TEOG HAZIRLIK-CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

DERS 3: DENKLEMLER


KAREKÖKLÜ SAYILAR

DERS-5 KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME


KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA

Kareköklü iki ifadeyi birbiri ile çarptığımızda, gene kareköklü bir ifade elde ederiz. Bu çarpımda,

  • kök dışındaki sayıları birbiri ile çarpıp kök dışına ve
  • kök içindeki sayıları birbiri ile çarpıp kök içerisine

yazarız.

 

Genel olarak, $a \sqrt{b}$ ve $c\sqrt{d}$ sayılarını çarptığımızda

$a \sqrt{b}.c\sqrt{d}=a.c\sqrt{b.d}$

sonucunu elde ederiz.

 

Örneğin, $2\sqrt{3}.5\sqrt{7}$ işleminin sonucunu bulmak için kök dışındaki $2$ ve $5$’i çarpıp kökün dışına, kök içindeki $3$ ve $7$’yi çarpıp kökün içine yazmalıyız.

$2\sqrt{3}.5\sqrt{7}=2.5.\sqrt{3.7}=10\sqrt{21}$

 

Kök dışında bir sayı yazılmamışsa, kök dışını $1$’miş gibi kabul edebiliriz.

Örneğin, $\sqrt{3}$ ile $1\sqrt{3}$ birbirine eşit olduğundan, $4\sqrt{7}.\sqrt{3}$ çarpımını

$4.1\sqrt{3.7}=4\sqrt{21}$

olarak buluruz.

 

Köklü bir sayı ile köklü olmayan bir sayıyı çarptığımızda, köklü olmayan sayının kök kısmını $\sqrt{1}$ olarak düşünebiliriz.

Örneğin, $3$ sayısı ile $2\sqrt{5}$ sayılarının çarpımı $3.2\sqrt{5}=6\sqrt{5}$ olur.

 

Çarpma sonucunda bulduğumuz sonuç, kök içerisindeki sayılara bağlı olarak bir tamsayı da olabilir.

Örneğin, $4\sqrt{3}.2\sqrt{3}$ çarpımı,

$4.2\sqrt{3.3}=8\sqrt{3^2}=8.3=24$

çıkar.

Aşağıdaki çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz

a) $\sqrt{7}.\sqrt{5}$

b) $10\sqrt{3}.6\sqrt{8}$

c) $2\sqrt{25}.5\sqrt{4}$

d) $0,1\sqrt{21}.\sqrt{5}$

e) $7.5\sqrt{35}$

 

KAREKÖKLÜ İFADEYİ TAM SAYI YAPAN ÇARPANLAR

$\sqrt{a}$ ifadesini ($b$ ve $c$ tamsayıları için) $b\sqrt{c}$ ile çarptığımızda sonucun bir tam sayı çıkması için

$\sqrt{a}.b \sqrt{c}=b \sqrt{a.c}$

$a.c$ çarpımının bir tam kare olması gerekir.

 

Örneğin, $\sqrt{24}$ sayısını $\sqrt{6}$ ile çarparsak

$\sqrt{24}.\sqrt{6}=\sqrt{144}=\sqrt{12.12}=12$

bir tamsayı elde ederiz.

 

$\sqrt{6}$’nın tüm tam katları, çarpımda bir tam sayı elde etmemizi sağlar. Örneğin, $\sqrt{24}$'ü $2\sqrt{6}$, $3\sqrt{6}$, $4\sqrt{6}$ vs. ile çarparsak sonuçta bir tam sayı elde ederiz. Burada önemli olan çarptığımız sayının karekök içerisindeki değeridir.

$\sqrt{6}$ dışında, $\sqrt{24}$’ü $\sqrt{24}$, $\sqrt{54}$, $\sqrt{150}$ vs. gibi sayılarla da çarptığımızda kareköklü ifade içerisinde bir tam kare olacağından, sonuçta bir tam sayı buluruz.

 

KESİRLİ BİR SAYININ KAREKÖKÜ

Kesirli bir sayının karekökünü,

$\sqrt{{a \over b}}={\sqrt{a} \over \sqrt{b}}$

şeklinde ifade edebiliriz.

Örnek:

$\sqrt{{2 \over 3}}={\sqrt{2} \over \sqrt{3}}$

$\sqrt{{15 \over 5}}={\sqrt{15} \over \sqrt{5}}$

 

Benzer şekilde payında ve paydasında karekök olan kesirli bir sayıyı da tek bir kesirli ifadenin karekökü olarak da yazabiliriz.

Örnek:

${\sqrt{20} \over \sqrt{5}}=\sqrt{{20 \over 5}}=\sqrt{4}=2$

${\sqrt{70} \over \sqrt{11}}=\sqrt{{70 \over 11}}$

 

Bu özelliği kullanarak, pay ve paydadaki kareköklü sayıları direk sadeleştirebiliriz.

Örneğin, ${\sqrt{14} \over \sqrt{6}}$

ifadesinde hem pay hem de paydadaki karekök içerisindeki sayılar $2$’ye kalansız bölünür. Bu nedenle, bu iki sayıyı $2$ ile sadeleştirebiliriz.

${\sqrt{14} \over \sqrt{6}}={\sqrt{7} \over \sqrt{3}}$

 

KÖKLÜ SAYILARDA BÖLME

Eğer köklü bir ifadeyi başka bir köklü ifadeye bölüyorsak, çarpmada olduğu gibi, kök dışındaki sayıları kendi arasında ve kök içindeki sayıları kendi arasında böleriz.

Genel olarak, köklü sayıların bölümlerini

${a \sqrt{b} \over c \sqrt{d}}={a \over c}.{\sqrt{ b \over d}}$

ile ifade edebiliriz.

 

Örneğin,

${20 \sqrt{15} \over 4 \sqrt{5}}={20 \over 4}.{\sqrt{ 15 \over 5}}=5 \sqrt{3}$


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Aşağıda kenar uzunlukları verilen dikdörtgenlerden hangisinin alanı en büyüktür?

A) $\sqrt{7}$ cm, $3\sqrt{7}$ cm

B) $2\sqrt{2}$ cm, $8\sqrt{2}$ cm

C) $2\sqrt{5}$ cm, $3\sqrt{5}$ cm

D) $3\sqrt{3}$ cm, $4\sqrt{3}$ cm

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir.

A seçeneğindeki alan, $\sqrt{7}.3\sqrt{7}=3.\sqrt{7.7}=3.7=21$ cm 2

B seçeneğindeki alan, $2\sqrt{2}.8\sqrt{2}=2.8.\sqrt{2.2}=2.8.2=32$ cm 2

C seçeneğindeki alan, $2\sqrt{5}.3\sqrt{5}=2.3.\sqrt{5.5}=2.3.5=30$ cm 2

D seçeneğindeki alan, $3\sqrt{3}.4\sqrt{3}=3.4.\sqrt{3.3}=3.4.3=36$ cm 2

En büyük alan D seçeneğindedir. Cevap:D


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Uzunluğu $\sqrt{80}$ cm olan bir tel, $\sqrt{5}$ uzunluğunda eş parçalara ayrıldığında kaç parça elde edilir?

A) $4$

B) $8$

C) $16$

D) $20$

Çözüm:

${\sqrt{80} \over \sqrt{5}}=\sqrt{16}=\sqrt{4.4}=4$ Cevap:A


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi $\sqrt{5}$ ile bölündüğünde sonuç tam sayı olmaz?

A) $\sqrt{75}$

B) $\sqrt{80}$

C) $\sqrt{125}$

D) $\sqrt{180}$

Çözüm:

${\sqrt{75} \over \sqrt{5}}=\sqrt{15}$ bir tam sayı değildir. Cevap: A


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$a\sqrt{7}=\sqrt{63}$ olduğuna göre, $a$ sayısı kaçtır?

A) $-9$

B) $-3$

C) $3$

D) $9$

Çözüm:

$a\sqrt{7}=\sqrt{63}$ eşitliğinde her iki tarafı da $\sqrt{7}$'ye bölersek, sol tarafta sadece $a$ kalır. $a={\sqrt{63} \over \sqrt{7}}=\sqrt{9}=3$ Cevap:C


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$\sqrt{80}$ metre uzunluğundaki bir telin $\sqrt{20}$ metresi kullanılıyor.

Buna göre geriye telin kaçta kaçı kalmıştır?

A) ${3 \over 4}$ ’ü

B) ${1 \over 2}$ ’i

C) ${2 \over 5}$ ’si

D) ${1 \over 4}$ ’i

Çözüm:

${\sqrt{20} \over \sqrt{80}}=\sqrt{20 \over 80}=\sqrt{1 \over 4}={1 \over 2}$ olduğundan telin ${1 \over 2}$'si kullanılmış ve geriye ${1 \over 2}$'si kalmıştır. Cevap: B


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Alanı $24$ cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) $4\sqrt{2}$ cm ve $3\sqrt{2}$ cm

B) $4\sqrt{3}$ cm ve $2\sqrt{3}$ cm

C) $3\sqrt{8}$ cm ve $2\sqrt{8}$ cm

D) $4\sqrt{6}$ cm ve $\sqrt{6}$ cm

Çözüm:

Çarpımı $24$ olmayan seçeneği bulacağız.

A seçeneği, $4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=4.3\sqrt{2.2}=4.3.2=24$

B seçeneği, $4\sqrt{3}.2\sqrt{3}=4.2\sqrt{3.3}=4.2.3=24$

C seçeneği, $3\sqrt{8}.2\sqrt{8}=3.2\sqrt{8.8}=3.2.8=48$

A seçeneği, $4\sqrt{6}.\sqrt{6}=4\sqrt{6.6}=4.6=24$

Cevap C


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Alanı $\sqrt{32}$ cm2 olan dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğu 4 cm olduğuna göre diğer kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

A) $\sqrt{2}$

B) $\sqrt{8}$

C) $6$

D) $8$

Çözüm:

Alanı bir kenar uzunluğuna bölersek, diğer kenar uzunluğunu bulabiliriz. ${\sqrt{32} \over 4}={\sqrt{16.2} \over 4}={4\sqrt{2} \over 4}=\sqrt{2}$ Cevap:A


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Aşağıdaki çarpma işlemlerinden hangisinin sonucu bir tam sayı değildir?

A) $5\sqrt{12}.4\sqrt{3}$

B) $3\sqrt{6}.6\sqrt{2}$

C) $7\sqrt{5}.4\sqrt{5}$

D) $6\sqrt{27}.3\sqrt{3}$

Çözüm:

A) $5\sqrt{12}.4\sqrt{3}=20\sqrt{12.3}=20\sqrt{36}=20.6$

B) $3\sqrt{6}.6\sqrt{2}=18\sqrt{12}=18\sqrt{4.3}=18.2\sqrt{3}$

C) $7\sqrt{5}.4\sqrt{5}=28\sqrt{5.5}=28.5$

D) $6\sqrt{27}.3\sqrt{3}=18\sqrt{27.3}=18\sqrt{81}=18.9$

Seçenekler arasında sadece B tam sayı değildir.

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) $\sqrt{35}$, b) $60\sqrt{24}$, c) $10\sqrt{100}$, d) $0,1\sqrt{105}$, e) $35\sqrt{35}$