OLASILIK

DERS-2 EŞOLASILIKLI OLAYLAR


Bir olasılık deneyinde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşitse, bu çıktıların her birinin olasılığını bulabilmek için, 1’i toplam çıktı sayısına bölmemiz gerekir.

$$\text{Bir Çıktının Olasılığı}={1\over \text{Toplam Çıktı Sayısı}}$$

 

Bu derste tüm olası çıktıların olasılıklarının birbine eşit olduğu durumları öğreneceğiz.

 

Örnek:

Zar

Yazı tura attığımızda iki farklı çıktı karşımıza çıkar: Yazı ve Tura.

Eğer bu iki çıktının da olasılıkları birbirine eşitse (yani yazı gelme olasılığı ile tura gelme olasılığı birbirine eşitse), toplam 2 çıktı olduğundan, her birinin olasılığı ${1 \over 2}$ olur.

Bu nedenle,

$$\text{Yazı Gelme Olasılığı}={1\over 2} \text{ ve}$$

$$\text{Tura Gelme Olasılığı}={1\over 2}$$

olur.

 

Örnek:

0-1 arası

Zar atma deneyinde 6 farklı çıktımız var: 1, 2, 3, 4, 5 ve 6. Bu nedenle, her bir çıktının olma olasılığı ${1 \over 6}$’dır.

$$\text{Zarın 1 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

$$\text{Zarın 2 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

$$\text{Zarın 3 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

$$\text{Zarın 4 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

$$\text{Zarın 5 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

$$\text{Zarın 6 Gelme Olasılığı}={1\over 6}$$

 

Örnek:

Bir torbada 10 top varsa, ve bu torbadan rasgele bir top seçilecekse, her bir topun seçilme olasılığı ${1 \over 10}=0,1$’dir.

50 kişilik bir sınıftan rasgele bir sınıf başkanı seçilecekse ve tüm öğrencilerin şansı eşitse, her bir öğrencinin seçilme olasılığı ${1 \over 50}=0,02$’dir.

 

OLAYLARIN OLASILIKLARI

Hatırlarsanız, bir olay, bir veya bir kaç çıktının birleşmesinden oluşuyordu. Bir olayın olasılığını bulabilmek için bu olay içerisindeki çıktı sayısını tüm çıktıların sayısına bölmemiz gerekir.

$$\text{Bir Olayın Gerçekleşme Olasılığı}={\text{Olaydaki Çıktı Sayısı} \over \text{Toplam Çıktı Sayısı}}$$

Aşağıda değişik soru tiplerini, bu formülü kullanarak nasıl çözdüğümüzü öğreniyoruz.

 

ZAR ATMA SORULARI

0-1 arası

Zar atma deneyinde zarın çift gelmesi bir olaydır.

Bu deneyde 6 çıktımız var: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Çıktılardan 3 tanesin çift gelme olayımızla örtüşüyor: 2, 4 ve 6

Böylece zarın çift gelme olasılığını

$$\text{Zarın Çift Gelme Olasılığı}={\text{Çift Olan Çıktıların Sayısı} \over \text{Tüm Çıktıların Sayısı}}={3 \over 6}={1 \over 2}$$

olarak buluruz.

 

Eğer aynı deney için zarın tek gelme olayının olasılığı sorulursa, yapmamız gereken şey, yine olay içindeki çıktıların sayısını bulup, bunu tüm çıktıların sayısına oranlamaktır.

Çıktılardan 3 tanesi tek gelme olayımıza uyuyor: 1, 3 ve 5

$$\text{Zarın Tek Gelme Olasılığı}={\text{Tek Olan Çıktıların Sayısı} \over \text{Tüm Çıktıların Sayısı}}={3 \over 6}={1 \over 2}$$

 

Zarın tam kare olması da bir olaydır. Tam kare olan çıktılar 1 ve 4 olduğu için atılan zarı tam kare olma olasılığı

$$\text{Zarın Tam Kare Olasılığı}={\text{Tam Kare Olan Çıktıların Sayısı} \over \text{Tüm Çıktıların Sayısı}}={2 \over 6}={1 \over 3}$$

olarak bulunur.

 

Zarın 1’den 6’ya kadar bir sayı olması da bir olaydır. Tüm çıktılar bu olayla örtüştüğü için, bu olayın olasılığı,

Zarın 1’den 6’ya kadar bir sayı olma olasılığı=1’den 6’ya kadar olan çıktıların sayısı/Tüm çıktıların sayısı=6/6=1

olduğundan, bu olay kesinlikle (1 olasılıkla) gerçekleşir.

 

Zarın 7 gelmesi de bir çeşit olaydır. Yalnız hiç bir çıktı 7’ye eşit olmadığı için, bu olaya uyan çıktı sayısı 0’dır. Böylece,

$$\text{Zarın 7 Gelme Olasılığı}={\text{7 Olan Çıktıların Sayısı} \over \text{Tüm Çıktıların Sayısı}}={0 \over 6}=0$$

olduğundan, bu olayın gerçekleşmesi imkansızdır.

Alıştırmalar-1

Atılan bir zarın sonucunun

a) 3’ten küçük olma olasılığını,

b) tam kare olmama olasılığını,

c) 5 veya 5’ten fazla olma olasılığını,

d) 1’den büyük ve 5’ten küçük olma olasılığını ve

e) asal sayı olma olasılığını

bulunuz.

 

TOP ÇEKME SORULARI

Bir torba içerisinde 5 kırmızı 7 mavi ve 8 sarı top olsun. Bu torbadan rasgele bir top seçtiğimizde, bu topun rengi ile ilgili aşağıdaki olasılıkları buluruz.

$$\text{Çekilen Topun Kırmızı Olma Olasılığı}={\text{Kırmızı Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={5 \over 20}=0,25$$

$$\text{Çekilen Topun Mavi Olma Olasılığı}={\text{Mavi Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={7 \over 20}=0,35$$

$$\text{Çekilen Topun Sarı Olma Olasılığı}={\text{Sarı Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={8 \over 20}=0,4$$

$$\text{Çekilen Topun Sarı veya Mavi Olma Olasılığı}={\text{Sarı ve Mavi Topların Toplam Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={15 \over 20}=0,75$$

 

Bir torba içerisinde 2 büyük ve 2 küçük olmak üzere toplam 4 kırmızı top; 1 büyük ve 2 küçük olmak üzere toplam 3 mavi top; ve 3 büyük ve 1 küçük olmak üzere toplam 4 sarı top bulunmaktadır. Bu torbadan rasgele seçilen bir top ile ilgili,

$$\text{Çekilen Topun Kırmızı Olma Olasılığı}={\text{Kırmızı Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={4 \over 11}$$

$$\text{Çekilen Topun Büyük Olma Olasılığı}={\text{Büyük Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={6 \over 11}$$

$$\text{Çekilen Topun Kırmızı ve Büyük Olma Olasılığı}={\text{Büyük Kırmızı Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={2 \over 11}$$

$$\text{Çekilen Topun Mavi ve Küçük Olma Olasılığı}={\text{Küçük Mavi Topların Sayısı} \over \text{Tüm Topların Sayısı}}={2 \over 11}$$

olasılıklarını buluruz.

Alıştırmalar-2

İçerisinde 4 Kırmızı, 5 Mavi ve 3 Yeşil top olan bir torbadan çekilen topun

a) Kırmızı olma olasılığını,

b) Mavi olma olasılığını,

c) Kırmızı veya yeşil olma olasılığını ve

d) Yeşil olmama olasılığını

bulunuz.

 

HARFLİ SORULAR

MENEMEN kelimesinin harfleri birer kağıda yazılarak bir torbaya atılmıştır. Rasgele çekilen bir harfin,

$$\text{M Olma Olasılığı}={\text{Üzerinde M Yazılı Kağıtların Sayısı} \over \text{Tüm Kağıtların Sayısı}}={2 \over 7}$$

$$\text{E Olma Olasılığı}={\text{Üzerinde E Yazılı Kağıtların Sayısı} \over \text{Tüm Kağıtların Sayısı}}={3 \over 7}$$

$$\text{N Olma Olasılığı}={\text{Üzerinde N Yazılı Kağıtların Sayısı} \over \text{Tüm Kağıtların Sayısı}}={2 \over 7}$$

$$\text{M ve N Olma Olasılığı}={\text{Üzerinde M ve N Yazılı Kağıtların Toplam Sayısı} \over \text{Tüm Kağıtların Sayısı}}={4 \over 7}$$

çıkar.

 

SEÇME SORULARI

Şimdi, 20 kişilik bir sınıfta, 7 kız ve 13 erkek öğrenci olduğunu varsayalım. Kura ile rasgele bir sınıf başkanı seçilecekse, sınıf başkanının kız olma olasılığı,

$$\text{Sınıf Başkanının Kız Olma Olasılığı}={\text{Sınıftaki Kızların sayısı} \over \text{Tüm Sınıf Mevcudu}}={7 \over 20}=0,35$$

olur.

 

Yukarıdaki örneklerin tümünde, sorulan olasılık tek bir olayla ilgili. Birden fazla deneyin yapıldığı soruların çözümlerini bir sonraki derste öğreniyoruz.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) ${1 \over 3}$, b) ${2 \over 3}$, c) ${1 \over 3}$, d) ${1 \over 2}$, e) ${1 \over 2}$,

Alıştırmalar-2

a) ${1 \over 3}$, b) ${5 \over 12}$, c) ${7 \over 12}$, d) ${3 \over 4}$

async src="//page