KAREKÖKLÜ SAYILAR

DERS-1 TAM KARE SAYILAR VE KAREKÖK


Bir tam sayının kendisi ile çarpımından elde edilen sayıya, tam kare sayı denir. $a$ bir tam sayı ise, $a^2$ tam kare bir sayıdır.

Örneğin,

  • $0^2=0$
  • $1^2=1$
  • $3^2=9$
  • $(-7)^2=49$

tam kare sayılardır.

Bir kenar uzunluğu tam sayı olan bir karenin alanı, tam kare olan bir sayıya eşittir.

Bir tam sayının kendisi ile çarpımına eşit olmayan sayılar tam kare değildir. Örneğin, 3, 12, 18 sayıları herhangi bir tam sayının kendisi ile çarpımına eşit değildir. Bu nedenle 3, 12 ve 18 tam kare değildir.

Tam kare sayılar, doğal sayılar kümesindedir (0, 1, 2, 3..).

Tam kare sayılar negatif olamaz. En küçük tam kare sayı 0’dır.

Aşağıda 0 ile 1000 arasındaki tam kare sayıların listesini bulabilirsiniz.

 
$0^2=0$ $1^2=1$ $2^2=4$ $3^2=9$
$4^2=16$ $5^2=25$ $6^2=36$ $7^2=49$
$8^2=64$ $9^2=81$ $10^2=100$ $11^2=121$
$12^2=144$ $13^2=169$ $14^2=196$ $15^2=225$
$16^2=256$ $17^2=289$ $18^2=324$ $19^2=361$
$20^2=400$ $21^2=441$ $22^2=484$ $23^2=529$
$24^2=576$ $25^2=625$ $26^2=676$ $27^2=729$
$28^2=784$ $29^2=841$ $30^2=900$ $31^2=961$
 

İki tam kare sayının çarpımı tam kare bir sayıdır. Örneğin, $4\times 9=36$

Bir sayının tam kare olup olmadığını, bu sayıyı asal çarpanlarına ayırarak bulabilirsiniz. Eğer asal çarpanların üssü çiftse, bu sayı tam kare bir sayıdır. Örneğin, $36=2^2.3^2$

TAM KARE SAYILARIN KAREKÖKLERİ

Karekök işareti içerisindeki sayının, hangi sayının karesi olduğu bulmaya karekök alma ismi verilir. Karekök alma işlemi, kare alma işleminin tam tersidir. Karekök almak, alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak gibi de düşünülebilir.

$4$ sayısı $2$’nin karesi olduğu için, $\sqrt{4}=2$’dir,

$25$ sayısı $5$’in karesi olduğu için, $\sqrt{25}=5$’tir,

Aşağıda çeşitli tam kare sayıların karekökleri verilmiştir.

$\sqrt{0}=0$

$\sqrt{1}=1$

$\sqrt{4}=2$

$\sqrt{9}=3$

$\sqrt{16}=4$

$\sqrt{25}=5$

$\sqrt{36}=6$

...

Tam kare olmayan sayıların karekökleri bir tam sayıya eşit değildir.

Negatif bir sayının karekökü ($\sqrt{-3}$ vb.) gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir.

Karekök Pozitif mi Negatif mi?

Karekök işleminin sonucu negatif olmaz, sonuç ya 0'dır ya da pozitif bir sayıdır.

5’in karesi 5.5=25’tir. Ama aynı zamanda -5’in karesi de (-5)(-5)=25 yapar. Bu durumda karesi 25 olan iki sayımız oluyor: 5 ve -5.

Yalnız, karekök pozitif olarak tanımlanmıştır, bu nedenle \sqrt{25}=5’tir, -5’i gözardı edebilirsiniz.


BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

15 ile 75 arasında kaç tane tam kare sayı vardır?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

Çözüm:

15 ile 75 arasında 16, 25, 36, 49 ve 64 tam kare sayılar vardır. Cevap:C


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Babası Ali'ye ekim ayının yalnızca tam kare sayı olan günlerinde yirmişer lira harçlık vermiştir. Ali, ekim ayında toplam kaç lira harçlık almıştır?

A) 40

B) 60

C) 100

D) 120

Çözüm:

Ekim ayının günleri 1 ile 31 arasındadır. Bu sayılar arasındaki tam kare sayılar: 1, 4, 9, 16 ve 25'tir. Toplam 5 gün harçlık almıştır. Günde 20 lira aldığına göre, toplamda 100 lira almış olur.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

Birler basamağı 9 olan üç basamaklı kaç tane tam kare sayı vardır?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

Çözüm:

Tam kare en küçük sayı $10^2=100$ ve en büyük sayı $31^2=961$'dir. Dolayısıyla 10 ile 31 arasındaki tüm sayıların karesi üç basamaklı tam kare sayılardır. Ayrıca birler basamağı 3 ve 7 olan sayıların karelerinin birler basamağı 9 yapar. Bu nedenle, 13, 17, 23 ve 27 sayılarının kareleri bu şartlara uyar. Cevap 4.


(2015-2016 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

Aşağıdaki çarpma işlemlerinin hangisinin sonucu bir tam kare sayı değildir?

A) 12x48

B) 50x18

C) 24x54

D) 75x15

Çözüm:

Bu soruyu bir kaç farklı yoldan çözebilirsiniz. Örneğin, her bir şıkkı çarpanlarına ayırıp, tam kare olup olmadığını anlayabilirsiniz. Eğer asal çarpanlara ayrılmış bir biçiminde tüm asal çarpanların üssü çift sayıysa, bu çarpım bir tam kare sonuç verir.

A şıkkı: $12 \times 48= 2^2.3\times 3.2^4=2^6.3^2$ üsler çift olduğu için tam karedir.

B şıkkı: $50 \times 18= 2.5^2\times 2.3^2=2^2.3^2.5^2$ üsler çift olduğu için tam karedir.

C şıkkı: $24 \times 54= 2^3.3\times 2.3^3=2^4.3^4$ üsler çift olduğu için tam karedir.

D şıkkı: $75 \times 15= 3.5^2\times 3.5=3^6.5^3$ üslerin tümü çift olmadığı için tam kare değildir.