DERS-10 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-1

PAYLAŞTIRMA PROBLEMLERİ


EBOB-EKOK'la ilgili ilk soru türünde uzunluğu, hacmi veya ağırlığı verilmiş bir kaç çeşit maddenin eşit parçalara bölünmesi veya eşit kaplara paylaştırılması problemi üzerine duracağız.

 

Hemen bir örnek soru ile başlayalım.

80 ve 104 litrelik farklı kalitede iki çeşit zeytinyağı, birbirine karışmayacak ve artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere konularak satılacaktır. Her bir şişenin hacmi en fazla kaç litre olabilir?

Bu soruda, farklı hacimlerde iki çeşit zeytinyağı olduğunu görüyoruz. 80 litre olan zeytinyağına A ve 104 litre olan zeytinyağına B diyelim.

Yağ şişeleri

Bu yağları eşit hacimde şişelere aktarmamız gerekiyor. Bu işlem için birden fazla alternatif bulabiliriz.

  • 1 litrelik şişeler kullanarak, iki zeytinyağını da artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde paylaştırabiliriz. Bu durumda, A için 80 şişe ve B için 104 şişe kullanmamız gerekir.

  • Paylaştırmayı, 2 litrelik şişelerle de yapabiliriz. Eğer 2 litreliklerden kullanırsak, A için 40 ve B için 52 şişe kullanmamız gerekir.

Fakat, 3 litrelik şişelerden kullanamayız; çünkü, A'yı 3 litrelik şişelere aktardığımızda, 26 şişe tam dolsa da (toplam $26 \times 3 = 78$ litre) geriye kalan yağ ($80 - 78 = 2$ litre) bir şişeyi tam doldurmaz. Benzer şekilde, B'yi 34 şişeye tam doldurursak, yine 2 litre yağ açıkta kalır.

1 ve 2 litrelik şişeleri kullanabilip, 3 litrelik olanları kullanamamızın nedeni, 1 ve 2 sayılarının 80 ve 104’ü kalansız bölüp, 3’ün ise bu sayıları kalansız bölememesidir. Başka bir değişle, 1 ve 2’nin 80 ve 104’ün ortak böleni olup, 3’ün ise bu sayıların ortak bölenlerinden biri olmamasıdır.

Soruda bizden istenilen şey, en büyük hacimli şişe olduğu için, en büyük ortak böleni yani EBOB’u bulmamız gerekir. 80 ve 104’ün EBOB’unu aşağıdaki ortak bölen listesini kullanarak,

EBOB(80, 104)

$EBOB(80, 104)=2 \times2\times2=8$

olarak buluruz. Bu nedenle, sorudaki şartlara uyan en büyük şişe boyutu 8 litredir.

8 litrelik şişeler kullanıldığında,

  • A yağı $80 \div 8 = 10$ şişeyi ve
  • B yağı $104 \div 8 = 13$ şişeyi

tam doldurur.


En büyük parçalar En az sayıda parça

Eğer soruda bu işlem için kullanılabilecek en az şişe sayısı isteniyorsa,

  • önce EBOB ile, en büyük hacimli şişelerin hacmini bulup,
  • daha sonra toplam hacmi EBOB’a bölebiliriz.

Örneğin, bu soru için toplam $104 + 80 = 184$ litre yağını $8$ litrelik şişelere doldurduğumuz için, en az

${184 \over 8} = 23$

şişe kullanabiliriz.


2 yerine, 3 veya daha fazla çeşit maddenin karşıtırılmadan küçük kaplara paylaştırılması ile ilgili problemlerle de karşılaşabiliriz.

nohut-fasulye-bulgur

Sırasıyla 60, 90 ve 115 kilogram olan nohut, fasulye ve bulgurun tümü, birbirine karıştırılmadan, eşit ağırlıkta paketler haline getirilecektir. Bu işlem için en az kaç paket kullanılmalıdır?

Bir önceki sorudaki mantığı bu defa üç çeşit ürün için kullanacağız. Bu soruda da, paylaştırma sonucunda ürünlerin artmaması için paketlerin ağırlıklarının hem 60 hem 90 hem de 115’in çarpanı (böleni) olması gerekir. Olası ağırlıklar (bölenler) arasındaki en yüksek değeri EBOB ile buluruz.

EBOB (60, 90, 115)

$EBOB (60, 90, 115)=5$ olduğu için, en fazla $5$ kg’lık paketler kullanılabilir. Toplamda, $60 + 90 + 115 = 265$ kg bakliyat olduğu için, en az $265 \div 5 = 53$ paket kullanılmalıdır.


Çubuk, kereste vs. gibi uzunluğu verilen katı cisimlerin en büyük uzunlukta eşit parçalara bölünmesi de bu problem kategorisinde yer alır. Aşağıdaki örneği inceleyelim.

kereste

10, 12 ve 14 metre uzunluğundaki keresteler, eşit uzunlukta parçalara bölünmek isteniyor. Keresteler bu şekilde en az kaç parçaya bölünebilir?

EBOB(10, 12, 14)

Ortak bölenler listesini kullanarak, $EBOB(10, 12, 14) = 2$ olduğunu buluruz. Bu nedenle, her bir parçanın boyu en fazla $2$ m olabilir. Toplam $10+12+14=36$ metre kereste olduğuna göre, bu keresteler eşit uzunlukta parçalara bölündüğünde en az $36 \div 2 = 18$ parçaya sahip oluruz.