TEOG HAZIRLIK-EŞİTSİZLİKLER

DERS 2: EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜMÜ


Bir bilinmeyenli bir eşitsizliği çözmek, içerisindeki değişkenin hangi değerler (veya değer aralıkları) için bu eşitliğin doğru olduğunu bulmak anlamına gelir.

 

EŞİTSİZLİK KURALLARI

 

Eşitsizliklerin çözümünde, aşağıdaki kurallar geçerlidir:

 

Toplama halindeki bir değişken veya sabit sayı, eşitsizliğin karşı tarafına çıkarma olarak geçer.

$x+2$ < $5$

eşitsizliğini

$x$ < $5-2$ veya $2$ < $5-x$

şeklinde yazabiliriz.


 

Çıkarma halindeki bir değişken veya sabit sayı, eşitsizliğin karşı tarafına toplam olarak geçer.

$-x-4$ > $8$

eşitsizliğini

$-x$ > $8+4$ veya -$4$ > $8+x$

şeklinde yazabiliriz.


 

Eşitsizliğin her iki tarafını da aynı pozitif sayı ile çarpabiliriz.

${x \over 2}$ < $7$

eşitsizliğinin her iki tarafını da $2$ ile çarparsak,

$2.{x \over 2}$ < $2.7$

$x$ < $14$

haline dönüşür.


 

Eşitsizliğin her iki tarafını da aynı pozitif sayıya bölebiliriz.

$3x$ ≤ $8$

eşitsizliğinin her iki tarafını $3$’e bölersek,

${3x \over 3}$ ≤ ${8 \over 3}$

$x$ ≤ ${8\over 3}$

haline dönüşür.


 

Eşitsizliğin her iki tarafını da aynı negatif sayı ile çarparken, eşitsizliğin yönü değişir.

$-{x \over 3 }$ > $5$

eşitsizliğinin her iki tarafını da $-3$ ile çarparsak, eşitsizlikteki ">" sembolünü "<" ile değiştirmeliyiz.

$-3.{-x \over 3}$ < $-3.5$

$x$ < $-15$


 

Eşitsizliğin her iki tarafını da aynı negatif sayıya bölerken, eşitsizliğin yönü değişir.

$-2x$ < $12$

eşitsizliğinin her iki tarafını da $-2$’ye bölersek, eşitsizlikteki "<" sembolünü ">" ile değiştirmeliyiz.

${-2x \over -2}$ > ${12 \over -2}$

$x$ > $-6$


 
 

EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliğin çözümünü bulabilmek için, yukarıdaki kuralları uygulayarak, değişkeni bir tarafta yalnız bırakırız.

Örnek 1:

$x+2$ < $5$

 

Bu eşitsizlikte toplam halindeki sabit sayı olan $2$’yi karşı tarafa $-2$ olarak geçirirsek,

$x$ < $5-2$

$\Rightarrow x$ < $3$

buluruz. Bu çözümün sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

Eşitsizliklerin çözümü-1
 

Örnek 2:

$3x$ ≥ $9$

 

Bu eşitsizlikte $x$’i yalnız bırakmak için eşitsizliğin iki tarafını da $3$’e bölmemiz gerekir.

${3x \over 3}$ ≥ ${9 \over 3}$

$\Rightarrow x$ ≥ $3$

Eşitsizliklerin çözümü-2
 

Örnek 3:

$2x+1$ > $11$

 

Bu eşitsizlikte $x$’i yalnız bırakabilmek için, önce $x$’in olduğu taraftaki sabit sayıdan kurtulmamız gerekir. Soldaki $+1$’i sağa $-1$ olarak geçiririz.

$2x$ > $11-1$

$\Rightarrow 2x$ > $10$

Bir sonraki admda ise, eşitsizliğin iki tarafını da $2$’ye bölmemiz gerekir.

${2x \over 2}$ > ${10 \over 2}$

$\Rightarrow x$ > $5$

Eşitsizliklerin çözümü-3
 

Örnek 4:

${x \over 2}+{1 \over 2}$ ≥ $1$

 

Bir önceki örnekteki gibi bu eşitsizliği çözebilmek için de, ilk olarak $x$’in olduğu taraftaki sabit sayıyı sağ tarafa geçirmeliyiz.

${x \over 2}$ ≥ $1-{1 \over 2}$

$\Rightarrow {x \over 2}$ ≥ ${1 \over 2}$

Şimdi ise, eşitsizliğin her iki tarafını da $2$ ile çarpmamız gerekir.

$2.{x \over 2}$ ≥ $2.{1 \over 2}$

$\Rightarrow x$ ≥ $1$

Eşitsizliklerin çözümü-4
 

Örnek 5:

$2x+1$ < $-x+4$

 

Diğerlerinden farklı olarak, bu eşitsizlikte değişkeni her iki tarafta da görüyoruz. Bu eşitsizliği çözebilmemiz için değişkenleri bir tarafta, sabit sayıları diğer tarafta toplamalıyız. sağdaki $-x$’i sola $+x$ olarak ve soldaki $+1$’ü sağa $-1$ olarak geçirirsek,

$2x+x$ < $4-1$

$\Rightarrow 3x$ < $3$

$\Rightarrow x$ < $1$

sonucuna erişiriz.

Eşitsizliklerin çözümü-5
 

Örnek 6:

${x-5 \over 3}$ > ${x-6 \over 5}$

 

Bu eşitsizlikte her iki tarafı da $15$ ile çarparsak, paydalardan kurtuluruz.

$15{x-5 \over 3}$ > $15{x-6 \over 5}$

$\Rightarrow 5(x-5)$ > $3(x-6)$

Parantezleri açarsak, eşitsizlik

$5x-25$ > $3x-18$

haline dönüşür. Değişkenleri tek tarafta toplamak için $3x$’i sola ve $-25$’i sağa atarsak,

$5x-3x$ > $-18+25$

$\Rightarrow 2x$ > $7$

olduğunu buluruz. Son olarak, eşitsizliği çözebilmek için her iki tarafı da $2$’ye bölmemiz gerekir.

${2x \over 2}$ > ${7 \over 2}$

$\Rightarrow x$ > ${7 \over 2}$

Eşitsizliklerin çözümü-6
 

Örnek 7:

${6-x \over 2}$ ≤ $1+{x \over 3}$

 

Bu eşitsizliği çözebilmek için ilk olarak, ${6-x \over 2}$ ifadesini iki kesir halinde yazabiliriz.

${6 \over 2}-{x \over 2}$ ≤ $1+{x \over 3}$

$=>3-{x \over 2}$ ≤ $1+{x \over 3}$

Değişkenleri bir tarafta toplayabilmek için, $-{x \over 2}$’yi sağa ve sağdaki $1$’i sola atarsak,

$3-1$ ≤ ${x \over 3}+{x \over 2}$

$\Rightarrow 2$ ≤ ${5x \over 6}$

elde ederiz. Eşitliğin her iki tarafını $6$ ile çarpıp $5$’e bölersek,

${6 \over 5}.2$ ≤ ${6 \over 5}.{5x \over 6}$

$\Rightarrow {12 \over 5}$ ≤ $x$

sonucunu buluruz.

Eşitsizliklerin çözümü-7