ÜÇGENLER

DERS 4 ÜÇGENİN KENAR UZUNLUKLARI VE AÇILARI


Bu derste, üçgenlerin kenar uzunlukları ile ilgili iki temel problemin çözümünü üzerinde duruyoruz.

  • İki kenar uzunluğu verilmiş bir üçgenin, üçüncü kenarının uzunluğunun ne olabileceği ve
  • Açıları verilmiş bir üçgenin, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi

buluyoruz.

 

A) KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Bir üçgenin bir kenar uzunluğu,

Diğer iki kenar uzunluğunun toplamından düşük ve

Diğer iki kenar uzunluğu farkından yüksektir.

Bu kurallar, tüm kenar uzunlukları için geçerlidir.

 

Örneğin, aşağıdaki üçgeni inceleyelim.

Örnek Üçgen

Bu üçgenin kenar uzunlukları 6, 7 ve 10’dur.

  • Uzunluğu 6 olan kenar, diğer ikisinin toplamından (7+10=17’den) küçük ve farkından (10-7=3’ten) büyüktür.
  • Uzunluğu 7 olan kenar, diğer ikisinin toplamından (6+10=16’dan) küçük ve farkından (10-6=4’ten) büyüktür.
  • Uzunluğu 10 olan kenar, diğer ikisinin toplamından (7+6=13’ten) küçük ve farkından (7-6=1’den) büyüktür.
 
a-b-c üçgeni

Matematiksel olarak gösterecek olursak, yukarıdaki üçgen için,

  • |b-c|<a<b+c
  • |a-c|<b<a+c
  • |a-b|<c<a+b

eşitsizlikleri doğrudur.

 

Üçgen Oluşturabilme

Yukarıdaki kurallara uyan uzunluklardan bir üçgen oluşturulabilir. Bu kurallara uymayan uzunluklardan ise, kesinlikle üçgen oluşturulamaz.

 

Örneğin, uzunlukları 4, 3 ve 10 olan üç doğru parçası olduğunu düşünelim. Bu uzunluklara baktığımızda 10<3+4 olduğu için yukarıdaki kurala uymadığını görüyoruz. Böylece, kenar uzunlukları 3, 4 ve 10 olan bir üçgenin olamayacağı sonucuna varırız.

Çizilemeyen Üçgen

Böyle bir üçgen oluşturmaya kalktığımızda, 4 ve 3 birimlik kenarların uçları birbirine yetişmediğinden, bir üçgen oluşmadığını görürüz.

 

Tüm kuralları kontrol etmeli miyiz?

Verilen uzunluklardan üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını anlayabilmek için, hem toplamlara hem de farklara bakmamıza gerek yoktur. Bunlardan sadece birini kontrol etmemiz yeterlidir. Örneğin, sadece

  • a<b+c
  • b<a+c
  • c<a+b

kurallarına uyulup uyulmadığına bakabiliriz. Eğer bu kurallara uyuluyorsa, verilen uzunluklardan üçgen oluşturulabilir, aksi taktirde oluşturulamaz.

 

Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

İki kenarı verilen bir üçgenin üçüncü kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları toplamı ile uzunlukları farkı arasında bir değerdir.

Toplam ve fark için bulduğumuz değerler, üçüncü kenarın alabileceği değerler arasında yer almaz.

 

Örneğin, iki kenarı 6 ve 8 olan bir üçgenin üçüncü kenarı 6+8=14 ile 8-6=2 arasındadır. Ayrıca, üçüncü kenar uzunluğu 14 veya 2 olamaz.

 

B) AÇILARA GÖRE UZUNLUKLAR

Bir üçgende, açılara bakarak hangi kenarın daha uzun olduğunu anlayabiliriz. Genel kuralımız şu şekilde:

Hangi açı daha büyükse, karşısındaki kenar uzunluğu daha yüksektir.

 

Örneğin, aşağıdaki üçgeni inceleyelim.

Üçgende Açı uzunluk İlişkisi

Bu üçgendeki açılar sırasıyla $m(\widehat{A})=50^{\circ}$, $m(\widehat{B})=60^{\circ}$ ve $m(\widehat{C})=70^{\circ}$’tir.

  • En yüksek açı $m(\widehat{C})$ olduğundan, en uzun kenar, bu açının karşısındaki AB kenarıdır.
  • En düşüş açı $m(\widehat{A})$ olduğundan, en kısa kenar, bu açının karşısındaki BC kenarıdır.
  • $m(\widehat{B})$ diğer iki açı arasında olduğu için, AC kenarının uzunluğu AB’den kısa ve BC’den uzundur.
 

Dik üçgenlerde, açılardan biri $90^{\circ}$ olduğu için, diğer iki açının toplamı da $90^{\circ}$ olmalıdır. Böylece, $90^{\circ}$'lik açı bu üçgendeki en büyük açıdır. Bu nedenle, dik üçgende en büyük kenar hipotenüstür.

BU KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 2. Dönem Mazeret Sınav Sorusu)

TEOG Çıkmış Soru 1

Şekildeki ABC dik üçgeninde $m(\widehat{ABC})=70^{\circ}$ ve $m(\widehat{CAB})=90^{\circ}$ dir. [AD], $\widehat{CAB}$’nın açıortayı olduğuna göre aşağıdaki doğru parçalarından hangisi en uzundur?

A) [AB]

B) [AC]

C) [AD]

D) [DC]

Çözüm:

Bu soruyu çözebilmek için önce tüm açıları bulmamız gerekir.

[AD] açıortay olduğuna göre, $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=45^{\circ}$ dir.

ABD üçgeninde iç açılar toplamı $180^{\circ}$ olduğu için, $\widehat{BDA}$ açısı $65^{\circ}$ olur.

ABC üçgeninde de iç açılar toplamını $180^{\circ}$'ye eşitlersek, $\widehat{BCA}$ açısının $20^{\circ}$ olduğunu görürüz.

Geriye son kalan açı $\widehat{ADC}$ ise $115^{\circ}$'dir.

TEOG Çıkmış Soru 1 Çözüm

Şimdi bu açılara bakarak, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulabiliriz.

ABD üçgenindeki en büyük açı, $\widehat{ABD}$ açısı olduğundan, [AB], [BD] ve [AD] doğru parçaları içindeki en büyük kenar [AD]’dir. Böylece, [AB]’yi seçeneklerden eleyebiliriz.

ADC üçgenindeki en büyük açı $\widehat{ADC}$ açısı olduğu için, bu üçgendeki en büyük kenar AC’dir. Böylece [AD], [DC] ve [AC] doğru parçaları içinde en uzun olan kenarın [AC] olduğunuz görürüz. Bu nedenle, cevap B’dir.


(2014-2015 TEOG 2. Dönem Mazeret Sınav Sorusu)

Bir çeşitkenar üçgenin kenarlarından ikisinin uzunlukları 6 cm ve 7 cm’dir.

Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

Çözüm:

Eğer üçgenin iki kenarı 6 ve 7 ise, üçüncü kenar bu iki kenarın toplamı (6+7=13) ile farkı (7-6=1) arasında olmalıdır.

Böylece olabilecek sayıları,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ve 12

olarak buluruz. Yalnız, üçgenin çeşitkenar olduğu söylendiği için, bu listeden 6 ve 7’yi çıkarmalıyız.

2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 ve 12

Üçüncü kenar, toplamda 9 tam sayı değeri alabilir. Cevap C


(2014-2015 TEOG 2. Dönem Sorusu)

Kenarlarından ikisinin uzunluğu 8 cm ve 5 cm olan bir üçgenin diğer kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 12 cm

D) 13 cm

Çözüm:

Üçüncü kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamı 8+5=13cm ile 8-5=3cm arasında olmalıdır. Seçeneklerdeki uzunluklar içinde sadece C seçeneği bu aralıkta olduğundan, cevap C’dir.


(2014-2015 TEOG 2. Dönem Sorusu)

TEOG Çıkmış Soru 2

Şekildeki dik üçgende $m(\widehat{A})=90^{\circ}$ dir. [BC] kenarına T noktasında teğet olan A merkezli çember yayı [AC]’nı D noktasında, [AB]’nı E noktasında kesmektedir.

|DC|>|BE| olduğuna göre, ABC üçgeninin açılarının ölçülerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $m(\widehat{A})$<$m(\widehat{B})$<$m(\widehat{C})$

B) $m(\widehat{B})$<$m(\widehat{C})$<$m(\widehat{A})$

C) $m(\widehat{B})$<$m(\widehat{C})$<$m(\widehat{A})$

D) $m(\widehat{C})$<$m(\widehat{B})$<$m(\widehat{A})$

Çözüm:

$m(\widehat{A})=90^{\circ}$ olduğu için, diğer iki açının toplamı $180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ olmalıdır. Bu nedenle bu iki açı da $90^{\circ}$'den yani $m(\widehat{A})$’dan küçüktür. Üçgendeki en büyük açı $m(\widehat{A})$’dır. $m(\widehat{B})$ ve $m(\widehat{C})$’den hangisinin daha büyük olduğunu bu açıların karşısındaki kenar uzunluklarını karşılaştırarak bulabiliriz. |AE| ve |AD| çemberi yarıçapına eşittir. |DC|>|BE| olduğundan, |AC|>|AB|’dir. Bu nedenle, $m(\widehat{B})$>$m(\widehat{C})$ olmalıdır. Böylece, $m(\widehat{C})$<$m(\widehat{B})$<$m(\widehat{A})$ sıralamasını elde ederiz.


(2014-2015 TEOG 2. Dönem Sorusu)

TEOG Çıkmış Soru 3

Şekildeki ABC üçgeninin santimetre cinsinden bir tam sayı ve |BC|=11 cm’dir.

Buna göre ABC üçgeninin çevresi en az kaç santimetredir?

A) 13

B) 14

C) 21

D) 23

Çözüm:

ABC üçgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır.

Çevre= |AB|+|AC|+|BC|=|AB|+|AC|+11

|AB|+|AC| ise üçüncü kenardan uzun olmalıdır. Buna göre |AB|+|AC|, 11’den yüksektir. Çevre bir tam sayı olduğuna göre |AB| + |AC|’nin alabileceği en düşük değer 12’dir. Çevrenin en küçük değeri bu durumda 11+12=23 olur. Cevap D.