KAREKÖKLÜ SAYILAR

DERS-3 KAREKÖKÜN HANGİ TAM SAYILAR ARASINDA OLDUĞUNU BULMA


Karekök içerisine yazılan sayı eğer bir tam kare ise, bu sayıyı kök dışarısına, çıkarmak kolaydır. Örneğin, $25$ sayısı $5$’in karesi olduğu için $\sqrt{25}=5$’tir.

$\sqrt{9}=3$

$\sqrt{144}=12$

$\sqrt{400}=20$

$\sqrt{1}=1$

 

Yalnız, $24$ gibi tam kare olmayan bir sayının, hesap makinesi kullanarak karekökünü hesapladığımızda, yaklaşık olarak $\sqrt{24}=4,898979...$ olduğunu görürürüz. Gerçek sayı doğrusunda, bu tarz sayıların hangi noktaya denk geldiğini bulabilmek zor bir işlemdir.

 

Yine de, tam kare olmayan bir sayının karekökünün hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu kolayca bulabiliriz. Bunun için, öncelikle iki tam kare sayı bulmalıyız:

  • Karekök içerisindeki sayıdan küçük ve bu sayıya en yakın tam kare sayı ve
  • Karekök içerisindeki sayıdan büyük ve bu sayıya en yakın tam kare sayı.

Örneğin,

  • $24$ sayısından küçük ve $24$’e en yakın tam kare sayı $16$’dır.
  • $24$ sayısından büyük ve $24$’e en yakın tam kare sayı $25$’tir.
 

Bulduğumuz iki sayının karekökü ardışıktır. Örneğin, $24$ için bulduğumuz $16$ ve $25$’in karekökleri sırasıyla $4$ ve $5$’tir.

 

Şimdi, karekök içerisindeki sayı ile bulduğumuz tam kare sayıları kendi arasında sıralayalım.

$16<24<25$

Yukarıdaki gibi bir eşitsizlikteki tüm sayıların karekökünü alırsak, sıralama değişmez.

$\sqrt{16}<\sqrt{24}<\sqrt{25}$

Sıralamadaki en büyük ve en küçük sayılar tam kare olduğu için, bu sayıların yerine tam sayı olan kareköklerini yazabiliriz.

$4<\sqrt{24}<5$

Böylece, $\sqrt{24}$’ün $4$ ile $5$ arasında olduğunu görürüz.

 

Kareköklerin ardışık olduğunu bildiğimiz için, bu tam kare sayılardan birini bulmamız dahi, aralığı bulmamız için yeterlidir. Örneğin, $24$’ten büyük ve $24$’e en yakın tam kare sayının $25$ olduğu bulduğumuzu farzedelim. Bu sayının karekökü $5$ olduğundan, diğer tam kare sayı $4$’ün karesi olmalıdır.

Şimdi $\sqrt{200}$ sayısının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulalım.

200’den küçük ve $200$’e en yakın tam kare sayı $14^2=196$’dır. $200$’den büyük ve $200$’e en yakın tam kare sayı ise $15^2=225$’tir.

$196<200<225$ olduğu için

$\sqrt{196}<\sqrt{200}<\sqrt{225}$ ve

$14<\sqrt{200}<15$

olduğunu buluruz. Dolayısıyla, $\sqrt{200}$, $14$ ile $15$ arasında bir sayıdır.

Aşağıdaki ifadelerin hangi ardışık tamsayılar arasında olduğunu bulunuz.

a) ...$<\sqrt{75}<$...

b) ...$<\sqrt{35}<$...

c) ...$<\sqrt{175}<$...

d) ...$<\sqrt{232}<$...

 

Negatif bir kareköklü ifadenin hangi tamsayılar arasında olduğunu bulma

Hangi tam sayılar arasında olduğunu bulacağımız köklü ifade negatifse (başında eksi işareti varsa), yukarıdaki ile aynı yöntemi takip edip, bulduğumuz ardışık tam sayıların negatifini almamız yeterlidir.

Örneğin, $\sqrt{24}$ ifadesi, $4$ ile $5$ arasında olduğu için, $-\sqrt{24}$ ifadesi $-4$ ile $-5$ arasındadır.

$-5<-\sqrt{24}<-4$

Aşağıdaki ifadelerin hangi ardışık tamsayılar arasında olduğunu bulunuz.

a) ...$<-\sqrt{61}<$...

b) ...$<-\sqrt{135}<$...

c) ...$<-\sqrt{200}<$...

d) ...$<-\sqrt{10}<$...

 

Tamsayı ile toplam halindeki kareköklü ifadenin hangi tamsayılar arasında olduğunu bulma

Eğer kareköklü bir ifade ile bir tamsayı toplamışsa veya çıkarılmışsa:

  • Önce, toplamdaki kareköklü ifadenin hangi ardışık sayılar arasında olduğunu buluruz.
  • Daha sonra ise, kareköklü ifade ile aynı işlemi yaparız.
 

Örneğin, $\sqrt{24}$ ifadesi $4$ ile $5$ arasında olduğu için, $10+\sqrt{24}$ ifadesi $10+4=14$ ile $10+5=15$ arasındadır.

Benzer şekilde, $\sqrt{24}-3$ ifadesi $4-3=1$ ile $5-3=2$ arasındadır.

Aşağıdaki ifadelerin hangi tamsayılar arasında olduğunu bulunuz.

a) ...$<13+\sqrt{32}<$...

b) ...$<5-\sqrt{12}<$...

c) ...$<\sqrt{75}-75<$...

d) ...$<\sqrt{15}+10<$...

Kareköklü Bir İfadenin Hangi Tam Sayıya Daha Yakın Olduğunu Bulma


Bu bölümde, bir kareköklü ifadenin en yakın olduğu tam sayıyı bulacağız.

Aslında, bir önceki bölümde bu tam sayı için iki aday bulduk: kareköklü ifade için bulduğumuz ardışık sayılar.

Örneğin, yukarıda $\sqrt{24}$’ün $4$ ile $5$ arasında olduğunu bulmuştuk. Bu nedenle, $\sqrt{24}$’ün en yakın olduğu tam sayı, $4$ ya da $5$ sayılarından biridir. $\sqrt{24}$’ün, bu sayılardan hangisine daha yakın olduğunu nasıl bulacağımızı, bu bölümde öğreneceğiz.

Karekök içerisindeki sayı, tam karelerden hangisine daha yakınsa, kareköklü ifade bu tam karenin kökü olan tam sayıya daha yakındır.

Örneğin, $24$’e en yakın tam kareler $16$ ve $25$'tir. $24$’ün bu tam sayılardan hangisine daha yakın olduğunu bulmak için, $24$ ile aralarındaki farklara bakarız.

  • $25-24=1$
  • $24-16=8$

Hangi tam kare sayı ile arasındaki fark daha azsa, sayımız bu tam kareye daha yakındır.

$24$ sayısı, $25$’e daha yakın olduğu için, $\sqrt{24}$ ifadesi $5$’e daha yakındır diyebiliriz.

Şimdi, $\sqrt{111}$ sayısına en yakın tamsayıyı bulalım. $111$ sayısından küçük ve $111$’e en yakın tam kare sayı $100$’dür. $111$’den büyük ve $111$’e en yakın tam kare sayı ise $121$’dir. $100$ ve $121$’in karekökleri sırasıyla $10$ ve $11$ olduğu için, $\sqrt{111}$ ifadesi $10$ ile $11$ arasındadır. $\sqrt{111}$’in bu tamsayılardan hangisine daha yakın olduğunu bulmak için ise, farklarını alırız.

  • $121-111=10$ ve
  • $111-100=11$

olduğu için $111$’in $121$’e daha yakın olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, $\sqrt{111}$ ifadesi $11$’e daha yakındır.

Aşağıdaki ifadelerin en yakın olduğu tam sayıyı bulunuz.

a) $\sqrt{61}$

b) $\sqrt{132}$

c) $\sqrt{21}$

d) $\sqrt{324}$

e) $\sqrt{51}$

 

Negatif Kareköklü İfadeye En Yakın Tam Sayıyı Bulma

Negatif kareköklü ifadeye en yakın tamsayıyı bulabilmek için, pozitif kareköklü ifade için yaptığımız işlemi tekrarlayıp sonucun negatifini almamız yeterlidir.

Örneğin, $\sqrt{111}$’e en yakın tam sayı $11$ olduğu için $-\sqrt{111}$’e en yakın tam sayı $-11$’dir.

Aşağıdaki ifadelerin en yakın olduğu tam sayıyı bulunuz.

a) $-\sqrt{31}$

b) $-\sqrt{112}$

c) $-\sqrt{28}$

d) $-\sqrt{124}$

e) $-\sqrt{71}$

 

Tam Sayı ile Toplanan Köklü İfadeye En Yakın Tam Sayıyı Bulma

Kareköklü bir ifade ile bir tam sayı toplama (veya çıkarma) işlemi yapılmışsa, bu işlem sonucuna en yakın tam sayıyı bulmak için, önce kareköklü ifadeye en yakın tam sayıyı buluruz. Sonucu bulmak için bu tam sayı ile aynı işlemi yaparız.

Örneğin, $\sqrt{111}$’e en yakın tam sayı $11$ olduğu için,

$5+\sqrt{111}$’e en yakın tam sayı $5+11=16$’dır.

$5- \sqrt{111}$’e en yakın tam sayı $5-11=-6$’dır.

Aşağıdaki ifadelerin en yakın olduğu tam sayıyı bulunuz.

a) $5+\sqrt{13}$

b) $6-\sqrt{90}$

c) $\sqrt{28}-3$

d) $\sqrt{17}-3$

 

İki Kareköklü İfade Arasında Kaç Tam Sayı Olduğunu Bulma

$\sqrt{a}$ ve $\sqrt{b}$ gibi iki ifade arasında kaç tane tam sayı olduğunu bulabilmek için, $a$ ve $b$ arasındaki tam kare sayını bulmamız yeterlidir.

Örneğin, $\sqrt{34}$ ile $\sqrt{75}$ arasındaki tam sayıların sayısı, $34$ ile $75$ arasındaki tam kare sayıların sayısına eşittir. $34$’ten büyük en küçük tam kare $6^2=36$’dır. $75$’den küçük en büyük tam kare ise $8^2=64$’tür. Bu nedenle, $\sqrt{34}$ ile $\sqrt{75}$ arasında $6$, $7$ ve $8$ tam sayıları bulunur.


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

TEOG Soru

Yukarıdaki sayı doğrusunda gösterilen $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) $\sqrt{73}$

B) $\sqrt{79}$

C) $\sqrt{87}$

D) $\sqrt{101}$

Çözüm:

$k$ sayısı $9$ ile $10$ arasında olduğu için doğru seçenekteki kareköklü ifadenin içindeki sayı $9^2=81$ ile $10^2=100$ arasında olmalıdır. Bu şarta uyan tek sayı $\sqrt{87}$'dir Cevap:C


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$\sqrt{34}$ ile $\sqrt{101}$ arasında kaç tam sayı vardır?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

Çözüm:

$34$'ten büyük en küçük tam kare sayı $6^2=36$'dır. $101$'den küçük en büyük tam kare sayı $10^2=100$'dür. Bu nedenle, $6$, $7$, $8$, $9$ ve $10$ sayıları $\sqrt{34}$ ile $\sqrt{101}$ arasındadır. CEVAP:B


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

TEOG Soru

Bir okçu, yukarıda gösterildiği gibi çapı 1 metre olan daire şeklindeki bir hedef tahtasına atış yapmaktadır. Hedef tahtasının yerden yüksekliği 3 metredir.

Atılan ok hedef tahtasına isabet ettiğine göre, saplandığı noktanın yerden yüksekliği, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) $\sqrt{6}$

B) $\sqrt{8}$

C) $\sqrt{15}$

D) $\sqrt{18}$

Çözüm:

Bu soruda bizden istenilen şey, seçeneklerden hangisinin 3 ile 4 arasında olduğunu bulmamızdır. Bu sayıların kareleri 9 ve 16'dır. Karekök içinde 9 ile 16 arasında olan tek seçenek C olduğu için cevap C'dir.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

TEOG Soru

Şekilde O noktasında bulunan bir aracın K, L, M, N, P noktalarına uzaklıkları verilmiştir.

Bu araç ok yönünde $\sqrt{210}$ km yol aldığında bulunduğu yer, hangi ardışık iki nokta arasında olur?

A) M ile N

B) N ile P

C) O ile K

D) L ile M

Çözüm:

$210$'dan büyük ve en küçük tam kare sayı $15^2=225$'tir. Bu nedenle, $\sqrt{210}$ ifadesi $14$ ile $15$ arasında olmalıdır. Bu durumda araç L ile M noktaları arasındadır. Cevap:D

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) 8 ile 9, b) 5 ile 6, c) 13 ile 14, d) 15 ile 16

Alıştırmalar-2

a) -8 ile -7, b) -12 ile -11, c) -15 ile -14, d) -4 ile -3

Alıştırmalar-3

a) 18 ile 19, b) 1 ile 2, c) -67 ile -66, d) 13 ile 14

Alıştırmalar-4

a) 8, b) 11, c) 5, d) 18, e) 7

Alıştırmalar-5

a) -6, b) -11, c) -5, d) -11, e) -8

Alıştırmalar-6

a) 9, b) -3, c) 2, d) 1