ÜÇGENLER

DERS 2: YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAY


Bu derste üçgenlerle ilgili üç kavram öğreneceğiz:

  • Yükseklik
  • Kenarortay
  • Açıortay
 

YÜKSEKLİK

Bir üçgende, bir köşeden karşısındaki kenara (veya bu kenarın uzantısına) dik olarak indirilen doğru parçasına bu kenara ait yükseklik denir.

 

Bir kenar ile bu kenara ait yükseklik arasındaki açı her zaman 90 derecedir.

Bazı üçgenlerde yükseklik direk olarak kenarın üzerine gelir.

Üçgen yükseklik

Örneğin, yukarıdaki üçgende BC kenarına ait yükseklik, BC kenarı ile kesişmektedir. Yukarıdaki üçgende BC’ye ait yükseklik AD ile tanımlanmıştır.


 

Bazı üçgenlerde ise yükseklik, kenarla değil de, kenarın uzantısı ile kesişir.

Üçgen yükseklik-uzantı

Örneğin, yukarıdaki üçgende BC kenarının yüksekliği, bu kenarın uzantısı ile kesişmektedir.


 

Bir üçgende 3 kenar olduğu için, her bir kenara 1 tane olmak üzere, 3 farklı yükseklik tanımlanabilir.

Üçgen tüm yükseklikler

Yukarıdaki grafiklerde

  • BC kenarının yüksekliği AD ile
  • AC kenarının yüksekliği BE ile ve
  • AB kenarının yüksekliği CF ile

gösterilmiştir.


 

Tüm üçgenlerde, üç yükseklik bir noktada kesişirler. Kesişme noktası, üçgenin iç açılarına göre üçgenin içinde, dışında veya bir köşesinde olabilir.

Yükseklikler üçgenin içinde-Dar açılı üçgen

Eğer üçgenin tüm açıları 90 dereceden küçükse, yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin içindedir.

Yükseklikler üçgenin dışında-Geniş açılı üçgen

Eğer üçgenin açılarından biri 90 dereceden büyükse, yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında kesişir.

Yükseklikler üçgenin üzerinde-Dik açılı üçgen

Eğer üçgenin bir açısı 90 derece ise, yüksekliklerin kesişme noktası, açısı 90 derece olan köşededir.


 

KENARORTAY

Bir kenarın orta noktası ile karşısındaki köşe arasına çekilen doğru parçasına kenarortay denir.

 

Yükselikte olduğu gibi, üçgenin her bir kenarına ait bir kenarortayı vardır.

Kenarortay

Yukarıdaki grafiklerde

  • BC kenarının kenarortayı AD ile,
  • AC kenarının kenarortayı BE ile ve
  • AB kenarının kenarortayı CF ile

gösterilmiştir.

Kenarortaylar
 

Bir üçgendeki üç kenarortay bir noktada kesişirler. Bu nokta, her zaman üçgenin içindedir.

 

AÇIORTAY

Bir köşeden, karşısındaki kenara kadar giden ve bu köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına, açıortay denir.

 

Her bir köşedeki açının bir açıortayı olduğu için, bir üçgende 3 açıortay vardır.

Açıortay

Yukarıdaki grafiklerde

  • ABC açısının açıortayı BD ile
  • BAC açısının açıortayı AE ile ve
  • BCA açısının açıortayı CF ile

gösterilmiştir.

Açıortay

Bir üçgendeki üç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta, her zaman üçgenin içindedir.

 

ÜÇGENİN ALANI

Üçgenin alanını bulabilmek için bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliği çarpar sonucu ikiye böleriz.

Üçgen yükseklik

Örneğin, yukarıdaki üçgenin alanı,

$$\text{Alan}={|BC|.|AD| \over 2}$$

formülü ile bulunur.

 

EŞKENAR ÜÇGENDE AÇIORTAY, KENARORTAY VE YÜKSEKLİK

Eşkenar bir üçgen için, açıortay, kenarortay ve yükseklik aynı doğru parçasıdır.

Üçgen yükseklik

Örneğin yukarıdaki eşkenar üçgende AD doğru parçası, hem BC’nin yüksekliği, hem kenarortayı, hem de A açısının açıortayıdır. Benzer şekilde, diğer kenarlar için de yükseklik, açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır.

 

İKİZKENAR ÜÇGENDE AÇIORTAY, KENARORTAY VE YÜKSEKLİK

İkizkenar bir üçgende farklı olan kenara ait yükseklik, kenarortay ve eş olan kenarlar arasındaki açının açıortayı aynı doğru parçasıdır.