8.SINIF MATEMATİK-ÇARPANLAR VE KATLAR

KONU 9-EBOB-EKOK PROBLEMLERİ

BÖLÜM 3-AĞAÇLAR VE DİREKLER


EBOB-EKOK problemlerinde, bir tarlanın etrafına dikilen ağaç ve direk sayıları ilgili sorularla sıklıkla karşılaşıyoruz. Bu bölümde, ağaç ve direklerle ilgili problemleri nasıl çözeceğimizi öğreniyoruz.

AĞAÇLAR
 
 

Genelikle soru köklerinde “köşelere de birer tane dikilecek şekilde” vb. ifadelerle karşılaşırız.

Ağaçlar arasındaki uzaklık eşitse ve köşelere de birer ağaç dikiliyorsa, tarlanın kenar uzunlukları ağaçlar arasındaki uzaklığın tam katıdır. Örneğin, aşağıdaki şekilde kenar uzunluğu, ağaçlar arasındaki uzaklığın 5 katıdır.

Köşelerde Ağaçlar

Bu durumda, ağaçlar arasındaki uzaklık, tüm kenar uzunluklarının bölenidir. Başka bir değişle, kenar uzunluklarının ortak bölenidir. En az ağaç sayısıyla, ağaçlar arasındaki uzaklığın en fazla olduğu durumda karşılaşılır. Ağaçlar arasındaki uzaklığın en yüksek değeri ise kenar uzunluklarının EBOB'una eşittir.


En az kaç ağaç ya da kaç direk dikilebileceği sorulduğunda, verilen şeklin çevresini EBOB alarak bulduğumuz sayıya (ağaçlar/direkler arasındaki en büyük uzaklığa) böleriz.

AĞAÇLAR
 
 

Tarlanın şeklinin dikdörtgen olması şart değildir. Üçgen, beşgen veya yamuk da olabilir. Soruyu çözerken bizim için önemli olan şey, tarlanın çevresinde kaç çeşit uzunluk olduğudur. Aşağıdaki sorularda, tüm kenar uzunluklarının EBOB’unu alıp, iki ağaç arasındaki en uzun mesafeyi buluyoruz.

Şekiller

Kenar uzunlukları 100 m ve 120 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

En az ağaç, ancak ağaçlar arasındaki uzaklığın en yüksek olduğu durumda dikilebilir. Bu nedenle, kenar uzunluklarının bölenleri arasındaki en büyük sayıyı, yani bu uzunlukların EBOB’unu bulmamız gerekir.

EBOB(100, 120)

Yukarıdaki ortak bölen listesinden EBOB'u EBOB(100, 120) = 2 . 2 . 5 = 20 olarak buluruz. Bu nedenle, ağaçlar arasındaki uzaklık en fazla 20 m olabilir. Dikilebilecek en az ağaç sayısı ise,

...'ye

eşittir.


 
 

Kenar uzunlukları 60 m, 75 m ve 85 m olan üçgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk kullanılması gerekmektedir?

Bu defa üç çeşit uzunluk olduğu için, iki direk arası mesafenin üç sayıyı da tam bölmesi gerekir. En az sayıda direk kullanabilmek için yine kenar uzunluklarının EBOB'unu hesaplayarak, direkler arasındaki uzaklığın en fazla kaç metre olabileceğini bulacağız.

EBOB(60, 75, 80)

Ortak bölen listesinden EBOB(60, 75, 85) = 5 olduğunu görüyoruz. Bu sonuç bize direkler arasındaki uzaklığın en fazla 5 m olabileceğini gösteriyor. En az direk sayısını bulabilmek için tarlanın çevresini 5'e bölüyoruz.

...

Kenar uzunlukları 10 m, 15 m, 10 m, 10 m ve 15 m olan beşgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

Bu şekil bir beşgen olduğu halde, sadece 2 çeşit kenar uzunluğuna sahip: 10 m ve 15 m. Önemli olan uzunluk çeşitleri olduğu için bu iki uzunluğun EBOB'unu almamız yeterlidir.

(NOT: Verilen tüm kenar uzunluklarını yan yana yazıp EBOB'unu alsak da aynı sonucu elde ederiz. EBOB(10, 15) = EBOB(10, 15, 10, 10, 15))

EBOB

EBOB(10, 15) = 5 çıktığı için ağaçlar arası mesafe en fazla 5 m olabilir. Dikilecek en az ağaç sayısı ise,

... ...

çıkar.