8.SINIF MATEMATİK-ÇARPANLAR VE KATLAR

KONU 7-EBOB NEDİR? NASIL HESAPLANIR?


Bu konu, sayıların bölenleri ile ilgilidir. Çarpan ile bölenin aynı anlama geldiklerini hatırlayalım. Bir sayının çarpanlarının ne olduğunu ve bu çarpanların nasıl bulunduğunu daha önceki derslerde öğrenmiştik.

Carpan=Bolen

EBOB NEDİR?

 
 

İki veya daha fazla sayının ortak (aynı olan) bölenlerinden en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen, veya kısaca EBOB adı verilir.

 

12 ile 18'in EBOB'unu bulalım.

 

12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir

18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir.

12 ve 18'in ortak olan bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır.

Bu ortak bölenler içerisindeki en büyük bölen 6 olduğu için 12 ile 18’in EBOB’u 6'dır.

 

2’den fazla sayının EBOB'unu da benzer şekilde bulabiliriz.

16, 24 ve 40'ın EBOB'unu bulalım.

 

16'nın bölenleri: 1, 2, 4, 8 ve 16’dır.

24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24’tür.

40'ın bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40’tır.

Ortak olan bölenler 1, 2, 4 ve 8'dir.

En büyük ortak bölen 8 olduğu için 16, 24 ve 40’ın EBOB’u 8’dir.

EBOB'u gösterebilmek için "EBOB" yazıp, yanına parantez içerisinde EBOB'unu aldığımız sayıları yazabiliriz. Örneğin, 12 ve 18'in EBOB'unu

EBOB(12, 18)

ile gösterebiliriz. Bu sayıların EBOB'u 6'ya eşit olduğu için ilk örnekte bulduğumuz sonucu matematiksel olarak

EBOB(12, 18) = 6

ile gösterebiliriz. Benzer şekilde, ikinci örneğin sonucunu

EBOB(16, 24, 40) = 8

ile ifade edebiliriz.

 

144 ve 292 gibi daha büyük sayılar için tüm çarpanları listeleyip, bunlar arasındaki en büyük ortak böleni bulmak biraz uzun sürebilir. Aşağıda EBOB’u bulmanın daha kısa bir yolunu öğreniyoruz.

 
 

EBOB NASIL HESAPLANIR?

EBOB’u bulabilmek için

  • Verilen sayıları yan yana yazar, sayıların sağ tarafına dikey bir çizgi çekeriz.
  • Sayıların tümünü kalansız bölen asal sayıları bulup, çizginin sağına yazarız.
  • Çizginin sağına bir asal sayı eklediğimizde, soldaki sayıların tamamını bu asal sayıya böleriz.
  • Yeni bulduğumuz sayıları eskilerin altına yazar, işlemlere bu sayılarla devam ederiz.
  • Soldaki sayıların tümünü bölen bir asal sayı kalmayana kadar bu işleme devam eder, en sonda sağdaki sayıları çarpar, EBOB'u buluruz.
 
 

Şimdi örnekleri inceleyelim.

12 ile 18'in EBOB'unu bulalım.

 
EBOB

Verilen sayıları yazıp, sağ tarafa düz bir çizgi çekelim.

EBOB

2’den başlayarak bu sayıların ikisini de tam bölen en küçük asal sayıyı bulalım. 2, hem 12 hem de 18’i tam böldüğü için çizginin sağına 2 yazalım.

EBOB

... ve ... olduğu için 12'nin altına 6 ve 18'in altına 9 yazalım.

EBOB

Artık ilgileneceğimiz sayılar 6 ve 9. Bu sayıları tam bölen en küçük asal sayıyı bulalım. 2, 6’yı tam böldüğü halde, 9’u bölmez. Bu nedenle, 2’yi atlayıp, bir sonraki asal sayı olan 3’e geçelim. 3, hem 6 hem de 9’u tam böldüğü için, sağ tarafta 2’nin altına 3 yazalım.

EBOB

Şimdi, hem 6 hem de 9’u 3’e bölüp çıkan sonuçları altına yazalım.

... ve ... olduğu için 6'nın altına 2 ve 9'un altına 3 yazalım.

Hem 2'yi hem de 3’ü tam bölen bir asal sayı olmadığı için, tablo oluşturma aşamasını bitiriyoruz.

EBOB’u bulabilmek için çizginin sağında kalan sayıları çarpıyoruz.

EBOB(12, 18) = 2.3 = 6

30 EBOB ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

16, 24 ve 40'ın EBOB'unu bulalım.

 
EBOB

EBOB’unu bulacağımız sayıları yan yana yazıp, bu sayıların sağ tarafına bir çizgi çekelim.

EBOB

Önceki örnekte olduğu gibi, 2’den başlayarak çizginin solundaki tüm sayıları tam bölen asal sayıları bulmaya çalışalım.

Verilen sayıların üçü de 2'ye tam bölündüğü için çizginin sağına 2 yazalım.

EBOB

Şimdi soldaki sayıların tümünü 2’ye bölüp altlarına bölümden bulduğumuz sonuçları yazalım.

...

...

...

EBOB

Bu aşamada 8, 12 ve 20'yi kalansız bölen en küçük asal sayıyı bulmalıyız.

Hem 8 hem 12 hem de 20, 2'ye tam bölündüğü için çizginin sağ tarafına bir tane daha 2 yazalım.

EBOB

Bu defa 8, 12 ve 20’yi 2’ye bölüp sonuçları bu sayıların altlarına yazalım.

...

...

...

EBOB

Bölme işlemlerinin ardından karşımıza 4, 6 ve 10 sayıları çıkıyor. Bu sayılar da 2’ye kalansız bölündüğünden, çizginin sağına bir tane 2 daha ekleyelim.

EBOB

Sayıları tekrar 2’ye bölüp, altlarına bölme sonuçlarını yazarsak, karşımıza 2, 3 ve 5 çıkıyor. Fakat bu sayıların tümünü kalansız bölen bir asal sayı olmadığı için tablo ile ilgili yapacağımız işlemler bitiyor.

Son olarak çizginin sağındaki sayıları çarpalım.

EBOB(16, 24, 40) = 2.2.2 = 8

30 EBOB ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

14 ve 15'in EBOB'unu bulalım.

 
EBOB

Hem 14 hem de 15'i tam bölen bir asal sayı olmadığı için çizginin sağı boş kalır.

Çizginin sağının boş kaldığı durumlarda EBOB 1'e eşittir.

EBOB(14, 15) = 1

30 EBOB ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

Aşağıdaki sayıların EBOB'larını bulalım.

a) 50, 60 ve 70, b) 60 ve 144, c) 21, 12, 15 ve 6, d) 12 ve 6, e) 72 ve 60

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ


EBOB ÖZELLİKLERİ

  • Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’e eşittir. Örneğin, EBOB(15, 7) = 1.
  • Bir sayı diğerinin tam katı ise, bu iki sayının EBOB’u küçük olan sayıya eşittir. Örneğin, EBOB(6, 12) = 6
  • İki veya daha fazla sayının EBOB’u, bu sayıların en küçüğünden daha büyük olamaz.
  • İki veya daha fazla sayının EBOB’u bu sayıların tümünü kalansız böler.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) 10, b) 12, c) 3, d) 6, e) 12

ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ