TEOG HAZIRLIK-EŞİTSİZLİKLER

DERS 1: EŞİTSİZLİK NEDİR?


EŞİTSİZLİK NEDİR?

Matematiksel ifadelerden ve >, <, ≥ ve ≤ sembollerinden oluşan matematiksel ilişkilere eşitsizlik denir.

 

Eşitsizlikler, ifadeler arasında büyüklük-küçüklük ilişkilerini verirler.

 

4 temel eşitsizlik sembolü bulunmaktadır.

Eşitsizlik sembolleri

  • > : büyüktür
  • < : küçüktür
  • ≥ : büyük eşittir (büyük veya eşittir)
  • ≤ : küçük eşittir (küçük veya eşittir)
 

Örneğin,

  • "$5$>$2$" eşitsizliği, $5$’in $2$’den büyük olduğunu,
  • "$8$≥${7 \over 2}$" eşitsizliği, $8$’in ${7 \over 2}$’den büyük veya bu değere eşit olduğunu,
  • "$5$<$910$" eşitsizliği, $5$’in $910$’dan küçük olduğunu ve
  • "$4,1$≤$\sqrt{30}$" eşitsizliği, $4,1$’in $\sqrt{30}$’dan küçük veya bu değere eşit olduğunu ifade eder.
 

Eşitsizlik sembolleri, değişkenlerle birlikte de kullanılabilir.

 

Örneğin,

  • $x$>$4$, $x$ değişkeninin $4$’ten büyük olduğu,
  • $y$≥$4$, $y$’nin $4$'e eşit veya $4$’ten büyük olduğu,
  • $a$<$7$, $a$ değişkeninin $7$’den küçük olduğu ve
  • $b$≤$19$, $b$ değişkeninin $19$’a eşit veya $19$’dan küçük olduğu

anlamına gelir.

 

BÜYÜK VE BÜYÜK EŞİT

Büyüktür sembolünü içeren eşitsizlikler için, sağ ve sol tarafın birbirine eşit olduğu durum doğru değildir.

Örneğin,

$x$>$5$

eşitsizliği $x$’in $5$’ten mutlak olarak büyük olduğunu gösterir. $x$ değeri $5$’ten büyüktür ve $5$’e çok yakın değerleri dahi alabilse de (örneğin, $5,000000001$ gibi) tam olarak $5$’e eşit olamaz.

 

Büyük Eşittir sembolünün kullanıldığı eşitsizliklerde ise, sağ ve sol tarafın eşitliği durumu da doğrudur.

Örneğin,

$x$≥$5$

eşitsizliği $x$’in ya $5$, ya da $5$’ten büyük bir sayı olduğunu gösterir.

 

KÜÇÜK VE KÜÇÜK EŞİT

Büyük ve büyük eşit sembollerinde olduğu gibi, küçük ve küçük eşit sembolleri arasındaki fark da sınır noktasının dahil olup olmamasındadır.

 

$x$<$3$

eşitsizliğini doğru yapan $x$ değerlerinin içerisinde $3$ olmadığı halde,

$x$≤$3$

eşitsizliği için, $x=3$ değeri de çözüm kümesi içerisindedir.

 

EŞİTSİZLİKLERDE TARAF DEĞİŞTİRME

Bir eşitlikte tarafları değiştirirseniz, ifade aynı anlama gelir.

Örneğin,

$x+4=7$ ile $7=x+4$ birbirinin aynıdır.

 

Eşitsizliklerde ise tarafların değiştirilebilmesi için, işaretin yönü de değiştirilmelidir.

İşaretin yönünün değişmesi,

  • > yerine <
  • ≥ yerine ≤
  • < yerine > ve
  • ≤ yerine ≥

sembolünün kullanılması anlamına gelir.

 

Örneğin,

  • $x+4$>$7$ eşitsizliği $7$<$x+4$’e
  • $x+4$≥$7$ eşitsizliği $7$≤$x+4$’e
  • $x+4$<$7$ eşitsizliği $7$>$x+4$’e
  • $x+4$≤$7$ eşitsizliği $7$≥$x+4$’e

denktir.

 

İKİ SEMBOLLÜ EŞİTSİZLİKLER

İki sembollü eşitsizlikler, bir tarafı aynı olan iki eşitsizliğin kısa halde yazımıdır.

 

Örnek 1:

$3$<$x$<$5$

eşitsizliğinin doğru olması,

$3$<$x$ ve

$x$<$5$

eşitsizliklerinin doğru olduğu anlamına gelir. Başka bir değişle, $x$ değişkeni $3$’ten büyük ve $5$’ten küçüktür.

 

Örnek 2:

$2$≤$2x+3$<$18$

eşitsizliğinin doğru olması,

$2$≤$2x+3$ ve

$2x+3$<$18$

eşitsizliklerinin doğru olduğu anlamına gelir.

 

EŞİTSİZLİKLERİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ

Bir değişken içeren eşitsizlikleri, sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.

 

Bir eşitsizliği sayı doğrusunda göstermek, eşitsizliği doğru yapan değişken değerleri kümesini işaretlemek anlamına gelir.

 

Örnek 1:

$x$≥$4$

eşitsizliğinin sayı doğrusu üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir:

Eşitsizlik Örneği-1

Bu eşitsizlik, $x$’in $4$ veya $4$’ten büyük tüm değerleri için doğrudur. Bu nedenle, sayı doğrusunda $4$’ün sağındaki tüm noktaları kapsayan bir doğru çiziyoruz. Tam $4$ üzerindeki içi dolu nokta ise, $4$’ün de bu sayı kümesine dahil olduğunu, başka bir değişle $4$ için de bu eşitsizliğin doğru olduğunu gösterir.

 

Örnek 2:

$x$>$2$

eşitsizliğini sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Eşitsizlik Örneği-2

Bu eşitsizliği $2$’den büyük tüm değerler sağlar. Yalnız, tam $2$ değeri için eşitsizlik doğru olmadığından, bu noktayı içi boş bir küçük bir daire ile gösteririz.

 

Örnek 3:

$x$>$-5$

eşitsizliği, sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilir.

Eşitsizlik Örneği-3

Eşitsizlik $-5$’ten büyük olan tüm değerler için doğru olduğundan, çözüm kümemiz $-5$’in sağını kapsar. Yine sınır değeri dahil olmadığından, $-5$ noktası içi boş küçük bir daire ile gösterilir.

 

Örnek 4:

$x$≤$6$

eşitsizliği, $x$’in $6$ ve $6$’dan küçük olan tüm değerleri için doğrudur. Bu nedenle, sayı doğrusunda $6$’nın soluna bir çizgi çekiyoruz. Ayrıca, eşitsizlik $6$ değeri için de doğru olduğundan, bu noktaya içi dolu küçük bir daire koyuyoruz.

Eşitsizlik Örneği-4
 

Örnek 5:

$x$<$0$

eşitsizliği $x$’in $0$’dan küçük tüm değerleri için doğrudur. Bu eşitsizliği sayı doğrusunda göstermek için, $0$’ın soluna bir çizgi çekiyoruz. Tam $0$ değerinde eşitsizlik doğru olmadığından, bu noktaya içi boş küçük bir çember koyuyoruz.

Eşitsizlik Örneği-5
 

Örnek 6:

$2$≤$x$≤$5$

eşitsizliği $x$’in $2$ ile $5$ arasındaki tüm değerleri için doğrudur. Bu nedenle, sayı doğrusunda $2$ ile $5$ arasına bir çizgi çekiyoruz. Eşitsizlik, $2$ ve $5$ değerleri için de doğru olduğu için, hem $2$ hem de $5$ noktalarına içi kapalı çember koyuyoruz.

Eşitsizlik Örneği-6
 

Örnek 7:

$-2$<$x$<$4$

eşitsizliği $x$’in $-2$ ile $4$ arasındaki değerleri için sağladığından, bu iki sayı arasına çizgi çekiyoruz. $2$ ve $4$ sayıları için eşitsizlik doğru olmadığından, her iki sınıra da içi boş çember koyuyoruz.

Eşitsizlik Örneği-7
 

Örnek 8:

$-5$≤$x$<$-1$

eşitsizliği $x$’in $-5$ ile $-1$ arasındaki değerleri için doğrudur. Bu aralığa $-5$ dahil olduğu halde $-1$ dahil değildir. Bu nedenle, çektiğimiz çizginin $-5$ ucunu içi dolu çemberle, $-1$ ucunu içi boş çemberle gösteriyoruz.

Eşitsizlik Örneği-8