8. SINIF MATEMATİK-ÜÇGENLER

KONU 39-ÜÇGENİN KENAR UZUNLUKLARI VE AÇILARI

BÖLÜM 1-ÜÇGENDE KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER


 
 

Bu derste, üçgenlerin kenar uzunlukları ile ilgili iki temel problemin çözümü üzerinde duruyoruz.

 

KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Bir üçgenin bir kenar uzunluğu,

  • Diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük ve
  • Diğer iki kenar uzunluğu farkından yüksektir.
Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişki

Matematiksel olarak gösterecek olursak, kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen için aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur.

  • |b - c| < a < b + c
  • |a - c| < b < a + c
  • |a - b| < c < a + b
 
 

Bu kurallar, tüm kenar uzunlukları için geçerlidir.

 

Örnek Üçgen

Yukarıdaki üçgeni inceleyelim.

 

Bu üçgenin kenar uzunlukları 6, 7 ve 10’dur.

  • AB kenarı (6 birim)

    Diğer iki kenarın farkı: |7 - 10| = 3

    Diğer iki kenarın toplamı: 7 + 10 = 17

    3 < 6 < 17

  • AC kenarı (7 birim)

    Diğer iki kenarın farkı: |6 - 10| = 4

    Diğer iki kenarın toplamı: 6 + 10 = 16

    4 < 7 < 16

  • BC kenarı (10 birim)

    Diğer iki kenarın farkı: |6 - 7| = 1

    Diğer iki kenarın toplamı: 6 + 7 = 13

    1 < 10 < 13

 
 

ÜÇGEN OLUŞTURABİLME

 

UZUNLUKLAR ÜÇGEN OLUŞTURUR MU?

Üçgen Oluşturur mu- Hesaplama Aracı

0 ile 10 000 arasında uzunluklar girin.

 

Bu hesaplama aracını yeni pencerede açmak ve nasıl kullanıldığını öğrenmek için tıklayın.

 

Yukarıdaki kurallara uyan uzunluklarda doğru parçaları ile üçgen oluşturulabilir. Bu kurallara uymayan uzunluklarla ise, kesinlikle üçgen oluşturulamaz.

 

Çizilemeyen Üçgen

Uzunlukları 3, 4 ve 9 birim olan doğru parçalarından üçgen oluşturulabilir mi?

 

Verilen uzunluklara sahip doğru parçalarından üçgen oluşturulup oluşturulamadığını anlayabilmek için bu bölümün başında verilen kuralları kontrol etmemiz gerekir. Verilen uzunluklar, bu kurallara uyarsa üçgen oluşturulabilir; uymazsa oluşturulamaz.

Bu doğru parçalarından ilk ikisinin toplamı 3 + 4 = 7'dir. Bu toplam 9'dan az olduğu için verilen doğru parçaları ile bir üçgen oluşturulamayacağını söyleyebiliriz.

Çizilemeyen Üçgen

Bu doğru parçalarını çizdiğimizde de üçgen oluşturamayacaklarını görebiliriz. Tabana 9 birimlik parçayı koyup, uçlarına 3 ve 4 birimlik doğru parçalarını iliştirelim. 3 ve 4 birimlik doğru parçalarının birer uçları tabanın uçları ile kesiştiği sürece, bu doğru parçaları hiç bir noktada kesişmeyecek ve üçgenin tepesini oluşturamayacaktır.

Aşağıda verilen uzunluklarla üçgen oluşturulabilir mi?

a) 8, 5 ve 13         b) 2, 99 ve 100         c) 5, 5 ve 5         d) 10, 20 ve 25         e) 5, 10 ve 20

CEVAPLAR

 

TÜM KURALLARI KONTROL ETMELİ MİYİZ?

Verilen uzunluklardan üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını anlayabilmek için, hem toplamlara hem de farklara bakmamıza gerek yoktur. Bunlardan sadece birini kontrol etmemiz yeterlidir. Örneğin, uzunlukların sadece

  • a < b + c
  • b < a + c
  • c < a + b

kurallarına uyup uymadığına bakabiliriz. Eğer bu kurallara uyuyorlarsa, verilen uzunluklardan üçgen oluşturulabilir, aksi taktirde oluşturulamaz.

a < b + c kuralında c'yi sol tarafa attığımızda,

a - c < b         (1)

ve c < a + b kuralında a'yı sol tarafa attığımızda

c - a < b         (2)

eşitsizliklerini elde ederiz. (1) ve (2) eşitsizlikleri b'nin hem a - c'den hem de c - a'dan büyük olduğunu söylüyor. Bu durum, b'nin |a - c|'den büyük olduğu anlamına gelir.

|a - c| < b

Böylece iki toplam kuralından bir fark kuralını elde etmiş olduk. Benzer şekilde, toplam kurallarını kullanarak, fark kurallarının tamamını elde edebiliriz. Başka bir değişle, verilen üç uzunluğun toplam kurallarına uyması, fark kurallarına da otomatik olarak uyacağı anlamına gelmektedir.

Uzunlukları 3, 4 ve 5 birim olan doğru parçalarından üçgen oluşturulabilir mi?

 

a = 5, b = 4 ve c = 3 için toplam formüllerini kontrol edelim.

5 < 3 + 4

4 < 3 + 5

3 < 4 + 5

Yukarıdaki eşitsizliklerin tümü doğru olduğundan, 3, 4 ve 5 birim uzunluklara sahip doğru parçalarından üçgen oluşturulabilir.

3 4 5 üçgeni
 

ÜÇÜNCÜ KENARIN ALABİLECEĞİ DEĞERLER

İki kenarı verilen bir üçgenin üçüncü kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları toplamı ile uzunlukları farkı arasında bir değerdir.

Toplam ve fark için bulduğumuz değerler, üçüncü kenarın alabileceği değerler arasında yer almaz.

 

İki kenarı 6 ve 8 birim uzunluğunda olan bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun alabileceği değerleri bulalım.

 

Üçüncü kenar uzunluğu, verilen kenar uzunluklarının toplamı ile farkı arasında olabilir.

6 + 8 = 14 ve

|6 - 8| = 2

olduğundan üçüncü kenar uzunluğu 2 ile 14 arasında bir gerçek sayıdır. Yalnız, bu sayı 2 veya 14 olamaz. Eğer üçüncü kenarın tam sayı olduğu biliniyorsa, bu değerler 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ve 13 olabilir.

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-1

a) Oluşturmaz, b) Oluşturur, c) Oluşturur, d) Oluşturur, e) Oluşturmaz,