DERS-8 EKOK NEDİR? NASIL HESAPLANIR?


İki veya daha fazla sayının aynı olan (ortak olan) katlarının en küçüğüne En Küçük Ortak Kat veya kısaca EKOK denir.

 

8 ile 12'nin EKOK'unu bulalım.

8’in tam katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,....

12’nin tam katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72,....

Bu katlar arasında ortak olanlar 24, 48, 72,...’dir. Bu ortak katların en küçüğü EKOK’a eşittir.

$EKOK(8, 12)=24$

 

Bir grup sayının EKOK’unu bulabilmek için katlarını listeleyip, bunlar arasından en küçüğünü seçmek biraz uzun sürebileceğinden, genelde EKOK'u bulabilmek için aşağıdaki yöntemi kullanıyoruz.

EKOK NASIL HESAPLANIR?

Verilen bir grup sayının EKOK’unu bulabilmek için, aşağıda anlatılan yöntemi uygulayabiliriz. Oluşturduğumuz listeden yalnız EKOK’u değil, aynı zamanda EBOB’u da bulabiliriz.

  • EKOK’unu bulacağımız sayıları yazıp, bu sayıların sağına düz bir çizgi çekiyoruz.
  • Soldaki sayılardan en az birini bölen bir asal sayı bulmaya çalışıyoruz. Böyle bir asal sayı bulduğumuzda, çizginin sağına bu asal sayıyı yazıyoruz.
  • Sağa yazdığımız asal sayının kalansız böldüğü sayıları, bu asal sayıya bölüp altlarına sonuçlarını yazıyoruz. Bölünmeyen sayıları ise bir işlem yapmadan tekrar alt satıra aynen yazıyoruz. Eğer asal sayımız soldaki tüm sayıları bölüyorsa, bu asal sayıyı daire içerisine alıyoruz.
  • Bir sonraki işlemi yeni yazdığımız sayılar için uygulayıp, tüm satırlardaki sayılar 1 olana kadar yukarıdaki işlemleri tekrarlıyoruz.
  • Çizginin sağına yazdığımız tüm asal sayıların çarpımı EKOK’a eşittir.
  • Daire içerisine aldığımız asal sayıların çarpımı ise EBOB’a eşittir.

Soldaki sayılardan en az birini bölen asal sayıları bulurken, asal sayıları küçükten büyüğe doğru sırayla deneyebilirsiniz. Örneklerde de bu yöntemi kullanıyoruz. Yalnız sırayla denemez şart değil. Eğer soldaki sayıları tam bölen bir asal sayı bulursanız, sıra gözetmeden bu asal sayıyı sola yazıp devam edebilirsiniz.

Şimdi, örnekleri inceleyelim.


EKOK ÖRNEKLERİ

12 ile 18'in EKOK'unu bulalım.


 
12 ile 18'in EKOKu

İlk adımda, sol tarafa sayıları yazıp, sağ tarafa düz bir çizgi çekiyoruz..

12 ile 18'in EKOKu

Bu sayılardan en az birini bölen en küçük asal sayıyı bulup sağ tarafa yazıyoruz. Eğer asal sayımız soldaki tüm sayıları kalansız bölüyorsa, bu asal sayıyı daire içerisine alıyoruz. $2$ her iki sayıyı da böldüğü için, sağ tarafa $2$ yazıp, daire içerisine alıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

Soldaki sayıları $2$’ye bölüp, bölüm sonuçlarını altlarına yazıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

Şimdi test edeceğimiz sayılar: $4$ ve $6$. Her iki sayıda $2$’ye tam bölündüğü için, sağ tarafa $2$ yazıp daire içerisine alıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

$4$ ve $6$’yı $2$’ye bölüp, bölüm sonuçlarını altlarına yazıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

Artık karşımızda $2$ ve $3$ sayıları bulunuyor. $2$, bu sayılardan yalnız birini kalansız bölüyor. Bu nedenle, daire içine almadan sağ tarafa $2$ yazıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

Soldaki sayılardan $2$’yi $2$’ye bölünce sonuç $1$ olduğundan, $2$’nin altına $1$ yazıyoruz. $3$ ise $2$’ye bölünmediği için $3$’ün altına tekrar $3$ yazıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

Yeni oluşturduğumuz satırda $1$ ve $3$ sayıları var. $3$’ü bölen en küçük asal sayı $3$ olduğundan, sağdaki listeye $3$ yazıyoruz, yalnız bu satırdaki her iki sayıyı da tam bölmediği için $3$'ü daire içerisine almıyoruz.

12 ile 18'in EKOKu

$3$’ü $3$’e böldüğümüzde sonuç $1$ olduğu için $3$’ün altına da $1$ yazıyoruz. En soldaki $1$’i ise bir alt satıra geçiriyoruz.

Son satırdaki tüm sayılar $1$ olduğu için, EKOK ve EBOB’u çizginin sağına yazdığımız asal sayılardan çıkarabiliriz. EKOK sağdaki tüm sayıların, EBOB ise daire içerisindeki sayıların çarpımına eşittir.

$EKOK(8, 12)=2.2.2.3=24$

$EBOB(8, 12)=2.2=4$

30 EKOK ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

15 ile 7'nin EKOK'unu bulalım.


 
15 ile 7'nin EKOKu

Öncelikle $15$ ve $7$ sayılarını yazıp, sağ tarafa düz bir çizgi çekiyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

Soldaki sayılar tek olduğu için $2$'ye tam bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan $3$’ü deniyoruz. $3$, $15$’i tam böldüğü için sağa $3$ yazıyoruz. Yalnız her iki sayıyı da bölmediği için, $3$’ü daire içerisine almıyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

$15$'i, $3$'e bölünce sonuç $5$ çıkar. Bu nedenle, $15$'in altına $5$ yazıyoruz. $7$ ise $3$'e tam bölünmediğinden altına tekrar $7$ yazıyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

Artık, yeni satırımızdaki $5$ ve $7$ sayıları üzerine çalışacağız. Bu sayılardan en az birini tam bölen en küçük tam sayı $5$ olduğundan sağa $5$ yazıyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

$5 \div 5=1$ olduğu için $5$’in altına $1$ yazıyoruz. $7$ ise $5$’e tam bölünmediği için altına $7$ yazıyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

$7$'yi tam bölen en küçük asal sayı kendisi olduğu için sağa $7$ yazıyoruz.

15 ile 7'nin EKOKu

Son olarak,$7 \div 7 = 1$ olduğundan, $7$'nin altına $1$ yazıyoruz.

Sağda daire içerisine alınmış sayı olmadığı için $EBOB(15, 7)=1$’dir. EKOK’u ise

$EKOK(15, 7)=3.5.7=105$

olarak bulunur.

30 EKOK ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

10, 15 ve 20'nin EKOK'unu bulalım.


 
EBOB

Diğer örneklerde olduğu gibi, ilk olarak bu sayıları yazıp sağ tarafa bir çizgi çekiyoruz.

EKOK

$2$, bu sayılardan $10$ ve $20$’yi tam böler. Sağa $2$ yazıp, hem $10$ hem de $20$’yi $2$'ye bölüyoruz. $15$ ise $2$’ye kalansız bölünmediği için, bir alt satıra bölüm yapmadan $15$ olarak geçiriyoruz. $2$, tüm sayıları tam bölmediği için daire içerisine almıyoruz.

EKOK

Yeni satırdaki sayılardan $10$, $2$’ye kalansız bölünür. Bu nedenle, sağa bir tane daha $2$ yazıyoruz. $10$’u $2$’ye bölersek $5$ buluruz. Diğer sayılar ise, $2$’ye bölünmediğinden alt satıra aynen geçiriyoruz.

EKOK

$5$, $15$ ve $5$ içinde $2$’ye bölünen bir sayı olmadığı için, $2$’yi atlayıp $3$’e geçiyoruz. $3$, $15$’i böldüğü için sağa yazıyoruz. $15$’i $3$’e böldüğümüzde sonuç $5$ olduğundan ve diğer sayılar $3$’e bölünmediğinden, yeni satırda tüm sayıların yerine $5$ yazıyoruz.

EKOK

$5$ asal olduğu için sağ tarafa $5$ yazıp, soldaki sayıların altına $1$ yazıyoruz.

Son satırda tüm sayılar $1$ olduğundan, liste oluşturma işini bitiriyoruz. EKOK ve EBOB’u bu listeden buluyoruz.

$EKOK(10, 15, 20)=2.2.3.5=60$

$EBOB(10, 15, 20)=5$

30 EKOK ÖRNEĞİ İÇİN TIKLA

Alıştırmalar

Aşağıdaki sayıların EKOK'larını bulalım.

a) 6 ve 12, b) 20 ve 50, c) 24 ve 30, d) 18, 24 ve 36, e) 20, 40, 60 ve 80

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ


EKOK ÖZELLİKLERİ

  • Aralarında asal sayıların EKOK’u bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, $EKOK(15, 7)=15.7=105$.
  • Bir sayı ile çarpanının EKOK’u bu sayıya eşittir. Örneğin, $6$, $12$'nin çarpanlarından biridir ve $EKOK(6, 12)=12$ olur.
  • EBOB İki veya daha fazla sayının EKOK’u, en az en büyük sayı kadardır.
  • İki veya daha fazla sayının EKOK’u, bu sayıların tümüne tam bölünür.

HATIRLATMALAR

Bir sayının tam katı, bu sayının bir tam sayı ile çarpımıyla bulunur.

Örneğin, $8 \times 0=0$, $8 \times 1=8$, $8 \times 2=16$, $8 \times 3=24$, $8 \times 4=32$,.... $8$’in tam katlarıdır.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

a) 12, b) 100, c) 120, d) 72, e) 120

ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ