ÜSLÜ SAYILAR

DERS-5 ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER


Bu derste, üslü sayıların çarpımlarının ve bölümlerinin nasıl bulunduğunu ve üslü bir sayının kuvvetini almayı öğreniyoruz. Dersin sonunda ise, tüm bu işlemlerin birarada kullanıldığı ve sadeleştirmeler yapılabilen üslü işlemleri, TEOG'da çıkmış soruları çözerek inceliyoruz.

1) ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA

Üslü sayıları çarparken, çarptığımız sayıların tabanları veya üsleri eşitse, belli kurallar kullandığımızdan işimiz kolaylaşıyor.

a) TABANLAR EŞİTSE

Üslü sayıların tabanları eşitse, bu sayıları çarptığımızda üslerini toplarız.

ÖRNEK:

$3^2.3^4=3^{2+4}=3^6$

$2^2.2^4.2^6=2^{2+4+6}=2^{12}$

$(-5)^3.(-5)^4=(-5)^{3+4}=(-5)^{7}$

$4^2.4^3.4^2=4^{2+3+2}=4^{7}$

$2^0.2^4.2^2=2^{0+4+2}=2^6$

Genel olarak, üslü iki sayının çarpımı için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz.

$a^x.a^y=a^{x+y}$

 

Üslü bir sayıyı kendi tabanı ile çarptığımızda üs değerini $1$ artırmış oluruz.

ÖRNEK:

$3.3^5=3^1.3^5=3^{5+1}=3^6$

$2.2^2=2^1.2^2=2^{1+2}=2^3$

Genel olarak, bir $a$ sayısı için

$a.a^x=a^{x+1}$

eşitliğini yazabiliriz.

 

Yukarıdaki sonuçlar, negatif kuvvetler için de geçerlidir.

ÖRNEK:

$2^{-2}.2^4=2^{-2+4}=2^2$

$2^{-1}.2^{-3}=2^{-1-3}=2^{-4}$

$2^{-1}.2^{-3}.2^5=2^{-1-3+5}=2^{1}$

$2.2^{-1}=2^1.2^{-1}=2^{-1+1}=2^0=1$

 

Eğer üslü sayının tabanları eşitse ve üsleri toplamı 0 ise, bu sayıları çarptığımızda sonuç 1 çıkar.

ÖRNEK:

$3^4.3^{-4}=3^{4-4}=3^0=1$

$1565^2.1565^{-2}=1565^0=1$

b) ÜSLER EŞİTSE

Üsleri eşit sayıların çarpımında ise, tabanlarını çarpar, kuvveti aynı bırakırız.

$a^x.b^x=(a.b)^x$

ÖRNEK:

$3^2.2^2=(3.2)^2=6^2$

$2^4.5^4=(2.5)^4=10^4$

$a^x.b^x=(a.b)^x$ eşitliğini, kuvveti çarpanlara dağıtmak için de kullanabiliriz.

Örneğin, $6=2.3$ olduğu için, $6^2$’yi

$6^2=(2.3)^2=2^2.3^2$

şeklinde yazabiliriz.

ÖRNEK:

$35^3=(5.7)^3=5^3.7^3$

Aynı yöntemi kullanarak $12$ sayısını bir kaç şekilde ifade edebiliriz.

$12^3=(3.4)^3=3^3.4^3$

$12^3=(2.2.3)^3=2^3.2^3.3^3$

 

2) ÜSLÜ SAYILARDA BÖLME

Üslü bir sayıyı, kuvvetinin işaretini değiştirerek, paydan paydaya veya paydadan paya çarpım halinde alabiliriz.

$${a^n \over b^m}$$

Örneğin, yukarıdaki kesirde, payı paydaya alalım:

$${a^n \over b^m}={1\over a^{-n}.b^m}$$

Benzer şekilde paydadaki sayıyı, paya çarpım halinde yazabiliriz.

$${a^n \over b^m}={a^n.b^{-m} \over 1}=a^n.b^{-m}$$

Veya duruma göre, her iki işlemi birden yapabiliriz.

$${a^n \over b^m}={b^{-m} \over a^{-n}}$$

 

3) ÜSLÜ SAYILARIN ÜSSÜ

Üslü bir sayının üssünü alırken kuvvetleri birbiri ile çarparız.

$(a^b)^c=a^{b.c}$

ÖRNEK:

$(2^2)^2=2^{2.2}=2^4$

$(3^5)^{15}=3^{5.15}=3^{75}$

 

4) ÜSLÜ SAYILARDA SADELEŞTİRME

Yukarıda üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini gördük. Şimdi bunları kullanarak, üslü ifadelerin olduğu kesirlerde sadeleştirme işlemlerinin nasıl yapıldığını örnekler üzerinde öğrenelim.

Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.

(2014-2015 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$2^3.3^2$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)$2.6^2$

B)$2.5^6$

C)$5^5$

D)$6^6$

Çözüm: $2^3.3^2$ ifadesinde, iki üslü sayının çarpımını görüyoruz. Bu tarz sorularda tabanların veya üslerin eşit olduğu durumlar için öğrendiğimiz eşitliklerden birini kullanmamız gerekir. Yalnız $2^3.3^2$ ifadesinde ne tabanlar eşit ne de üsler. Yalnız, $2^3$ yerine, eşiti olan $2.2^2$ sayısını yazarsak,

$2^3.3^2=2.2^2.3^2$

üsleri eşit iki sayının ($2^2$ ve $3^2$) çarpımını buluruz. Üsleri eşit sayıları kendi içinde çarpıp, ortak üssü bu çarpıma kuvvet olarak yazabiliriz. $2^2.3^2=(2.3)^2=6^2$ olduğu için,

$2^3.3^2=2.2^2.3^2=2.(2.3)^2=2.6^2$

sonucunu buluruz.


(2014-2015 TEOG 1. Dönem Mazeret Sınavı Sorusu)

$-4^{-3}$ sayısının $2^{-4}$’e bölümü aşağıdakilerden hangisidir?

A)$-{1 \over 4}$

B)$-{1 \over 2}$

C)${1 \over 4}$

D)${1 \over 2}$

Çözüm: Bizden istenilen şey,

$${-4^{-3} \over 2^{-4}}=-{4^{-3} \over 2^{-4}}$$

işleminin sonucudur. $4=2^2$ olduğundan, $4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{2.(-3)}=2^{-6}$ eşitliğini kullanabiliriz.

$$-{4^{-3} \over 2^{-4}}=-{2^{-6} \over 2^{-4}}$$

Son olarak, paydaki $2^{-6}$’yı paydaya $2^6$ olarak alırsak,

$$-{2^{-6} \over 2^{-4}}=-{1 \over 2^{6}.2^{-4}}=-{1 \over 2^{6-4}}=-{1 \over 2^{2}}=-{1\over4}$$

sonucunu buluruz.



(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

${27.3^2 \over 3^4}$ işleminin sonucu kaçtır?

A)$1$

B)$3$

C)$9$

D)$81$

Çözüm: Paydaki $27$ yerine $3^3$ yazarsak, kesirin payı $3^3.3^2=3^{3+2}=3^5$ olur.

$${27.3^2 \over 3^4}={3^5 \over 3^4}$$

Paydadaki $3^4$'ü ise, paya $3^{-4}$ olarak alırsak,

$${3^5 \over 3^4}=3^5.3^{-4}=3^{5-4}=3^1=3$$

sonucun $3$ olduğunu görürürüz.

(2015-2016 TEOG 1. Dönem Sorusu)

$5^6$ tane kalemin tamamı, $25$ boş kutuya eşit sayıda yerleştirildiğinde her bir kutuda kaç kalem olur?

A)$25^3$

B)$25^2$

C)$5^3$

D)$5^2$

Çözüm: $5^6$ kalem $25=5^2$ kutuya, her bir kutuya ${5^6 \over 5^2}$ kalem düşecek şekilde paylaştırılır. Paydadaki $5^2$ ile paydaki $5^6$'yı sadeleştirdiğimizde, kutu başına $5^4$ kalem buluruz. Yalnız, $5$'in kuvvetleri biçiminde yazılan C ve D şıklarında bu cevap olmadığı için, $5^4$'ü $25$'in kuvveti şeklinde yazmalıyız. $5^4=(5^2)^2=25^2$'dir.