DERS-12 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-3

DİKDÖRTGENİ KARELERE BÖLME


Bu tarz problemlerde, dikdörtgen şeklinde bir alan, levha veya yüzey eşit karelere bölünmektedir. Dikdörtgenin en az kaç eşit kareye bölünebileceği veya olası en büyük karenin kenar uzunluğu ile ilgili sorular sorulmaktadır.

Bir dikdörtgenin bir kenarı $a$ olan karelere bölünebilmesi için dikdörtgenin iki kenarının da $a$’nın tam katı olması gerekir. Örneğin, aşağıdaki dikdörtgenin uzun kenar $a$'nın $4$ katı ($4 \times a$) ve kısa kenarı $a$'nın $3$ katıdır ($3 \times a$'dır).

Dikdörtgeni bölme

Başka bir bakış açısıyla, bulacağımız karenin bir kenarı hem uzun hem de kısa kenarın böleni olmalıdır.

Dikdörtgeni en az sayıda kareye bölebilmek için, karenin bir kenarının en büyük değerini bulmamız gerekir. En büyük ortak bölen EBOB olduğundan, aradığımız karenin bir kenarı kısa ve uzun kenarların EBOB’una eşittir.

Karenin kenarı=EBOB

Eğer dikdörtgenin en az kaç eşit kareye bölünebileceği soruluyorsa aynı sonucu veren iki farklı yöntem uygulayabiliriz.

Dikdörtgen içerisine en az kaç eşit kare sığdığını bulabilmek için karelerin oluşturduğu satır ve sütun sayılarını çarpabiliriz. Kaç satır ve kaç sütun olduğunu bulabilmek için ise, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarını karenin kenar uzunluğuna böleriz.

Kısacası, dikdörtgenin içerisinde kaç kare olduğunu bulabilmek için kısa ve uzun uzunluklarını karenin bir kenar uzunluğuna bölüp, bulduğumuz sayıları çarparız.

Aynı sonucu veren diğer bir yöntem de dikdörtgenin alanını karenin alanına bölmektir.

$\text{Kare sayısı}={\text{Dikdörtgenin Alanı} \over \text{Karenin Alanı}}={20.15 \over 5.5}=12$

Kare Sayısı

Kenar uzunlukları 20cm ve 15cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt parçası eşit karelere bölünmek istenmektedir. Bu kâğıt en az kaç eşit kareye bölünebilir?

Bulacağımız karenin bir kenarı, hem 15'in hem de 20'nin tam böleni olmalıdır.

Bu bölenler içerisinde en büyüğü EBOB olduğundan, karenin en büyük kenarı 15 ile 20'nin EBOB'u ile bulunabilir.

EBOB

$EBOB(15, 20)=5$ olduğu için aradığımız karenin bir kenarı $5$ cm’dir.

Dikdörtgenin alanını karenin alanına böldüğümüzde

${\text{Dikdörtgenin Alanı} \over \text{Karenin Alanı}}={20.15 \over 5.5}=12$

bu kâğıdın en az $12$ eşit kareye bölünebildiğini buluruz.

  • En büyük karenin bir kenarının uzunluğunu bulabilmek için dikdörtgenin kısa ve uzun kenar uzunluklarının EBOB'unu buluruz.
  • Dikdörtgenin içine en az kaç kare sığacağını bulabilmek için ise dikdörtgenin alanını karenin alanına böleriz.

EBOB ile bulduğumuz eş kareler, olası en büyük karelerdir. Diğer ortak bölenleri kullanarak, aynı dikdörtgeni daha küçük karelere de bölebiliriz. Bu durumda, daha fazla sayıda eş kare elde ederiz. Yukarıdaki örnekte, karenin bir kenarını ($15$ ve $20$'nin ortak böleni olan) $1$ cm olarak da seçilirse, dikdörtgeni toplam $300$ eş kareye böleriz.

Bir çiftçi, dikdörtgen şeklindeki tarlasını eşit karelere bölüp, her bir karenin merkezine $1$ adet ceviz ağacı dikmek istemektedir. Yaptığı hesaplamalar sonucunda tarlasına bu şekilde en az $18$ ceviz ağacı dikebildiğini görmüştür. Buna göre, çiftçinin tarlasının kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiş olabilir?

A)6 m ve 27 m B)12 m ve 18 m C) 20 m ve 30 m D)18 m ve 24 m

Seçeneklerdeki sayıların EBOB'larını bulalım.

A) $EBOB(6, 27)=3$

B) $EBOB(12, 18)=6$

C) $EBOB(20, 30)=10$

D) $EBOB(18, 24)=6$

Bulduğumuz sayıyı karenin bir kenarı varsayıp, ağaç sayısını bulabilmek için dikdörtgenin alanını karenin alanına bölebiliriz.

A) ${6.27 \over 3.3}=18$

B) ${12.18 \over 6.6}=6$

C) ${20.30 \over 10.10}=6$

D) ${18.24 \over 6.6}=12$

Seçenekler içerisinde A'da verilen boyutlar 18 sonucunu verdiği için cevap A'dır.

  • En büyük karenin bir kenarının uzunluğunu bulabilmek için dikdörtgenin kısa ve uzun kenar uzunluklarının EBOB'unu buluruz.
  • Dikdörtgenin içine en az kaç kare sığacağını bulabilmek için ise dikdörtgenin alanını karenin alanına böleriz.