8. SINIF MATEMATİK-ÜÇGENLER

KONU 28-YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAY

BÖLÜM 4-ÜÇGENİN ALANI


 
 

ÜÇGENİN ALANI

üçgende alana formülü

Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ve yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

üçgenin alan formülü

Yukarıdaki üçgenin alanı ... veya ... şeklinde ifade edilebilir.

Ben bir Matematik Delisi'yim diyorsan, üçgenin alan formülünün nasıl ispatlandığını inceleyebilirsin.

İSPAT-ÜÇGENİN ALAN FORMÜLÜ

 
 

Üçgenin alanı ile ilgili örnek

Yukarıdaki şekilde gösterilen yeşil bölgenin alanını bulalım.

 

Yeşil bölgenin alanı, ... ve ... üçgenlerinin alanlarının farkına eşittir. İki üçgenin de tabanını BC olarak kabul edersek, ... üçgeninin yüksekliği 3 ve ... üçgeninin yüksekliği 3 + 5 = 8 birim olur. Bu bilgileri kullanarak,

  • ... üçgeninin alanını,

    ... ve

  • ... üçgeninin alanını

    ...

olarak buluruz. Yeşil bölgenin alanı ise, 20 - 7,5 = 12,5'e eşit çıkar.

 
 

Bir üçgeni çevirdiğimizde alanı değişmez. Bu nedenle, üçgendeki herhangi bir kenarı taban kabul edip, bu taban için alan formülünü uygulayabiliriz.

Üçgenin alanı alt yüz
Üçgenin alanı sol yüz
Üçgenin alanı sağ yüz
  • Yukarıdaki üçgende BC'yi taban olarak kabul ettiğimizde yükseklik AD olur. Üçgenin alanını

    ...

    formülüyle bulabiliriz.

  • Eğer aynı üçgende AB'yi taban olarak alırsak, bu defa yükseklik EC olur. Aynı üçgenin alanını

    ...

    şeklinde de ifade edebiliriz.

  • Son olarak, AC'nin taban olduğunu düşünürsek, yükseklik BF olur ve bu üçgenin alanını

    ...

    olarak buluruz.

Yukarıda bulduğumuz üç formül de aynı sonucu verir.

... ... ...

Üçgenin alanı ile ilgili örnek

Yukarıdaki üçgende |AD| = 10, |BC| = 8 ve |AB| = 12 ise, |EC|'nin uzunluğu kaçtır?

 

BC kenarının uzunluğunu ve bu kenara ait yüksekliği, alan formulünde yerlerine koyarak ... üçgeninin alanını bulabiliriz.

... ... ...

Aynı alanı AB ve bu kenara ait yükseklik olan EC'yi kullanarak da bulabiliriz.

... ... ... ...

Bulduğumuz alanları eşitlersek,

...

... ...

sonucuna ulaşırız.

Geniş üçgenin alanı

Üçgenin alan formülünü uygulayabilmemiz için tabana ait yüksekliğin tabanla kesişmesi şart değildir. Örneğin, yukarıdaki üçgenin alanı ...'dir.

Dik üçgenin alanı

Dik üçgenlerde birbirine dik olan kenarlardan biri, diğerinin yüksekliğidir. Alanı bulabilmek için bu kenarları çarpıp, sonucu 2'ye bölebiliriz. Örneğin, yukarıdaki ... üçgeninin alanı ...'dir.

Dik üçgenin alanı ile ilgili örnek

Kenar uzunlukları verilen yukarıdaki dörtgenin alanını bulalım.

 

B ve C noktalarından geçen bir doğru çizdiğimizde, verilen dörtgenin iki dik üçgenden oluştuğunu görebiliriz.

Dik üçgenin alanı ile ilgili örnek

Dörtgenin alanı bu üçgenlerin alanlarının toplamıdır. ... üçgeninin alanı

...

ve ... üçgeninin alanı

...

olduğundan dörtgenin toplam alanı ... olarak bulunur.