DERS-11 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-2

SAYMA PROBLEMLERİ


EBOB-EKOK problemleri içerisindeki farklı bir tür ise, sayma problemi adını verdiğimiz problem türüdür.

Matematik Delileri

Sayma problemlerinde, bilinmeyen bir sayı (öğrenci sayısı, cevizler, paralar, merdiven basamakları vs. ), ikişer ikişer, üçer üçer vs gruplara ayrılır. Her gruplamada aynı miktar artabilir veya azalabilir. Bizden bilinmeyen sayının en küçük değeri istenir.

 

Ali, cevizlerini 4’er 4’er, 5’er 5’er ve 6’şar 6’şar saydığında, her defasında bir ceviz artmaktadır. Buna göre Ali’nin en az kaç cevizi vardır?

Her defasında bir ceviz arttığı için, eğer Ali’nin ceviz sayısı şu an olduğundan $1$ tane daha az olsaydı, $4$’er $4$’er, $5$’er $5$’er ve $6$’şar $6$’şar saydığında artan olmayacaktı.

Yani, Ali’nin ceviz miktarı $4$’e, $5$’e ve $6$’ya tam bölünecekti. Başka bir değişle Ali’nin ceviz miktarı hem $4$’ün hem $5$’in hem de $6$’nin tam katı olacaktı. $4$, $5$ ve $6$’nın ortak tam katları içindeki en küçük sayı EKOK ile bulunduğu için, Ali’nin cevizlerinin bir eksiğini $EKOK(4, 5, 6)$ ile bulabiliriz.

EKOK

Kısacası, Ali’nin cevizlerinin $1$ eksiği, $EKOK(4, 5, 6)=60$’tır ve Ali’nin en az $60+1=61$ cevizi vardır.


Fatma, bir merdiveni 2’şer 2’şer, 3’er 3’er ve 4’er 4’er çıktığında, her seferinde bir basamak artmaktadır. Bu merdivende en az kaç basamak vardır?

Merdiven

Bir önceki sorunun çözümüyle aynı mantıkta hareket edersek, eğer merdiven şu an olduğundan $1$ basamak daha az olsaydı, $2$’şer, $3$’er ve $4$’er çıktığında hiç basamak artmayacaktı. Başka bir değişle, merdivendeki basamak sayısı $2$, $3$ ve $4$’ün tam katı olacaktı. Bu katlardan en küçüğü EKOK olduğu için

EKOK

$EKOK(2, 3, 4)=12$ basamak olacaktı. Her seferinde artan basamağı da eklediğimizde, bu merdivende en az $12+1=13$ basamak olduğunu görürüz.


Bir sınıftaki öğrenciler, sıralara üçer üçer oturduğunda sıralardan birinde iki öğrenci, dörder dörder oturduğunda ise sıralardan birinde üç öğrenci oturmak zorunda kalıyor. Buna göre bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

Eğer sınıfta $1$ öğrenci daha olsaydı, öğrenciler sıralara hem $3$’er hem de $4$’er kişi oturduğunda her sırada eşit sayıda öğrenci oturacaktı ve böylece öğrenci sayısı hem $3$’ün hem de $4$’ün tam katı olacaktı. Tam katlar içerisinde en küçüğü $EKOK(3, 4)=12$ olduğu için, sınıfta toplam $12-1=11$ öğrenci vardır.