TEOREMLER VE İSPATLAR

KAREKÖKLÜ SAYIYA EN YAKIN TAM SAYI


8. sınıf matematik müfredatındaki konulardan biri, pozitif bir tam sayının kareköküne en yakın tam sayıyı bulmaktır. İstenilen sayıyı bulabilmek için, özetle,

  • karekök içinde verilen sayıya en yakın tam kare sayıyı buluyor ve
  • bulduğumuz tam kare sayının karekökünü alıyoruz.

Kullanılan kuralı daha matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:

 
  • ... bir pozitif tam sayı ve
  • ..., ...'dan küçük en büyük tam kare sayı

olsun.

... tam sayısı ... ve ... sayılarından hangisine daha yakınsa, ... bu sayının kareköküne daha yakındır.

 
 
 

İSPAT

...'nın ...'ye daha yakın olduğu durumda,

... ile ... arasındaki fark, ... ile ... arasındaki farktan daha küçük olmalıdır. Bunu, matematiksel olarak,

... < ...

şeklinde ifade edebiliriz. Bu eşitsizlikte parantezi açar, ...'ları sol tarafa ve diğer terimleri sağ tarafa atarsak,

... < ...

... < ...

... < ...

eşitsizliğini elde ederiz. ... bir tam sayı olduğu için, bu eşitsizliğin sağındaki ... ifadesi de bir tam sayıdır.

Kareköklü sayının aralığı ispat

Sol tarafta da bir tam sayı olduğu için sağdaki ... yerine ...'dan büyük herhangi bir kesir geldiğinde eşitsizlik yine de doğru olur. (Örneğin, ... tam sayısı ...'ten küçükse ...'ten de küçüktür.)

Bu nedenle ... yerine ... yazsak da eşitsizlik doğru olur.

... < ...

Yeni eşitsizlikte her iki tarafın da karekökünü alalım.

... < ...

... < ...

... sayısı, ... ile ...'in tam orta noktasıdır. Yukarıdaki eşitsizliğe göre, sayı doğrusunda ... ile ...'in orta noktasının solundadır. Dolayısıyla, ...'e daha yakındır.

Kısacası, ... tam sayısı ...'ye daha yakın olduğunda ...'nın değeri ...'e daha yakın çıkar.

Eşitsizlik işaretinin yönünü değiştirerek yukarıdaki adımları tekrarladığımızda ...'nın ...'ye daha yakın olduğu durumda ...'nın ...'e daha yakın olduğunu görebiliriz.

NOT: Yukarıdaki ifade a'nın pozitif tam sayı olmadığı durumlarda doğru olmayabilir. Örneğin, ... için

...

...

... ve

...'tir.

Bu örnek için ..., ...'ye daha yakın olduğu halde ... ...'e daha yakındır.