ÜSLÜ SAYILAR

DERS-4 KESİRLİ SAYILARIN KUVVETLERİ


Daha önce tam sayıların kuvvetlerinin nasıl alındığını öğrenmiştik. Şimdi ise kesirli sayılar için üs alma işlemini öğreneceğiz.

KESİRLİ SAYILARIN POZİTİF KUVVETLERİ

Kesirli bir sayı için (tam sayılarda olduğu gibi) üs değeri, bize bu kesirli sayının kaç kere çarpıldığını gösterir.

Örneğin,

$$\left({3 \over 7}\right)^2=\left({3 \over 7}\right).\left({3 \over 7}\right)$$

$$\left({2 \over 6}\right)^4=\left({2 \over 6}\right).\left({2 \over 6}\right).\left({2 \over 6}\right).\left({2 \over 6}\right)$$

$$\left({-7 \over 5}\right)^3=\left({-7 \over 5}\right).\left({-7 \over 5}\right).\left({-7 \over 5}\right)$$

Kesirli sayının kuvvetini, pay ve paydanın kuvveti şeklinde yazabiliriz.

$$\left({3 \over 7}\right)^2=\left({3 \over 7}\right).\left({3 \over 7}\right)={3.3 \over 7.7}={3^2 \over 7^2}$$

$$\left({-1 \over 4}\right)^3=\left({-1 \over 4}\right).\left({-1 \over 4}\right).\left({-1 \over 4}\right)={(-1)(-1)(-1)\over 4.4.4}={(-1)^3\over4^3}$$

Genel olarak, $a$, $b$ ve $n$ sayıları için

$$\left({a \over b}\right)^n={(a)^n\over(b)^n}$$

eşitliği doğrudur. Yalnız, ${a\over 0}$ tanımlı olmadığı için, bu eşitlikte $b$ sayısı $0$’a eşit olmamalıdır.

KESİRLİ SAYILARIN NEGATİF KUVVETLERİ

Kesirli Kuvvet

Kesirli bir sayının negatif bir kuvvetini almak için, payla paydanın yerini değişip, üs değerini pozitif hale getirebiliriz.

$$\left({3 \over 7}\right)^{-2}=\left({7 \over 3}\right)^{2}$$

$$\left({1 \over 6}\right)^{-3}=\left({6 \over 1}\right)^{3}$$

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki tekrarlı çarpımları üslü gösterime dönüştürelim.

a) ${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=.....$

b) ${\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}=.....$

c) ${\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}=.....$

d) ${\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}.{\left(-{1 \over 125}\right)}=.....$

CEVAPLAR


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

${4 \over 6}.{4 \over 6}.{4 \over 6}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)${ 4^3\over 6}$

B)${ 4\over 6^3}$

C)$\left({ 2\over 3} \right) ^3$

D)${ 2\over 3^3}$

Çözüm:

${4 \over 6}$ kesirinde hem pay hem de payda $2$'ye bölündüğü için, bu sayıları 2 ile sadeleştirebiliriz.

$${4 \over 6}.{4 \over 6}.{4 \over 6}={2 \over 3}.{2 \over 3}.{2 \over 3}$$

Bu durumda ${2 \over 3}$ sayısınının 3. kuvveti olan $\left({2 \over 3}\right)^3$ ifadesini elde ederiz. CEVAP C


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$(0,5)^4$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)${ 1\over 625}$

B)${ 1\over 16}$

C)$16$

D)$625$

Çözüm:

$0,5$ sayısını ${1 \over 2}$ şeklinde yazarsak, bizden istenilen sayıyı

$$(0,5)^4=\left({1 \over 2}\right)^4=\left({1 \over 2}\right).\left({1 \over 2}\right).\left({1 \over 2}\right).\left({1 \over 2}\right)={1 \over 16}$$

olarak buluruz. CEVAP B


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$(0,4)^a={16 \over 625}$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

A)$8$

B)$4$

C)$2$

D)$1$

Çözüm:

Eşitliğin sağ tarafındaki kesirde herhangi bir sadeleşme olmamaktadır. $0,4$ sayısını ${4 \over 10}={2 \over 5}$ şeklinde yazarsak, sol taraf

$$(0,4)^a=\left( {2 \over 5} \right)^a={2^a \over 5^a}$$

olmaktadır. Eşitliğin sol ve sağ taraflarını eşitlersek, $2^a=16$ ve $5^a=625$ olmalıdır. $2^4=16$ olduğu için $a=4$ buluruz. CEVAP: B

(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$(0,7).(0,7).(0,7)=(0,7)^a$ ve

${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=5^b$ olduğuna göre $a+b$ kaçtır?

A)$-3$

B)$-2$

C)$5$

D)$8$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$(0,7).(0,7).(0,7)=(0,7)^a$ olduğuna göre $a=3$'tür.

${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=\left({1 \over 5}\right)^5=5^{-5}$ olduğundan, $b=-5$'tir. Böylece, sonuç $a+b=3-5=-2$ çıkar. CEVAP:B


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazerete Sınav Sorusu)

$\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right)=\Box^{-3}$ eşitliğinde $\Box$ yerine hangisi yazılmalıdır?

A)$-7$

B)${-1\over 7} $

C)${1\over 7} $

D)$7$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$$\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right)=\left({-1 \over 7}\right)^3=\left({1 \over -7}\right)^3=\left(-7\right)^{-3}$$

olduğundan $\Box=-7$'dir. CEVAP:A

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a)$5^{-3}$, b)$(-8)^{-4}$ veya $8^{-4}$, c)$186^{-5}$, d)$(-125)^{-7}$