ÜSLÜ SAYILAR

DERS-3 TAM SAYILARIN NEGATİF KUVVETLERİ


Daha önceki derslerde pozitif ve negatif tamsayıların pozitif kuvvetlerini almayı öğrenmiştik. Bu derste ise, hem pozitif hem de negatif sayıların negatif kuvvetlerinin nasıl alındığını öğreneceğiz.

Negatif Kuvvet

Bir üslü sayıyı kendi tabanı ile çarparsak, üs değeri 1 artar.. Örneğin, $5^2.5=5^3$

Benzer şekilde, eğer üslü bir sayıyı kendi tabanına bölersek, üs değeri 1 azalır.. Örneğin, $5^3/5=5^2$ ve $5^1/5=5^0$.

Eğer, bu sayıyı kendi tabanına bölmeye devam edersek, negatif kuvvetler görmeye başlarız. Örneğin, $5^0/5=5^{-1}=1/5$ ve $5^{-1}/5=5^{-2}=1/5^2$ 'dir.

Genel olarak, $a$ ve $n$ doğal sayılar olmak üzere, $a$ sıfırdan farklıysa,

$$a^{-n}={1\over a^n}$$

olur. Negatif ve pozitif tüm $a$ tam sayıları için bu kural geçerlidir.

Şimdi, bu formülü $2$ için deneyelim:

$$2^{-1}={1\over 2^1}={1 \over 2}$$

$$2^{-2}={1\over 2^2}={1 \over 4}$$

$$2^{-3}={1\over 2^3}={1 \over 8}$$

$$....$$

$-2$ için ise, aşağıdaki değerleri elde ederiz.

$$(-2)^{-1}={1\over (-2)^1}=-{1 \over 2}$$

$$(-2)^{-2}={1\over (-2)^2}={1 \over 4}$$

$$(-2)^{-3}={1\over (-2)^3}=-{1 \over 8}$$

$$...$$

Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir.

Örneğin, $(-3)^{-2}$'nin kuvveti çift sayıdır ve bu üslü sayının değeri pozitif bir sayı olan ${1 \over 9}$'dur. $(-3)^{-3}$'ün ise kuvveti tek sayıdır ve değeri negatif bir sayıdır: ${-1\over27}$

1’İN VE -1’İN NEGATİF KUVVETLERİ

Herhangi bir $n$ doğal sayısı için

$$1^{-n}={1 \over 1^n}={1\over1}=1$$

olduğu için, $1$’in tüm negatif kuvvetleri $1$’e eşittir.

$-1$ için, $n$ bir çift sayıysa

$$(-1)^{-n}={1 \over (-1)^n}={1 \over 1}=1$$

ve eğer $n$ birtek sayı ise,

$$(-1)^{-n}={1\over(-1)^n}={1\over -1}=-1$$

olur.

Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz.

a) $(-6)^{-2}=$........

b) $(-2)^{-3}=$.......

c) $5^{-1}=$.......

d) $10^{-2}=$.......

e) $(-1)^{-3}=$.......

f) $1^{-9999999999999}=$.......

g) $(-1)^{-8768765}=$.......

Aşağıdaki tekrarlı çarpımları bir tam sayının üzeri şeklinde yazınız

a) ${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=$........

b) ${\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}.{\left(-1 \over 8\right)}=$.......

c) ${\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}.{\left(1 \over 186\right)}=$.......


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

${1 \over 1024}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$(-4)^5$

B)$5^{-4}$

C)$2^{-9}$

D)$4^{-5}$

Çözüm: Eğer 1024=4.4.4.4.4 olduğunu görebiliyorsanız, bu soruyu yukarıdaki bilgilerle de çözebilirsiniz. $1024=4^5$ olduğundan, ${1 \over 1024}=4^{-5}$ yapar. Eğer bu eşitliği göremiyorsanız, 1024'ü çarpanlarına ayırıp, sonraki derslerde anlatılan üslü sayılarla işlem yaparak da bu soruyu çözebilirsiniz.


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$-{1 \over 343}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$-(7)^{-3}$

B)$7^{-3}$

C)$-2^{-3}$

D)$7^{3}$

Çözüm: $343$'ü çarpanlarına ayırırsak, $343=7.7.7=7^3$ olduğunu buluruz.

${1 \over 343}$ ise, ${1 \over 7^3}=7^{-3}$'e eşittir. Eğer ifadenin başındaki - işaretini de koyarsak, cevap $-7^{-3}$ çıkar. CEVAP: A


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$2^{-2}$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$-4$

B)$-{1 \over 4}$

C)${1 \over 4}$

D)$4$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$$2^{-2}=\left({1 \over 2}\right)^2=\left({1 \over 2}\right).\left({1 \over 2}\right)={1 \over 4}$$

olduğunu buluruz. CEVAP: C


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$(0,7).(0,7).(0,7)=(0,7)^a$ ve

${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=5^b$ olduğuna göre $a+b$ kaçtır?

A)$-3$

B)$-2$

C)$5$

D)$8$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$(0,7).(0,7).(0,7)=(0,7)^a$ olduğuna göre $a=3$'tür.

${1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}.{1 \over 5}=\left({1 \over 5}\right)^5=5^{-5}$ olduğundan, $b=-5$ olur. Böylece, sonuç $a+b=3-5=-2$ çıkar. CEVAP:B


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazerete Sınav Sorusu)

$\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right)=\Box^{-3}$ eşitliğinde $\Box$ yerine hangisi yazılmalıdır?

A)$-7$

B)${-1\over 7} $

C)${1\over 7} $

D)$7$

Çözüm: Bu konuda öğrendiğimiz bilgilere göre,

$$\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right).\left({-1 \over 7}\right)=\left({-1 \over 7}\right)^3=\left({1 \over -7}\right)^3=\left(-7\right)^{-3}$$

olduğundan $\Box=-7$'dir. CEVAP:A

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırma-1

a) ${1 \over 36}$, b) ${-1 \over 8}$, c) ${1 \over 5}$, d) ${1 \over 100}$, e) ${-1}$, f) ${1}$, g) ${-1}$

Alıştırma-2

a)$5^{-3}$, b)$(-8)^{-4}$ veya $8^{-4}$, c)$186^{-5}$