ÜSLÜ SAYILAR

DERS-2 NEGATİF TAM SAYILARIN KUVVETLERİ (ÜSLERİ)


Bir önceki derste pozitif tam sayılar için tanımladığımız üslü gösterimi, negatif tam sayılar için de tanımlayabiliriz.

NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Negatif bir tam sayı bir kaç defa kendisiyle çarpılıyorsa, üslü gösterimde bu sayıyı tabana, kaç kere çarpıldığını ise üsse yazarız.

$-3$'ün kendisi ile çarpımı, $-3$’ün $2.$ kuvvetine eşittir.

$(-3) \times (-3)=(-3)^2$

$5$ tane $-12$'nin çarpımı, $-12$’nin $5.$ kuvvetine eşittir.

$(-12) \times (-12) \times (-12) \times (-12) \times (-12)=(-12)^5$

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki çarpımları üslü gösterime dönüştürelim.

a) $(-2) \times (-2) \times (-2)=.....$

b) $(-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7)=.....$

c) $(-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5)=.....$

d) $(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)=.....$

e) $(-295) \times (-295) =.....$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

NEGATİF TAM SAYININ 1'İNCİ KUVVETİ

Pozitif tam sayılarda olduğu gibi, negatif bir tam sayının da 1’inci kuvveti kendisine eşittir.

$(-5)^1=-5$

$(-7)^1=-7$

$(-236)^1=-236$

$(-1)^1=-1$

$(-56\,987)^1=-56\,987$

NEGATİF TAM SAYININ 0’INCI KUVVETİ


Tüm negatif tam sayıların 0’ıncı kuvveti 1’e eşittir.

$(-234)^0=1$

$(-76567)^0=1$

$(-2)^0=1$

$(-1)^0=1$

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki üslü gösterimlerin değerlerini bulalım.

a) $(-200)^1=.....$

b) $(-200)^0=.....$

c) $(-1)^1=.....$

d) $(-1)^0=.....$

e) $(-111)^1=.....$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

PARANTEZ ve EKSİ İŞARETİ


Negatif tam sayıların üslerini alırken paranteze çok dikkat etmemiz gerekir.

Negatif bir sayının üssünü almak istiyorsak, negatif sayıyı parantez içine yazmamız gerekir. Örneğin $-3$'ün $2.$ kuvvetini almak istiyorsak, bu kuvveti $-3$'ün değil, $(-3)$'ün üzerine koymamız gerekir.

$(-3)^2=(-3) \times (-3)=9$

Eğer parantez olmazsa, üs alma işlemi sayının başındaki eksi işaretini kapsamaz. Örneğin, $-3^2$, $-3$'ün karesini değil, $3$'ün karesinin negatifini ifade eder.

$-3^2=-3\times3=-9$

Eksi işaretini parantez içerisinde alıyorsak, bu gösterimin açılımdaki tüm çarpımlarda bu işareti kullanmamız gerekir. Parantez dışındaki eksi işareti ise, bir defalığına tüm çarpımın başına konur.

$(-2)^4=(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)=16$

$-2^4=-2 \times 2 \times 2 \times 2=-16$

$(-5)^3=(-5) \times (-5) \times (-5)=-125$

$-5^3=-5 \times 5 \times 5=-125$

$(-2)^5=(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)=-32$

$-2^5=-2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=-32$

İki eksi işaretinin çarpımı artıya eşittir. Bu gerçeği kullanarak aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.

  • Bir çarpımdaki eksi işaretlerinin sayısı çift ise, bu eksiler birbirini yok edeceğinden sonuç pozitif çıkar.
  • Çarpımdaki eksi işaretlerinin sayısının tek olması durumunda bu eksi işaretlerinde biri hariç tümü birbirini yok edeceğinden sonuç negatif çıkar.

Bu nedenle, kuvvete yazılan tam sayının bir tek sayı olması durumunda, eksi işaretinin parantez içerisinde veya dışarısında olması sonucu değiştirmez.

Yukarıdaki örnekte $(-5)^3$ ile $-5^3$'ün; $(-2)^5$ ile $-2^5$'in sonuçlarının aynı olduğuna dikkat edelim.

Parantezin içerisinde pozitif bir sayı varsa, parantezin olup olmaması sonucu değiştirmez.

$(2)^3=2^3=2 \times 2 \times 2=8$

$(2)^2=2^2=2 \times 2=4$

Parantezin hem için de hem de dışında eksi işareti olabilir. Bu durumda parantez içerisindeki sayıyı kuvveti kadar kendisiyle çarpıp, sonucu da -1 ile çarparız. Böyle bir çarpımda çarpılan eksi işaretlerinin sayısı kuvvetin $1$ fazlasına eşittir.

$-(-2)^3=-(-2) \times (-2) \times (-2)=8$

$-(-2)^2=-(-2) \times (-2)=-4$

Alıştırmalar-3

Aşağıdaki çarpımların değerlerini bulalım.

a) $-(4)^2 \times (-2)^1=.....$

b) $(-2)^3 \times 2^2=.....$

c) $-(-3)^3 \times (-1)^3=.....$

d) $-(-1)^2 \times (2)^2=.....$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

-1’İN KUVVETLERİ


$-1$'in tam sayı kuvvetlerini alırken, kuvvet kadar $-1$'i birbiri ile çarparız. Çarpım sayısından bağımsız olarak, $1$'lerin çarpımı yine $1$'e eşit olduğundan, $-1$'in tam sayı kuvvetleri ya $1$'e ya da $-1$'e eşittir. Hangi sonucun çıkacağı üssün tek mi çift mi olduğuna bağlıdır.

Aşağıdaki üslü işlemleri inceleyelim:

$(-1)^1=-1$

$(-1)^2=(-1)(-1)=1$

$(-1)^3=(-1)(-1)(-1)=-1$

$(-1)^4=(-1)(-1)(-1)(-1)=1$

$(-1)^5=(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=-1$

$.....$

Görüldüğü gibi,

  • $-1$’in çift olan kuvvetleri $1$’e eşittir.
  • $-1$’in tek olan kuvvetleri $-1$’e eşittir.

Sonucu, sadece $-1$'in kuvvetinin tek mi çift mi olduğuna bakarak söyleyebiliriz.

Alıştırmalar-4

Aşağıdaki üslü gösterimlerin değerlerini bulalım.

a) $(-1)^{18}=.....$

b) $(-1)^{181}=.....$

c) $(-1)^{2518}=.....$

d) $(-1)^{3333333}=.....$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

Alıştırmaların Cevapları


Alıştırmalar-1

a) $(-2)^3$, b) $(-7)^6$, c) $(-5)^4$, d) $(-1)^6$, e) $(-295)^2$

Alıştırmalar 1'in Çözümleri

Alıştırmalar-2

a) $-200$, b) $1$, c) $-1$, d) $1$, e) $-111$

Alıştırmalar 2'in Çözümleri

Alıştırmalar-3

a)$32$, b)$-32$, c)$-27$, d)$-4$

Alıştırmalar 3'ün Çözümleri

Alıştırmalar-4

a)$1$, b)$-1$, c)$1$, d)$-1$

Alıştırmalar 4'ün Çözümleri