DERS-8 EKOK NEDİR? NASIL HESAPLANIR?


Bir sayının tam katı, bu sayının bir sayma sayısı ile çarpımıyla bulunur.

Örneğin, $8.1=8$, $8.2=16$, $8.3=24$, $8.4=32$,.... $8$’in tam katlarıdır.

İki veya daha fazla sayının birbirine eşit (ortak) olan katlarının en küçüğüne En Küçük Ortak Kat veya EKOK denir.

 

$8$ ve $12$ sayılarının katları aşağıda gösterilmiştir.

8’in tam katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,....

12’nin tam katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72,....

Bu katlar arasında ortak olanlar 24, 48, 72,...’dir. Bu katların en küçüğü EKOK’u verdiği için, EKOK(8, 12)=24’tür.

 

Bir kaç sayının EKOK’unu bulabilmek için tüm katlarını listeleyip, bunlar arasından en küçüğünü seçmek biraz uzun süreceğinden, aşağıda EKOK’u bulmanın daha kolay bir yolunu öğreniyoruz.

EKOK NASIL HESAPLANIR?

Verilen bir grup sayının EKOK’unu bulabilmek için, aşağıda anlatılan yöntemi uyguluyoruz. Oluşturduğumuz listeden yalnız EKOK’u değil, aynı zamanda EBOB’u da bulabiliriz.

  1. EKOK’unu bulacağımız sayıları yazıp, bu sayıların sağına düz bir çizgi çekiyoruz.
  2. 2’den başlayarak, soldaki sayılardan en az birini bölen bir asal sayı bulmaya çalışıyoruz. Eğer böyle bir asal sayı bulursak, çizginin sağına yazıyoruz. Bulamazsak bir sonraki asal sayıya geçiyoruz.
  3. Sağa yazdığımız asal sayının kalansız böldüğü sayıları, bu asal sayıya bölüp altlarına sonuçlarını yazıyoruz. Bölünmeyen sayıları ise bir işlem yapmadan tekrar alt satıra aynen yazıyoruz. Eğer asal sayımız soldaki tüm sayıları bölüyorsa, bu asal sayıyı daire içerisine alıyoruz.
  4. Bir sonraki asal bölen işlemini artık yeni oluşturduğumuz satır için uygulayıp, tüm satırdaki sayılar 1 olana kadar yukarıdaki işlemleri tekrarlıyoruz.
  5. Çizginin sağına yazdığımız asal sayıların tümünün çarpımı EKOK’a eşittir.
  6. Daire içerisine aldığımız asal sayıların çarpımı ise EBOB’a eşittir.

Şimdi, değişik örnekler üzerinde EKOK’u nasıl bulduğumuzu görelim.


EKOK(8,12)

Bu örnekte $12$ ve $18$’in EKOK’unu buluyoruz.

 
EKOK

İlk adımda, sol tarafa sayıları yazıp, sağ tarafa ise düz bir çizgi çekiyoruz..

EKOK

Bu sayılardan en az birini bölen en küçük asal sayıyı bulup sağ tarafa yazıyoruz. Eğer asal sayımız soldaki tüm sayıları kalansız bölüyorsa, bu asal sayıyı daire içerisine alıyoruz. Bu örnekte, $2$ her iki sayıyı da böldüğü için, sağ tarafa $2$ yazıp, daire içerisine alıyoruz.

EKOK

Soldaki sayıları $2$’ye bölüp, bölüm sonuçlarını altlarına yazıyoruz.

EKOK

Şimdi test edeceğimiz sayılar $4$ ve $6$. Gene her iki sayıda $2$’ye tam bölündüğü için, sağ tarafa $2$ yazıp daire içerisine alıyoruz.

EKOK

$4$ ve $6$’yı $2$’ye bölüp, bölüm sonuçlarını altlarına yazıyoruz.

EKOK

Artık karşımızda $2$ ve $3$ sayıları bulunuyor. $2$ asal sayısı, bu sayılardan yalnız birini bölüyor. Bu nedenle daire içine almadan sağ tarafa $2$ yazıyoruz.

EKOK

Soldaki sayılardan $2$’yi $2$’ye bölünce sonuç $1$ olduğundan $2$’nin altına $1$; $3$ ise $2$’ye bölünmediği için $3$’ün altına tekrar $3$ yazıyoruz.

EKOK

Yeni satırımızda $1$ ve $3$ sayıları var. $3$’ü bölen en küçük asal sayı $3$ olduğundan sağdaki listeye $3$ yazıyoruz, yalnız bu satırdaki her iki sayıyı da tam bölmediği için daire içerisine almıyoruz.

EKOK

$3$’ü $3$’e böldüğümüzde sonuç $1$ olduğu için $3$’ün altına da $1$ yazıyoruz. En soldaki $1$’i ise bir alt satıra geçiriyoruz.

Son satırımızda tüm sayılar $1$ olduğu için, artık EKOK ve EBOB’u bu listeden bulabiliriz. EKOK sağdaki tüm sayıların, EBOB ise daire içerisindeki sayıların çarpımına eşittir.

$EKOK(8, 12)=2.2.2.3=24$

$EBOB(8, 12)=2.2=4$


EKOK(15,7)

 
EKOK

Öncelikle $15$ ve $7$ sayılarını yazıp, sağ tarafa düz bir çizgi çekiyoruz.

EKOK

$2$ bu iki sayıyı da bölmediği için, bir sonraki asal sayı olan $3$’ü deniyoruz. $3$ sayısı $15$’i tam böldüğü için sağa $3$ yazıyoruz. Yalnız her iki sayıyı da bölmediği için, $3$’ü daire içine almıyoruz.

EKOK

$15$'i, $3$'e bölünce sonuç $5$ çıkar. Bu nedenle, $15$'in altına $5$ yazıyoruz. $7$ ise $3$'e tam bölünmediğinden altına tekrar $7$ yazıyoruz.

EKOK

Artık, yeni satırımızdaki $5$ ve $7$ sayıları üzerine çalışacağız. Bu sayılardan en az birini tam bölen en küçük tam sayı $5$ olduğundan sağa $5$ yazıyoruz.

EKOK

$5/5=1$ olduğu için $5$’in altına $1$, $7$ ise $5$’e tam bölünmediği için altına $7$ yazıyoruz.

EKOK

Son kalan sayımız $7$ ve bu sayıyı bölen en küçük asal sayımız kendisi olduğu için sağa $7$ yazıyoruz.

EKOK

Son olarak, soldaki sayılardan bölünebilenleri $7$’ye bölüp altlarına sonuçlarını yazıyoruz.

Sağda daire içerisine alınmış hiç bir sayımız olmadığı için $EBOB(15, 7)=1$’dir. EKOK’u ise

$EKOK(15, 7)=3.5.7=105$

olarak buluruz.


EKOK ⟨10, 15, 20⟩

Bu örnekte, üç sayının EKOK’unu bulacağız.

 
EBOB

Yine diğer örneklerde olduğu gibi, ilk olarak bu sayıları yazıp sağlarına bir çizgi çekiyoruz.

EKOK

$2$, bu sayılardan $10$ ve $20$’yi tam böler. Bu nedenle sağa $2$ yazıp, $10$ ve $20$’yi ikiye bölüyoruz. $15$ ise $2$’ye kalansız bölünmediği için, bir alt satıra $15$ olarak geçiriyoruz. $2$ tüm sayıları tam bölmediği için daire içerisine almıyoruz.

EKOK

Yeni satırdaki $5$, $15$ ve $10$ sayılarından $10$, $2$’ye kalansız bölünür. Bu nedenle sağa bir tane daha $2$ yazıyoruz. $10$’u $2$’ye bölersek $5$ buluruz. Diğer sayılar ise, $2$’ye bölünmediğinden alt satıra aynen geçirmeliyiz.

EKOK

$5$, $15$ ve $5$ içinde $2$’ye bölünen bir sayı olmadığı için, $2$’yi atlayıp $3$’e geçiyoruz. $3$, $15$’i böldüğü için sağa yazıyoruz. $15$’i $5$’e böldüğümüzde sonuç $5$ olduğundan ve diğer sayılar $3$’e bölünmediğinden, yeni satırda tüm sayılar $5$ olur.

EKOK

$5$’e bu satırdaki tüm sayılar bölündüğü için, sağa $5$ yazıp, daire içerisine alıyoruz. Tüm sayıların bölümü $1$’e eşit olduğu için, yeni satırdaki tüm sayılar $1$ olur.

Son satırda tüm sayılar $1$ olduğundan, liste oluşturma işini bitirmiş oluyoruz. Şimdi ise sıra EKOK ve EBOB’u hesaplamada.

$EKOK(10, 15, 20)=2.2.3.5=60$

$EBOB(10, 15, 20)=5$


ÖRNEKLER

Aşağıda değişik örnekler için EKOK ve EBOB hesaplamalarını bulabilirsiniz.

EBOB
EBOB
EBOB
 

EKOK ÖZELLİKLERİ

  • İki sayının ortak böleni yoksa, bu sayıların EKOK’u sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, EKOK(15, 7)=15.7=105.
  • Bir sayı diğerinin tam katı ise, bu iki sayının EKOK’u büyük olan sayıya eşittir. Örneğin, EKOK(6, 12)=12
  • EBOB İki veya daha fazla sayının EKOK’u, en az en büyük sayı kadardır.
  • İki veya daha fazla sayının EKOK’u bu sayılara tam bölünür.