ÜSLÜ SAYILAR

DERS-5 ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER


Bu derste, üslü sayıların çarpımlarının ve bölümlerinin nasıl bulunduğunu ve üslü bir sayının kuvvetinin nasıl alındığını öğreniyoruz.

 

1) ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA

Üslü sayıları çarparken, çarptığımız sayıların tabanları veya üsleri eşitse aşağıda anlatılan yöntemleri kullanabiliriz.

 

a) TABANLAR EŞİTSE

Tabanı eşit üslü sayıları çarptığımızda üsleri toplarız.

  • $3^2.3^4=3^{2+4}=3^6$
  • $183^7.183^6=183^{7+6}=183^{13}$
  • $6^{159}.6^{143}=6^{159+143}=6^{302}$
  • $(-5)^3.(-5)^4=(-5)^{3+4}=(-5)^{7}$
  • $768^{25}.768^{429}=768^{25+429}=768^{454}$

Genel olarak, üslü iki sayının çarpımı için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz.

$a^x.a^y=a^{x+y}$

Alıştırmalar-1

Aşağıdaki çarpımlara eşit olan üslü gösterimleri bulalım.

a) $(-5)^{65}.(-5)^{21}=......$

b) $13^{13}.13^{1}=......$

c) $2^{30}.2^{30}=......$

d) $138^{3}.138^{2}=......$

e) $(-201)^{412}.(-201)^{214}=......$

 

Eğer tabanlar eşitse, üslerin negatif olduğu durumlarda da yukarıdaki kuralı kullanabiliriz.

  • $7^{9}.7^{-4}=7^{9-4}=7^{5}$
  • $8^{3}.8^{-9}=8^{3-9}=8^{-6}$
  • $11^{-6}.11^{13}=11^{-6+13}=11^{7}$
  • $9^{-15}.9^{7}=9^{-15+7}=9^{-8}$
  • $3^{-8}.3^{-5}=3^{-8-5}=3^{-13}$
  • $(-4)^{16}.(-4)^{-6}=(-4)^{16-6}=(-4)^{10}$
  • $(-8)^{15}.(-8)^{-32}=(-8)^{15-32}=(-8)^{-17}$
  • $(-12)^{-23}.(-12)^{12}=(-12)^{-23+12}=(-12)^{-11}$
  • $(-5)^{-4}.(-5)^{17}=(-5)^{-4+17}=(-5)^{13}$
  • $(-7)^{-9}.(-7)^{-4}=(-7)^{-9-4}=(-7)^{-13}$

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki çarpımlara eşit olan üslü gösterimleri bulalım.

a) $(-125)^{-21}.(-125)^{51}=......$

b) $16^{25}.16^{-100}=......$

c) $(-7)^{138}.(-7)^{-17}=......$

d) $42^{-5}.42^{-4}=......$

e) $13^{-16}.13^{6}=......$

f) $6^{35}.6^{-16}=......$

g) $2^{-6}.2^{23}=......$

h) $(-2)^{12}.(-2)^{-12}=......$

i) $(-3)^{16}.(-3)^{-1}=......$

j) $(-37)^{-15}.(-37)^{12}=......$

k) $(-4)^{-5}.(-4)^{13}=......$

Tabanları eşit olan üç veya daha fazla üslü sayının çarpımında da üsleri toplarız.

  • $2^2.2^4.2^6=2^{2+4+6}=2^{12}$
  • $4^2.4^3.4^2=4^{2+3+2}=4^{7}$
  • $2^0.2^4.2^2.2^7=2^{0+4+2+7}=2^{13}$
  • $7^{-3}.7^{9}.7^{-1}=7^{-3+9-1}=7^{5}$
  • $18^{-7}.18^{-2}.18^{-8}=18^{-7-2-8}=18^{-17}$
  • $(-4)^{4}.(-4)^{3}.(-4)^{2}=(-4)^{4+3+2}=(-4)^{9}$
  • $(-15)^{-8}.(-15)^{-7}.(-15)^{-11}=(-15)^{-8-7-11}=(-15)^{-26}$
  • $(-6)^{5}.(-6)^{-17}.(-6)^{2}=(-6)^{5-17+2}=(-6)^{-10}$
  • $(-11)^{6}.(-11)^{-3}.(-11)^{1}.(-11)^{-2}.(-11)^{-4}=(-11)^{6-3+1-2-4}=(-11)^{-2}$

Alıştırmalar-3

Aşağıdaki çarpımlara eşit olan üslü gösterimleri bulalım.

a) $(-10)^{4}.(-10)^{4}.(-10)^{4}.(-10)^{4}=......$

b) $(-5)^{-5}.(-5)^{4}.(-5)^{-2}.(-5)^{6}.(-5)^{1}=......$

c) $3^{8}.3^{-4}.3^{1}=......$

d) $12^{6}.12^{-3}.12^{-3}=......$

e) $(-3)^{-2}.(-3)^{-3}.(-3)^{-7}.(-3)^{4}=......$

f) $6^{3}.6^{1}.6^{4}.6^{-100}=......$

Üslü bir sayıyı kendi tabanı ile çarptığımızda üs değerini $1$ artırmış oluruz.

  • $3.3^5=3^1.3^5=3^{5+1}=3^6$
  • $2^2.2=2^2.2^1=2^{2+1}=2^3$
  • $7.7^{-5}=7^1.7^{-5}=7^{1-5}=7^{-4}$
  • $(-11).(-11)^{24}=(-11)^1.(-11)^{24}=(-11)^{24+1}=(-11)^{25}$
  • $(-6)^{-2}.(-6)=(-6)^{-2}.(-6)^1=(-6)^{-2+1}=(-6)^{-1}$

Genel olarak, bir $a$ sayısı için

$a.a^x=a^{x+1}$

eşitliğini yazabiliriz.

 

Alıştırmalar-4

Aşağıdaki çarpımlara eşit olan üslü gösterimleri bulalım.

a) $(-10)^{-7}.(-10)=......$

b) $(-5).(-5)^{15}=......$

c) $3^{-4}.3=......$

d) $12.12^{-3}=......$

Bir grup üslü sayının tabanları eşit ve üsleri toplamı 0 ise, bu sayıları çarptığımızda sonuç 1 çıkar.

  • $3^4.3^{-4}=3^{4-4}=3^0=1$
  • $1565^2.1565^{-2}=1565^0=1$
  • $23^{12}.23^{-9}.23^{-3}=23^0=1$
  • $(-8)^{15}.(-8)^{-15}=(-8)^0=1$
  • $(-3)^{-21}.(-3)^{7}.(-3)^{7}.(-3)^{7}=(-3)^0=1$

Alıştırmalar-5

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.

a) $(-10)^{-2}.(-10).(-10)=......$

b) $(-3)^{-3}.(-3)^{3}=......$

c) $20^{-1}.20.20^{-1}=......$

d) $8^{11}.8^{-3}.8^{-4}.8^{-4}=......$

b) ÜSLER EŞİTSE

Kuvvetleri eşit olan üslü sayıları çarparken,

  • tabanlarını çarpar, sonucun tabanına yazarız;
  • ortak kuvveti sonucun üssüne yazarız.

$a^x.b^x=(a.b)^x$

  • $3^2.2^2=(3.2)^2=6^2$
  • $2^4.5^4=(2.5)^4=10^4$
  • $7^3.3^3.5^3=(7.3.5)^3=105^3$
  • $2^4.4^4.2^4=(2.4.2)^4=16^4$
  • $(-3)^2.(-2)^2=((-3).(-2))^2=6^2$
  • $(-5)^3.7^3=((-5).7)^3=(-35)^3$
  • $2^{-5}.3^{-5}.5^{-5}=(2.3.5)^{-5}=30^{-5}$

Alıştırmalar-6

Aşağıdaki çarpımlara eşit olan üslü gösterimleri bulalım.

a) $6^4.5^4=......$

b) $2^8.8^8=......$

c) $3^3.5^3.2^3=......$

d) $6^{12}.(-2)^{12}.(-3)^{12}=......$

e) $(-3)^{2}.2^{2}.(-3)^{2}=......$

f) $(-2)^{-2}.(-3)^{-2}.(-5)^{-2}=......$

$a^x.b^x=(a.b)^x$ eşitliğini, kuvveti çarpanlara dağıtmak için de kullanabiliriz.

Örneğin, $6=2.3$ olduğu için, $6^2$’yi

$6^2=(2.3)^2=2^2.3^2$

şeklinde de yazabiliriz.

$35^3=(5.7)^3=5^3.7^3$

$10^6=(2.5)^6=2^6.5^6$

$15^{-5}=(3.5)^{-5}=3^{-5}.5^{-5}$

$8^7=(2.2.2)^7=2^7.2^7.2^7$

 

2) ÜSLÜ SAYILARDA BÖLME

Üslü bir sayıyı, kuvvetinin işaretini değiştirerek (işareti + ise - yaparak, işareti - ise + yaparak), paydan paydaya veya paydadan paya çarpım halinde alabiliriz.

$${a^n \over b^m}$$

Örneğin, yukarıdaki kesirde, payı paydaya alalım:

$${a^n \over b^m}={1\over a^{-n}.b^m}$$

Benzer şekilde paydadaki sayıyı, paya çarpım halinde yazabiliriz.

$${a^n \over b^m}={a^n.b^{-m} \over 1}=a^n.b^{-m}$$

Veya duruma göre, her iki işlemi birden yapabiliriz.

$${a^n \over b^m}={b^{-m} \over a^{-n}}$$

 

3) ÜSLÜ SAYILARIN ÜSSÜ

Üslü bir sayının üssünü alırken kuvvetleri birbiri ile çarparız.

$(a^b)^c=a^{b.c}$

ÖRNEK:

$(2^2)^2=2^{2.2}=2^4$

$(5^4)^{-2}=5^{4 \times (-2)}=5^{-8}$

$(6^{-3})^5=6^{-3.5}=6^{-15}$

$(11^{-2})^{-3}=11^{(-2) \times (-3)}=11^6$

 

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$2^3.3^2$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$2.6^2$

B)$2.5^6$

C)$5^5$

D)$6^6$

Çözüm: $2^3.3^2$ ifadesinde, iki üslü sayının çarpımını görüyoruz. Tabanların veya üslerin eşit olduğu durumlarda yukarıda öğrendiğimiz eşitliklerden birini kullanmamız gerekir. Yalnız $2^3.3^2$ ifadesinde tabanlar da üsler de eşit değil. $2^3$ yerine, eşiti olan $2.2^2$ sayısını yazarsak,

$2^3.3^2=2.2^2.3^2$

üsleri eşit iki sayının ($2^2$ ve $3^2$) çarpımı ile karşılaşırız. Üsleri eşit sayıları kendi arasında çarpıp, ortak üssü bu çarpıma kuvvet olarak yazabiliriz. $2^2.3^2=(2.3)^2=6^2$ olduğu için,

$2^3.3^2=2.2^2.3^2=2.(2.3)^2=2.6^2$

sonucunu buluruz.


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$-4^{-3}$ sayısının $2^{-4}$’e bölümü aşağıdakilerden hangisidir?

A)$-{1 \over 4}$

B)$-{1 \over 2}$

C)${1 \over 4}$

D)${1 \over 2}$

Çözüm: Bizden istenilen şey,

$${-4^{-3} \over 2^{-4}}=-{4^{-3} \over 2^{-4}}$$

işleminin sonucudur. $4=2^2$ olduğundan, $4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{2.(-3)}=2^{-6}$ eşitliğini kullanabiliriz.

$$-{4^{-3} \over 2^{-4}}=-{2^{-6} \over 2^{-4}}$$

Son olarak, paydaki $2^{-6}$’yı paydaya $2^6$ olarak alırsak,

$$-{2^{-6} \over 2^{-4}}=-{1 \over 2^{6}.2^{-4}}=-{1 \over 2^{6-4}}=-{1 \over 2^{2}}=-{1\over4}$$

sonucunu buluruz.



(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

${27.3^2 \over 3^4}$ işleminin sonucu kaçtır?

A)$1$

B)$3$

C)$9$

D)$81$

Çözüm: Paydaki $27$'nin yerine $3^3$ yazarsak, kesirin payı $3^3.3^2=3^{3+2}=3^5$ olur.

$${27.3^2 \over 3^4}={3^5 \over 3^4}$$

Paydadaki $3^4$'ü ise, paya $3^{-4}$ olarak alırsak,

$${3^5 \over 3^4}=3^5.3^{-4}=3^{5-4}=3^1=3$$

sonucun $3$ olduğunu görürürüz.

(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$5^6$ tane kalemin tamamı, $25$ boş kutuya eşit sayıda yerleştirildiğinde her bir kutuda kaç kalem olur?

A)$25^3$

B)$25^2$

C)$5^3$

D)$5^2$

Çözüm: $5^6$ kalem $25=5^2$ kutuya, her bir kutuya ${5^6 \over 5^2}$ kalem düşecek şekilde paylaştırılır. Paydadaki $5^2$ ile paydaki $5^6$'yı sadeleştirdiğimizde, kutu başına $5^4$ kalem buluruz. Yalnız, $5$'in kuvvetleri biçiminde yazılan C ve D şıklarında bu cevap olmadığı için, $5^4$'ü $25$'in kuvveti şeklinde yazmalıyız. $5^4=(5^2)^2=25^2$'dir.