KAREKÖKLÜ SAYILAR

DERS-2 RASYONEL VE İRRASYONEL SAYILAR


RASYONEL SAYILAR

$a$ ve $b$ tam sayı olmak üzere ${a \over b}$ halinde yazılabilen sayılara, rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi $Q$ ile gösterilir.

Tanımda "yazılan" yerine "yazılabilen" kelimesini özellikle kullandık. Karşınıza çıkan sayı ${a \over b}$ biçiminde yazılmasa da, rasyonel olabilir. Önemli olan bu şekilde yazılıp yazılamamasıdır. Örneğin, $3$ sayısı bu biçimde değil, ama $3$’ü ${3 \over 1}$ şeklinde yazabildiğimiz için, $3$ bir rasyonel sayıdır.

 

HANGİ SAYILAR RASYONELDİR?

 

A) PAY VE PAYDASINDA TAM SAYI OLAN KESİRLİ SAYILAR

${6\over8}$, ${25\over98}$ gibi sayılar, tanıma direk uyduğu için rasyoneldir.

 

B) ONDALIKLI SAYILAR

Sonlu sayıda (Ör, $3$, $7$, $76876$ adet) rakamla ifade edilebilen tüm ondalıklı sayılar rasyoneldir. Örneğin, $0,256$ sayısı ${256 \over 1000}$ biçiminde yazılabilir. Bu nedenle rasyoneldir.

 

C) TAMSAYILAR( VE DOLAYISIYLA DOĞAL SAYILAR)

Negatif veya Pozitif tüm tam sayılar rasyoneldir. (Örneğin $-5$, ${-5\over1}$ şeklinde yazılabildiği için rasyoneldir.) Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini kapsar.

Rasyonel sayılar, tam sayılar ve doğal sayılar kümeleri arasındaki ilişki, aşağıda gösterilmiştir.

 

D) DEVİRLİ SAYILAR

Devirli sayıların tamamı rasyoneldir.

Devirli bir sayıyı, aşağıdaki formülü kullanarak ${a \over b}$ biçiminde yazabiliriz.

$${\text{Sayının tamamı}-\text{Devretmeyen kısım} \over \text{Virgülden sonra devreden sayı kadar 9 ve Devretmeyen sayı kadar 0}}$$

Örnekler:

  • $3, 1\overline{85}={3185-31\over990}={3154 \over 990}$
  • $45,\overline{12}={4512-45\over99}={4467 \over 99}$
  • $0,\overline{3}={03-0\over9}={1 \over 3}$
 

Aşağıdaki sayılar rasyoneldir.

Örnekler:

  • ${7 \over 2}$
  • ${1 \over 8}$
  • ${47643758345847\over7493793874837}$
  • ${0,378643}$
  • ${8473,843784}$
  • $-3$
  • $452.10^9$
  • $3456.10^{-8}$
  • $75,\overline{86}$
  • $63,7\overline{21}$
 

İRRASYONEL SAYILAR

$a$ ve $b$ tamsayı olmak üzere, hiç bir şekilde ${a \over b}$ biçiminde yazılmayan sayılara irrasyonel sayı denir.

Gerçek sayılar kümesindeki tüm sayılar ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. İkisi birden olamaz. Rasyonel olmayan bir sayıya irrasyonel, irrasyonel olmayan bir sayıya rasyonel diyebiliriz.

 

HANGİ SAYILAR İRRASYONELDİR?

$\pi$ sayısı ve $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ gibi tamkare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir.

Ayrıca, irrasyonel bir sayıyı,

  • rasyonel bir sayıya bölmemiz,
  • rasyonel bir sayıyla çarpmamız,
  • rasyonel bir sayıyla toplamamız/çıkarmamız

sonucunda, irrasyonel bir sayı elde ederiz.

Örneğin, $\sqrt{2}$ irrasyonel olduğundan,

  • ${\sqrt{2} \over 2}$,
  • $\sqrt{2}-2$,
  • $2\sqrt{2}$,
  • $\sqrt{2}+2$

sayıları irrasyoneldir.

Bazı ders kitaplarında, test kitaplarında ve internet sitelerinde irrasyonel bir sayıyı anlamak için, hesap makinesinde bu sayıyı yazıp, eğer ondalık kısmı devirli değilse, irrasyoneldir gibi YANLIŞ bilgiler bulunmaktadır. Bir sayının irrasyonel olup olmadığı, bu şekilde anlaşılmaz. Bir sayının ondalıklı kısmı, hesap makinasında devirli görünmüyorsa bu sayıya irrasyonel diyemeyiz. Ayrıca, irrasyonel bir sayının son haneleri hesap makinesinde aynı görünebilir. Son haneleri hesap makinasında tekrar eden sayılara da rasyonel diyemeyiz. Bir sayının irrasyonel olduğunun ispatı ortaokul müfredatını aşan bir konudur.

Sınavda sayılar açık şekilde verilmeyebilir. Sayının rasyonel olup olmadığını anlamanız için işlem yapmanız gerekebilir. Örneğin, ${\sqrt{72}\over \sqrt{2}}$ sayısında hem pay hem de payda irrasyonel olduğu halde, sayının kendisi $6$’ya eşit olduğu için rasyoneldir.


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2015-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?

A) $\sqrt{28}$

B) $0, \overline{3}$

C) $\sqrt{4}$

D) ${-7 \over 25}$

Çözüm:

B şıkkı devirli bir sayı olduğundan rasyoneldir

C şıkkı $2$’ye eşittir. Tamsayılar rasyoneldir.

D şıkkı direk ${a \over b}$ biçiminde olduğundan rasyoneldir.

Rasyonel olmayan (irrasyonel olan) tek sayı A şıkkındadır.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Q rasyonel sayılar kümesini

Z tam sayılar kümesini

I irrasyonel sayılar kümesini ve

N doğal sayılar kümesini göstermektedir.

Bu kümelerden hangi ikisinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur?

A) Q ve I

B) I ve Z

C) Z ve Q

D) I ve N

Çözüm:

Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi gerçek sayılar kümesini verir. Cevap:A


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$\sqrt{64}$ sayısı aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinin elemanı değildir?

A) Tam sayılar Kümesi

B) İrrasyonel Sayılar Kümesi

C) Rasyonel Sayılar Kümesi

D) Doğal Sayılar Kümesi

Çözüm:

$\sqrt{64}=8$ olduğu için hem tam sayı, hem doğal sayı hem de rasyonel sayıdır. Rasyonel bir sayı olduğundan irrasyonel değildir. CEVAP:B