DERS-11 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-2

SAYMA PROBLEMLERİ


EBOB-EKOK problemi çeşitlerinden biri de sayma problemidir.

Matematik Delileri

Sayma problemlerinde,

  • bir çokluk (öğrenci sayısı, cevizler, paralar, merdiven basamakları vs. ), ikişerli, üçerli vs. gruplara ayrılır.
  • Farklı gruplamaların tümünde çokluğun aynı miktarı artar veya azalır.
  • Bizden çokluğun olası en küçük değeri istenir.
 

Ali, cevizlerini $4$’er $4$’er, $5$’er $5$’er ve $6$’şar $6$’şar saydığında, her defa $1$ ceviz artmaktadır. Buna göre, Ali’nin en az kaç cevizi vardır?

Her defasında bir ceviz arttığı için, eğer Ali’nin ceviz sayısı şu an olduğundan $1$ tane daha az olsaydı, $4$’er $4$’er, $5$’er $5$’er ve $6$’şar $6$’şar sayıldığında artan ceviz olmayacaktı.

Yani, Ali’nin ceviz miktarı $4$’e, $5$’e ve $6$’ya tam bölünecekti.

Ali'nin cevizlerinin sayısına $x$ dersek, $x-1$ hem $4$’ün hem $5$’in hem de $6$’nin tam katı olacaktı. $4$, $5$ ve $6$’nın ortak tam katları içerisindeki en küçük sayı EKOK ile bulunduğu için, $x-1$'i $EKOK(4, 5, 6)$ ile bulabiliriz.

EKOK(4, 5, 6)

Kısacası, Ali’nin cevizlerinin $1$ eksiği (veya $x-1$), $EKOK(4, 5, 6)=60$’tır ve Ali’nin en az $60 + 1 = 61$ cevizi vardır.

Yukarıda bulduğumuz Ali'nin olası en düşük ceviz sayısıdır. Ali'nin cevizlerinin 1 eksiği 4, 5 ve 6'nın ortak katı olan 120 de olabilir. Bu nedenle Ali'nin cevizleri 121 tane de olabilir. Benzer şekilde Ali'nin 181, 241, 301, 361,... cevizi de olabilir. Ama tüm seçenekler içerisinde en düşüğü 61'dir.


Fatma, bir merdiveni 2’şer 2’şer, 3’er 3’er ve 4’er 4’er çıktığında, her seferinde bir basamak artmaktadır. Bu merdivende en az kaç basamak vardır?

Merdiven

Bir önceki sorunun çözümüyle aynı mantıkta hareket edersek, eğer merdiven şu an olduğundan $1$ basamak daha az olsaydı, $2$’şer, $3$’er ve $4$’er çıktığında hiç basamak artmayacaktı. Bu durumda, merdivendeki basamak sayısı $2$, $3$ ve $4$’ün tam katı olacaktı. Bu katlardan en küçüğü EKOK olduğu için

EKOK(2, 3, 4)

basamak sayısı $EKOK(2, 3, 4)=12$ olacaktı. Sayımlarda artan sayıyı da eklediğimizde, bu merdivende en az $12+1=13$ basamak olduğunu görürüz.


Bir sınıftaki öğrenciler, sıralara üçer üçer oturduğunda sıralardan birinde iki öğrenci, dörder dörder oturduğunda ise sıralardan birinde üç öğrenci oturmak zorunda kalmaktadır. Buna göre, bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

Eğer sınıfta $1$ öğrenci daha olsaydı, öğrenciler sıralara hem $3$’er hem de $4$’er kişi oturduğunda tüm sıralarda eşit sayıda öğrenci oturacaktı ve böylece öğrenci sayısı hem $3$’ün hem de $4$’ün tam katı olacaktı. Bu sayıların tam katlarının en küçüğü $EKOK(3, 4)=12$ olduğu için, sınıfta en az $12 - 1 = 11$ öğrenci olduğunu söyleyebiliriz.