ÜSLÜ SAYILAR

DERS-3 TAM SAYILARIN NEGATİF KUVVETLERİ


Daha önceki derslerde pozitif ve negatif tamsayıların pozitif kuvvetlerini almayı öğrenmiştik. Bu derste ise, hem pozitif hem de negatif sayıların negatif kuvvetlerinin nasıl alındığını öğreneceğiz.

Negatif Kuvvet

Üslü gösterimdeki üs, tabanın kaç tanesinin birbiri ile çarpıldığını gösterir. Üslü bir sayıyı kendi tabanı ile çarparsak, çarpılan taban sayısını 1 arttırmış oluruz. Bu nedenle, üslü bir sayıyı kendi tabanı ile çarpmak, üssü 1 arttırmakla aynı şeydir. Örneğin, $5^2 \times 5=5^3$, $5^3 \times 5=5^4$

Benzer şekilde, eğer üslü bir sayıyı kendi tabanına bölersek, üs değerini 1 azaltmış oluruz. . Örneğin, ${5^3 \over 5}=5^2$ ve ${5^1 \over 5}=5^0$.

Eğer, bu sayıyı kendi tabanına bölmeye devam edersek, bir süre sonra üslü sayının üs kısmındaki sayı negatif olur. Örneğin, ${5^0 \over 5}=5^{-1}={1 \over 5}$ ve ${5^{-1} \over 5}=5^{-2}={1 \over 5^2}$ 'dir.

Genel olarak, $a$ ve $n$ gerçek sayıları için, $a$ sıfırdan farklıysa

$$a^{-n}={1\over a^n}$$

olur. Negatif ve pozitif tüm $a$ tam sayıları için bu kural geçerlidir.

Negatif Kuvvet

Şimdi, bu formülü $n$'nin farklı değerleri ve $a=2$ için deneyelim:

$$2^{-1}={1\over 2^1}={1 \over 2}$$

$$2^{-2}={1\over 2^2}={1 \over 4}$$

$$2^{-3}={1\over 2^3}={1 \over 8}$$

$$2^{-4}={1\over 2^4}={1 \over 16}$$

$$2^{-5}={1\over 2^5}={1 \over 32}$$

$$2^{-6}={1\over 2^6}={1 \over 64}$$

$$2^{-7}={1\over 2^7}={1 \over 128}$$

$$....$$

 

$-2$ için ise, aşağıdaki değerleri elde ederiz.

$$(-2)^{-1}={1\over (-2)^1}=-{1 \over 2}$$

$$(-2)^{-2}={1\over (-2)^2}={1 \over 4}$$

$$(-2)^{-3}={1\over (-2)^3}=-{1 \over 8}$$

$$(-2)^{-4}={1\over (-2)^4}={1 \over 16}$$

$$(-2)^{-5}={1\over (-2)^5}=-{1 \over 32}$$

$$(-2)^{-6}={1\over (-2)^6}={1 \over 64}$$

$$(-2)^{-7}={1\over (-2)^7}=-{1 \over 128}$$

$$...$$

$(5)^{-3}={1\over 5^3}={1 \over 125}$

$(6)^{-2}={1\over 6^2}={1 \over 36}$

$(-4)^{-3}={1\over (-4)^3}={1 \over -64}=-{1 \over 64}$

$(-3)^{-4}={1\over (-3)^4}={1 \over 81}$

$(-10)^{-4}={1\over (-10)^4}={1 \over 10\,000}$

Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir.

Örneğin, $(-3)^{-2}$'nin üssü bir çift sayıdır ve değeri pozitiftir. $(-3)^{-3}$'ün ise üssü tek sayıdır ve değeri negatiftir.

 

1’İN NEGATİF KUVVETLERİ

Herhangi bir $n$ doğal sayısı için

$$1^{-n}={1 \over 1^n}={1\over1}=1$$

olduğu için, $1$’in tüm negatif kuvvetleri $1$’e eşittir.

$1^{-3}={1\over 1^3}={1 \over 1}=1$

$1^{-8}={1\over 1^8}={1 \over 1}=1$

$1^{-2887}={1\over 1^{2887}}={1 \over 1}=1$

 

-1’İN NEGATİF KUVVETLERİ

$-1$ için, $n$ bir çift sayıysa

$$(-1)^{-n}={1 \over (-1)^n}={1 \over 1}=1$$

ve $n$ bir tek sayı ise,

$$(-1)^{-n}={1\over(-1)^n}={1\over -1}=-1$$

olur.

$(-1)^{-3}={1\over (-1)^3}={1 \over -1}=-1$

$(-1)^{-18}={1\over (-1)^{18}}={1 \over 1}=1$

$(-1)^{-719}={1\over (-1)^{719}}={1 \over -1}=-1$

$(-1)^{-3888}={1\over (-1)^{3888}}={1 \over 1}=1$

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki üslü gösterimlerin değerlerini bulalım.

a) $(-6)^{-2}=........$

b) $(-2)^{-3}=.......$

c) $5^{-1}=.......$

d) $10^{-2}=.......$

e) $(-1)^{-3}=.......$

f) $1^{-9999999999999}=.......$

g) $(-1)^{-8768765}=.......$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

${1 \over 1024}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$(-4)^5$

B)$5^{-4}$

C)$2^{-9}$

D)$4^{-5}$

Çözüm: Eğer $1024=4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$ eşitliğini görebiliyorsanız, bu soruyu bu derste anlatılan bilgilerle de çözebilirsiniz. $1024=4^5$ olduğundan, ${1 \over 1024}=4^{-5}$ yapar. Eğer bu eşitliği göremiyorsanız, $1024$'ü çarpanlarına ayırıp, sonraki derslerde anlatılan üslü sayılarla işlem yaparak da bu soruyu çözebilirsiniz.


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$-{1 \over 343}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$-(7)^{-3}$

B)$7^{-3}$

C)$-2^{-3}$

D)$7^{3}$

Çözüm: $343$'ü çarpanlarına ayırırsak, $343=7\times7\times7=7^3$ olduğunu buluruz.

${1 \over 343}$ ise, ${1 \over 7^3}=7^{-3}$'e eşittir. Eğer ifadenin başındaki - işaretini de koyarsak, cevap $-7^{-3}$ çıkar. CEVAP: A


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$2^{-2}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$-4$

B)$-{1 \over 4}$

C)${1 \over 4}$

D)$4$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$$2^{-2}=\left({1 \over 2}\right)^2=\left({1 \over 2}\right).\left({1 \over 2}\right)={1 \over 4}$$

sonucunu buluruz. CEVAP: C


Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) ${1 \over 36}$, b) ${-1 \over 8}$, c) ${1 \over 5}$, d) ${1 \over 100}$, e) ${-1}$, f) ${1}$, g) ${-1}$

Alıştırmalar 1'in Çözümleri