8.SINIF MATEMATİK-ÇARPANLAR VE KATLAR

KONU 9-EBOB-EKOK PROBLEMLERİ

BÖLÜM 1-PAYLAŞTIRMA PROBLEMLERİ


EBOB-EKOK'la ilgili ilk problem türünde uzunluğu, hacmi veya ağırlığı verilmiş bir kaç çeşit maddenin eşit parçalara bölünmesi veya eşit kaplara paylaştırılması problemi üzerine duracağız.

 

Hemen bir örnek soru ile başlayalım.

 
 

80 ve 104 litrelik farklı kalitede iki çeşit zeytinyağı, birbirine karışmayacak ve artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere konularak satılacaktır. Her bir şişenin hacmi en fazla kaç litre olabilir?

Bu soruda, farklı hacimlerde iki çeşit zeytinyağı olduğunu görüyoruz. 80 litre olan zeytinyağına A ve 104 litre olan zeytinyağına B diyelim.

Yağ şişeleri

Bu yağları eşit hacimde şişelere aktarmamız gerekiyor. Bu işlem için birden fazla alternatif bulabiliriz.

  • 1 litrelik şişeler kullanarak, iki zeytinyağını da artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde paylaştırabiliriz. Bu durumda, A için 80 ve B için 104 şişe kullanmamız gerekir.

  • Paylaştırmayı, 2 litrelik şişelerle de yapabiliriz. Eğer 2 litreliklerden kullanırsak, A için 40 ve B için 52 şişe kullanmamız gerekir.

Fakat, 3 litrelik şişelerden kullanamayız; çünkü, A'yı 3 litrelik şişelere aktardığımızda, 26 şişe tam dolsa da (toplam 26 × 3 = 78 litre) geriye kalan yağ ( 80 – 78 = 2 litre) bir şişeyi tam doldurmaz. Benzer şekilde, B'yi 34 şişeye tam doldurursak, yine 2 litre yağ açıkta kalır.

1 ve 2 litrelik şişeleri kullanabilip, 3 litrelik olanları kullanamamızın nedeni, 1 ve 2 sayılarının 80 ve 104’ü kalansız bölüp, 3’ün ise bu sayıları kalansız bölememesidir. Başka bir değişle, 1 ve 2’nin 80 ve 104’ün ortak böleni olup, 3’ün ise bu sayıların ortak bölenlerinden biri olmamasıdır.

Soruda bizden istenilen şey, en büyük hacimli şişe olduğu için, en büyük ortak böleni, yani EBOB’u bulmamız gerekir. 80 ve 104’ün EBOB’unu aşağıdaki ortak bölen listesini kullanarak,

EBOB(80, 104)

EBOB(80, 104) = 2 × 2 × 2 = 8

olarak buluruz. Bu nedenle, sorudaki şartlara uyan en büyük şişe boyutu 8 litredir.

8 litrelik şişeler kullanıldığında,

  • A yağı 80 ÷ 8 = 10 şişeyi ve
  • B yağı 104 ÷ 8 = 13 şişeyi

tam doldurur.


En büyük parçalar En az sayıda parça

Eğer soruda paylaştırma işlemi için kullanılabilecek en az şişe sayısı isteniyorsa,

  • önce en büyük hacimli şişelerin hacmini EBOB ile bulup,
  • daha sonra toplam hacmi EBOB’a bölebiliriz.
 
 

Örneğin, yukarıdaki soru için toplam 104 + 80 = 184 litre yağını 8 litrelik şişelere doldurduğumuz için, en az

... ...

şişe kullanabiliriz.


2 yerine, 3 veya daha fazla çeşit maddenin karıştırılmadan küçük kaplara paylaştırılması ile ilgili problemlerle de karşılaşabiliriz. Kaç çeşit madde olursa olsun, EBOB kullanarak bu tarz problemleri çözebiliriz.

nohut-fasulye-bulgur

Sırasıyla 60, 90 ve 115 kilogram olan nohut, fasulye ve bulgurun tümü, birbirine karıştırılmadan, eşit ağırlıkta paketler haline getirilecektir. Bu işlem için en az kaç paket kullanılmalıdır?

Bir önceki sorudaki mantığı bu defa üç çeşit ürün için kullanacağız. Bu soruda da, paylaştırma sonucunda ürünlerin artmaması için paketlerin ağırlıklarının hem 60 hem 90 hem de 115’in çarpanı (böleni) olması gerekir. Olası ağırlıklar (bölenler) arasındaki en yüksek değeri bulmak için EBOB kullanırız.

EBOB (60, 90, 115)

EBOB(60, 90, 115) = 5 olduğu için, en fazla 5 kg’lık paketler kullanılabilir. Toplamda, 60 + 90 + 115 = 265 kg bakliyat olduğundan en az 265 ÷ 5 = 53 paket kullanılmalıdır.


"Çubuk, kereste vs. gibi uzunluğu verilen cisimlerin en büyük uzunlukta eşit parçalara bölünmesi" problemi de bu kategoride yer alır. Aşağıdaki örneği inceleyelim.

 
 
kereste

10, 12 ve 14 metre uzunluğundaki keresteler, eşit uzunlukta parçalara bölünmek isteniyor. Keresteler bu şekilde en az kaç parçaya bölünebilir?

EBOB(10, 12, 14)

Ortak bölen listesini kullanarak, EBOB(10, 12, 14) = 2 olduğunu buluruz. Bu nedenle, her bir parçanın boyu en fazla 2 m olabilir. Toplam 10 + 12 + 14 = 36 metre kereste olduğuna göre, eşit uzunlukta en az 36 ÷ 2 = 18 parçaya sahip oluruz.