8. SINIF MATEMATİK-KAREKÖKLÜ SAYILAR

KONU 24-RASYONEL VE İRRASYONEL SAYILAR

BÖLÜM 2-İRRASYONEL SAYILAR


 
 

... ve ... tam sayı olmak üzere, ... biçiminde YAZILAMAYAN sayılara irrasyonel sayı denir.

 

Gerçek sayılar kümesindeki tüm sayılar ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. İkisi birden olamaz. Rasyonel olmayan bir sayıya irrasyonel, irrasyonel olmayan bir sayıya rasyonel diyebiliriz.

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
 
 

HANGİ SAYILAR İRRASYONELDİR?

... sayısı irrasyoneldir.

..., ... gibi tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir.

0,144 gibi en alt basamağı 0'dan farklı olan bir ondalık gösterimin karekökünün irrasyonel olabilmesi için

  • Virgülü attığımızda ortaya çıkan tam sayının tam kare OLMAMASI veya
  • Virgülün sağında tek sayıda rakam olması

gerekir.

  • ...

    Ondalık gösterimin virgülünü attığımızda bir tam kare sayı olan 16’yı elde ettiğimiz halde, virgülün sağında tek sayıda rakam olduğu için bu sayı irrasyoneldir.

  • ...

    Virgülün sağında çift sayıda rakam olduğu halde, 24 tam kare olmadığı için sonuç irrasyoneldir.

  • ...

    Virgülün sağında tek sayıda rakam olduğu ve 3 tam kare olmadığı için sonuç irrasyoneldir.

rasyonel ve irrasyonel arası işlemler

0'la çarpma veya bölme yapmadığımız sürece, bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayı arasında yaptığımız dört işlemin sonucu irrasyonel çıkar.

 
 

Rasyonel bir sayı olan 2 ile irrasyonel bir sayı olan ... arasında yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu irrasyonel çıkar. Aşağıdakilerin tümü irrasyoneldir.

a) ..., b) ..., c) ..., d) ..., e) ..., f) ...

 

Bazı ders kitaplarında, test kitaplarında ve internet sitelerinde bir sayının irrasyonel olup olmadığını anlamak için sayının değerini hesap makinesinde hesaplatıp, çıkan sonucun devirli olup olmadığına bakılması önerilmektedir. Yalnız hesap makinaları ondalık kısımdaki tüm basamakları gösteremeyeceği için ondalık kısmın devirli olup olmadığını bu yöntemle anlayamayız. Örneğin, 1'i 17'ye böldüğümüze elde edeceğimiz ondalık gösterimin devirli kısmı 16 hanelidir. Yalnız hesap makinasında bu bölme işlemini yaptığımızda, karşımıza tekrarları görebileceğimiz kadar fazla basamak çıkmaz. Ayrıca bir sayının ilk 8 veya 10 hanesindeki tekrarlar, ondalık kısmının bu şekilde gideceğini de garanti etmez. Örneğin 11,11'in karekökünün ilk 9 basamağı 3,33316666 olsa da, sonraki basamaklar 6-6-6 şeklinde devam etmez. Bir sayının irrasyonel olup olmadığını anlamak için ya bu konudakine benzer bazı temel çıkarımları kullanmalı ya da ortaokul müfredatını aşan matematiksel ispatlar yapmamız gerekir. Müfredatta olmasa da, incelemek isterseniz ...'nin neden irrasyonel olduğunun ispatına bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

 
irrasyonel sayılar arası işlemler

İki irrasyonel sayı arasında yaptığımız çarpma, bölme, toplama veya çıkarma işlemi sonucunda rasyonel sayı da elde edebiliriz, irrasyonel sayı da. Sonucun rasyonel olup olmadığını anlamak için işlem yapmamız gerekebilir. Örneğin, ... sayısında hem pay hem de payda irrasyonel olduğu halde, 6’ya eşit olduğu için rasyoneldir. Fakat, ... ifadesi irrasyoneldir.

Aşağıdaki sayılardan hangilerinin rasyonel ve hangilerinin irrasyonel olduğunu bulalım.

a) ...,   b) ...,   c) ...,   d) ...,   e) ...,   f) ...,   g) ...,   h) ...,   i) ...,   j) ...,   k) ...,   l) ...

CEVAPLAR

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) İrrasyonel, b) İrrasyonel, c) Rasyonel, d) İrrasyonel, e) İrrasyonel, f) Rasyonel, g) Rasyonel, h) İrrasyonel, i) Rasyonel, j) Rasyonel, k) İrrasyonel, l) İrrasyonel