DERS-14 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-5

AĞAÇLAR VE DİREKLER


EBOB-EKOK problemlerinde, tarlaların etrafına dikilen ağaç ve direk sayıları ilgili problemlerle de sıklıkla karşılaşıyoruz. Bu derste, bu tarz problemleri nasıl çözeceğimiz öğreniyoruz.

AĞAÇLAR

Genelikle soru köklerinde “köşelere de birer tane dikilecek şekilde” ve benzeri ifadelerle karşılaşırız.

Şekiller

Tarlanın şeklinin dikdörtgen olması şart değildir. Üçgen, beşgen veya yamuk dahi olabilir. Önemli olan tarlanın çevresinde kaç çeşit uzunluk olduğudur. Aşağıdaki sorularda, bütün uzunluk çeşitlerinin EBOB’unu alıp iki ağaç arası mesafeyi bulacağız.

 

Kenar uzunlukları $100m$ ve $120m$ olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre en az kaç ağaç dikilebilir?

Her köşeye birer tane ağaç dikileceğine göre, dikdörtgenin çevresindeki her kenar üzerinde ağaçlar eşit aralıklarla yerleştirilecektir. Bu ise, iki araç arasındaki uzunluğun tüm kenarları tam bölmesi gerektiği anlamına gelir.

En az ağaç, ancak ağaçlar arasındaki mesafenin en yüksek olduğu durumda dikilebilir. Bu nedenle, kenar uzunluklarını tam bölenler arasındaki en büyük sayıyı, yani bu uzunlukların EBOB’unu bulmamız gerekir.

EBOB

Bu örnek için, yukarıdaki ortak bölen listesinden $EBOB(100, 120)=2.2.5=20$ buluruz. Bu nedenle ağaçlar arası mesafe $20m$ olmalıdır. Dikilecek en az ağaç sayısını ise,

$${\text{Dikdörtgenin Çevresi} \over \text{İki Ağaç Arası Mesafe}}={2(100+120) \over 20}=22$$

olarak buluruz.


Kenar uzunlukları $60m$, $75m$ ve $85m$ olan üçgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk kullanılması gerekmektedir?

Bu defa üç çeşit uzunluk olduğu için, iki direk arası mesafenin üç sayıyı da tam bölmesi gerekir. En az direk kullanmak için yine en uzun mesafeyi EBOB kullanarak bulacağız.

EBOB

Ortak bölen listesinden $EBOB(60, 75, 80)=5$ buluruz. Yani, iki direk arası mesafe en fazla $5$ olabilir. En az direk sayısı ise,

$${\text{Üçgenin Çevresi} \over \text{İki Direk Arası Mesafe}}={60+75+80 \over 5}=43$$

buluruz.