TEOG HAZIRLIK-DENKLEM SİSTEMLERİ

DERS 3: YOK ETME YÖNTEMİ


Yok etme yönteminde denklemlerin iki özelliğini kullanıyoruz:

  1. Bir denklemdeki tüm terimleri gerçek bir sayı ile çarptığımızda eşitlik değişmez.
  2. İki denklemi taraf tarafa toplayabiliriz.
 

Denklemi sabit bir sayı ile çarpma

Bir denklemin eşitliğin solundaki ve sağındaki tüm elemanları aynı sabit sayı ile çarparsak, eşitlik değişmez.

 

Örnek:

$2x+y=5$

denkleminin tüm terimlerini $2$ le çarparsak,

$4x+2y=10$

denklemini elde ederiz. Bu iki denklem arasında hiç bir fark yoktur.

 

Çarptığımız sabit sayı pozitif veya negatif olabilir.

Örneğin, aynı denklemi $-1$ ile çarparsak,

$-2x-y=-5$

denklemini elde ederiz. Bu denklemin de ilkinden bir farkı yoktur.

 

Denklemleri taraf tarafa toplama

İki denklemin

  • sol taraftaki terimlerini toplayıp, eşitliğin soluna ve
  • sağ taraftaki terimlerini toplayıp, eşitliğin sağına

yazarak yeni bir denklem elde edebiliriz.

 

Örnek:

$x+y=5$

$2x+3y=10$

denklemlerini taraf tarafa toplayalım. Eşitliklerin son tarafındaki terimleri toplarsak $3x+4y$ elde ederiz. Denklemin sağ taraflarını toplarsak, $15$ buluruz. Böylece,

$3x+4y=15$

denklemini elde ederiz.

 

Eğer taraf tarafa topladığımız denklemlerde değişkenlerden birinin katsayıları toplamı sıfırsa, toplama sonucu tek değişkenli bir denklem elde ederiz.

 

Örnek:

$x+y=5$

$2x-y=4$

denklemlerini taraf tarafa toplarsak, ilk denklemdeki $+y$ ile ikinci denklemdeki $-y$ birbirini götürecektir. Böylece toplama sonucunda

$3x=9$

denklemini elde ederiz. Bu noktadan sonra ise çözüm oldukça kolaydır. $x=3$ olduğundan, ilk denklemde bu sonucu yerine koyarsak, $y=2$ olduğunu buluruz.

 

YOK ETME YÖNTEMİ

Yoketme yönteminde sırasıyla şu adımları takip edebiliriz:

  1. Yokedeceğimiz değişkeni seçiyoruz: $x$ veya $y$
  2. Denklemleri sabit sayı ile çarpıyoruz: Seçtiğimiz değişkenin katsayılarının toplamı sıfır olacak şekilde, denklemlerden birini veya ikisini sabit sayı ile çarpıyoruz.
  3. Denklemleri taraf tarafa toplayıp, tek değişkenli bir denklem elde ediyoruz.
  4. Tek değişkenli denklemi çözüp, değişkenlerden birinin değerini buluyoruz.
  5. Bulduğumuz değeri denklemlerden birinde yerine koyup, diğer değişkenin değerini de buluyoruz.
 

Örnek 1:

$3x+y=11$

$2x+3y=12$

Bu denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak çözeceğiz.

 
  1. Denklem sisteminde $y$'leri yokedelim.

  2. Taraf tarafa toplama da $y$’lerin birbirini götürmesi için, ilk denklemi $-3$ ile çarpabiliriz. Bu işlemi yaparsak, karşımıza

    $-9x-3y=-33$

    $2x+3y=12$

    denklemleri çıkar.

  3. Bu denklemleri taraf tarafa toplarsak $-3y$ ile $+3y$ birbirini götürür ve

    $-7x=-21$

    tek bilinmeyenli denklemini elde ederiz.

  4. $-7x=-21$ denkleminin çözümü $x=3$'tür.

  5. Bu sonucu ilk denklemde yerine yazarsak,

    $3.3+y=11$

    $\Rightarrow y=2$

    olduğunu buluruz. Böylece denklemin çözümünün $(x, y)=(3, 2)$ olduğunu görürüz.

 

Örnek 2:

Şimdi, 1. örnekteki denklem sistemini, $x$’leri yok ederek çözeceğiz.

$3x+y=11$

$2x+3y=12$

 
  1. Bu defa $x$'leri yok ediyoruz.

  2. İlk denklemi $-2/3$ ile çarparsak,

    $-2x-{2y \over 3}=-{22 \over 3}$

    denklemini elde ederiz.

  3. Bu denklem ile ikinci denklemi toplarsak, $-2x$ ve $2x$ birbirini götürür ve karşımıza aşağıdaki denklem çıkar.

    $3y-{2y \over 3}=12-{22 \over 3}$

  4. Bu denklemi, $y$ için çözersek,

    $\Rightarrow {7y \over 3}={14 \over 3}$

    $\Rightarrow y=2$

    buluruz.

  5. $y$’nin $2$’ye eşit olduğunu bulduktan sonra, bu değeri ilk denklemde yerine yazıp,

    $3x+2=11$

    $\Rightarrow 3x=9$

    $\Rightarrow x=3$

    sonucunu buluruz.

 

Örnek 3:

Bu örnekte de, aynı denklem sistemi için $x$’leri yok ederek çözeceğiz. Fkat bu defa, daha az kesirli sayıyla uğraşmak için hem birinci hem de ikinci denklemi farklı sabit sayılarla çarpacağız.

$3x+y=11$

$2x+3y=12$

 
  1. Bu çözüm için de $x$'leri yok ediyoruz.

  2. İlk denklemi $-2$ ile ve ikinci denklemi $3$ ile çarparsak,

    $-6x-2y=-22$

    $6x+9y=36$

    denklemlerini elde ederiz.

  3. Bu denklemleri taraf tarafa topladığımızda $-6x$ ile $6x$ birbirini götürür ve

    $-2y+9y=-22+36$

    çıkar.

  4. Bu denklemi $y$ için çözersek,

    $\Rightarrow 7y=14$

    $\Rightarrow y=2$

    olduğunu buluruz.

  5. $y=2$ sonucunu denklemlerden birine yerleştirirsek, $x=3$ olduğunu buluruz.

 

Örnek 4:

Bu defa farklı bir denklem sistemini çözüyoruz.

$x+2y=5$

$3x+y=6$

 
  1. Bu denklem sisteminin çözümü için $x$'leri yok edeceğiz.

  2. $x$’leri yok etmek için ilk denklemi $-3$ ile çarpalım. Bu işlemi yaptığımızda, denklem sistemi

    $-3x-6y=-15$

    $3x+y=6$

    haline dönüşür.

  3. Eğer bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak, $-3x$ ile $3x$ birbirini götürecek ve

    $-5y=-9$

    çıkacaktır.

  4. $y$ için bu denklemi çözersek,

    $y={9 \over 5}$

    sonucunu buluruz.

  5. $y$’nin bu değerini ikinci denklemde yerine koyduğumuzda,

    $3x+{9 \over 5}=6$

    $\Rightarrow 3x={21 \over 5}$

    $\Rightarrow x={7 \over 5}$

    sonucunu buluruz. Böylece denklem sisteminin çözümünün $(x, y)=({7 \over 5}, {9 \over 5})$ olduğunu görürüz.

 

Örnek 5:

$-x+5y=12$

$3x-2y=4$

 
  1. Bu denklem sisteminde de $x$'leri yok edeceğiz.

  2. Bu denklem sisteminde $x$’lerin birbirine götürmesi için, ilk denklemi $3$ ile çarparsak

    $-3x+15y=36$

    denklemini elde ederiz.

  3. Denklemleri taraf tarafa toplarsak, $-3x$ ile $3x$ birbirini götürür ve

    $13y=40$

    çıkar.

  4. Denklemi $y$ için çözersek,

    $y={40 \over 13}$

    olduğunu buluruz.

  5. Bu sonucu ilk denklemde yerine koyarsak,

    $-x+{200 \over 13}=12$

    $\Rightarrow x={200 \over 13}-12={44 \over 13}$

    çıkar böylece denklem sisteminin çözümü $(x, y)=({44 \over 13}, {40 \over 13})$ çıkar.

 

Örnek 6:

${3x \over 2}+{y \over 2}={5 \over 4}$

${2x \over 3}+{y \over 3}={11 \over 18}$

 
  1. Denklem sistemini çözebilmek için $x$'leri yok edeceğiz.

  2. Bu denklem sisteminde $x$’leri yok etmek için ilk denklemi $-{4 \over 9}$ ile çarpabiliriz. Bu durumda denklemler

    $-{2x \over 3}-{2y \over 9}=-{5 \over 9}$

    ${2x \over 3}+{y \over 3}={11 \over 18}$

    haline dönüşür.

  3. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak,

    $-{2y \over 9}+{y \over 3}=-{5 \over 9}+{11 \over 18}$

    denklemini elde ederiz.

  4. Bu denklemin çözümü $y$ için

    ${y \over 9}={1 \over 18}$

    $\Rightarrow y={1 \over 2}$

    çıkar.

  5. $y$’nin değerini ilk denklemde yerine yazarsak,

    ${3x \over 2}+{1 \over 4}={5 \over 4}$

    $\Rightarrow {3x \over 2}=1$

    $\Rightarrow x={2 \over 3}$

    çıkar. Böylece çözümü $(x, y)=({2 \over 3}, {1 \over 2})$ olarak buluruz.