DERS-14 EBOB-EKOK PROBLEMLERİ-5

AĞAÇLAR VE DİREKLER


EBOB-EKOK problemlerinde, tarlaların etrafına dikilen ağaç ve direk sayıları ilgili problemlerle de sıklıkla karşılaşıyoruz. Bu derste, bu tarz problemleri nasıl çözeceğimizi öğreniyoruz.

AĞAÇLAR

Genelikle soru köklerinde “köşelere de birer tane dikilecek şekilde” ve benzeri ifadelerle karşılaşırız.

Köşelere birer ağaç dikilmesi, ağaçlar arasındaki mesafenin tarlanın kenar uzunluklarının tam böleni olduğunu gösterir.

Köşelerde Ağaçlar

Örneğin, yukarıdaki şekilde kenar uzunluklarından biri kenar uzunluğunun $5$ katıdır. Ağaçlar arasındaki mesafe tüm kenar uzunluklarının tam böleni olacağından, bu uzunlukların ortak bölenlerini bulmamız gerekir. En az ağaç sayısı sorulduğunda, ortak bölenlerin en küçüğü olan EBOB'u kullanabiliriz.


Tarlanın şeklinin dikdörtgen olması şart değildir. Üçgen, beşgen veya yamuk da olabilir. Soruyu çözerken bizim için önemli olan tarlanın çevresinde kaç çeşit uzunluk olduğudur. Aşağıdaki sorularda, bütün uzunluk çeşitlerinin EBOB’unu alıp iki ağaç arası mesafeyi buluyoruz.

Şekiller
 

En az kaç ağaç ya da kaç direk dikilebileceği sorulursa, verilen şeklin çevresini EBOB kullanarak bulduğumuz sayıya (ağaçlar/direkler arasıdaki en büyük mesafeye) böleriz.

$$\text{Ağaç Sayısı}={\text{Tarlanın Çevresi} \over \text{Ağaçlar Arası Uzaklık}}$$

Kenar uzunlukları $100$ m ve $120$ m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

En az ağaç, ancak ağaçlar arasındaki mesafenin en yüksek olduğu durumda dikilebilir. Bu nedenle, kenar uzunluklarını tam bölenler arasındaki en büyük sayıyı, yani bu uzunlukların EBOB’unu bulmamız gerekir.

EBOB(100, 120)

Yukarıdaki ortak bölen listesinden EBOB'u $EBOB(100, 120)=2.2.5=20$ olarak buluruz. Bu nedenle, ağaçlar arası mesafe en fazla $20m$ olabilir. Dikilecek en az ağaç sayısını ise,

$${\text{Dikdörtgenin Çevresi} \over \text{İki Ağaç Arası Mesafe}}={2(100+120) \over 20}=22$$

olarak buluruz.


Kenar uzunlukları $60$ m, $75$ m ve $85$ m olan üçgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk kullanılması gerekmektedir?

Bu defa üç çeşit uzunluk olduğu için, iki direk arası mesafenin üç sayıyı da tam bölmesi gerekir. En az direk kullanmak için yine en uzun mesafeyi EBOB kullanarak bulacağız.

EBOB(60, 75, 80)

Ortak bölen listesinden $EBOB(60, 75, 85)=5$ buluruz. Yani, iki direk arası mesafe en fazla $5$ olabilir. En az direk sayısı ise,

$${\text{Üçgenin Çevresi} \over \text{İki Direk Arası Mesafe}}={60+75+85 \over 5}=44$$

buluruz.

Kenar uzunlukları $10$ m, $15$ m, $10$ m, $10$ m ve $15$ m olan beşgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

Şekil beşgen olduğu halde kenar uzunlukları 2 çeşittir: $10$ m ve $15$ m. Önemli olan uzunluk çeşitleri olduğu için bu iki uzunluğun EBOB'unu almamız gerekir. (NOT: Verilen tüm kenar uzunluklarını yan yana yazıp EBOB'unu alsak da aynı sonucu elde ederiz. $EBOB(10,15)=EBOB(10,15,10,10,15)$)

EBOB

$EBOB(10, 15)=5$ çıktığı için ağaçlar arası mesafe en fazla $5$ m olabilir. Dikilecek en az ağaç sayısı ise,

$${\text{Beşgenin Çevresi} \over \text{İki Ağaç Arası Mesafe}}={10+15+10+10+15 \over 5}=12$$

çıkar.