

Bu doğrular, x ve y eksenleri arasında kalan yamuk aşağıdaki grafikte verilmiştir.

Teog çıkmış soru

Yamuğu tabanları 1 ve 3, yüksekliği ise 2 olduğundan, alanı

${(1+3).2 \over 2}=4$

çıkar.