BÖLÜM 3: YOK ETME YÖNTEMİ
Yok etme yönteminde denklemlerin aşağıdaki iki özelliğini kullanıyoruz:
- Bir denklemdeki tüm terimleri gerçek bir sayı ile çarptığımızda eşitlik sağlamaya devam eder.
- İki denklemi taraf tarafa toplayabiliriz.
Denklemi sabit bir sayı ile çarpma
Bir denklemde eşitliğin solundaki ve sağındaki tüm terimleri sıfırdan farklı bir sayı ile çarptığımızda,
çözüm kümesi değişmez.
...
denkleminin tüm terimlerini 2 ile çarptığımızda,
...
denklemini elde ederiz. Bu iki denklemin çözüm kümeleri arasında bir fark bulunmamaktadır.
Çarptığımız sabit sayı pozitif veya negatif olabilir.
Örneğin, aynı denklemi -1 ile çarptığımızda,
...
denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözüm kümesi de başlangıçtaki ile aynıdır.
Denklemleri taraf tarafa toplama
İki denklemin
- sol taraftaki terimlerini toplayıp, eşitliğin soluna ve
- sağ taraftaki terimlerini toplayıp, eşitliğin sağına
yazdığımızda yeni bir denklem elde edebiliriz.
...
...
denklemlerini taraf tarafa toplayalım. Eşitliklerin sol tarafındaki terimleri topladığımızda ... ifadesini elde ederiz. Denklemin sağ taraflarını topladığımızda ise 15 sayısına ulaşırız. Böylece
...
denklemini yazabiliriz.
Taraf tarafa topladığımız denklemlerde, değişkenlerden birinin katsayılarının
toplamı sıfırsa karşımıza tek değişkenli bir denklem çıkar..
...
...
denklemlerini taraf tarafa topladığımızda, ilk denklemdeki ... ile ikinci denklemdeki ... birbirini götürür. Böylece toplama işlemi sonucunda
...
denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü ...'tür. Bu sonucu ilk denklemde yerine yazarsak, ... sonucuna kolaylıkla erişebiliriz.
YOK ETME YÖNTEMİ
Yoketme yönteminde sırasıyla şu adımları takip edebiliriz:
- Yokedeceğimiz değişkeni seçeriz: ... veya ...
- Denklemleri sabit sayı ile çarparız: Seçtiğimiz değişkenin katsayılarının toplamı sıfır olacak şekilde, denklemlerden birini veya ikisini sabit sayı ile çarparız.
- Denklemleri taraf tarafa toplayıp, tek değişkenli bir denklem elde ederiz.
- Tek değişkenli denklemi çözüp, değişkenlerden birinin değerini buluruz.
- Bulduğumuz değeri denklemlerden birinde yerine yazıp, diğer değişkenin değerini de elde ederiz.
...
...
Yukarıdaki denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak çözelim.
Denklem sistemindeki ...'leri yokedelim.
-
Taraf tarafa toplama da ...’lerin birbirini götürmesi için, ilk denklemi ... ile çarpabiliriz. Bu işlemi yaparsak, karşımıza
...
...
denklem sistemi çıkar.
-
Bu denklemleri taraf tarafa topladığımızda ... ile ... terimleri birbirini götürür ve tek bilinmeyenli
...
denklemini elde ederiz.
-
... denkleminin çözümü ...'tür.
-
Bu sonucu ilk denklemde yerine yazdığımızda
...
...
sonucunu elde ederiz. Böylece verilen denklem sistemine ait çözümünün ... noktası olduğunu görebiliriz.
...
...
Aynı denklem sistemini, ...’leri yok ederek çözelim.
-
İlk denklemi ... ile çarptığımızda karşımıza
...
denklemi çıkar.
-
Bu denklem ile ikinci denklemi topladığımızda, ... ve ... terimleri birbirini götürür ve aşağıdaki denkleme ulaşırız.
...
-
Bu denklemi ... için çözdüğümüzde
...
...
sonucunu elde ederiz.
-
...’nin ...’ye eşit olduğunu bulduktan sonra, bu değeri ilk denklemde yerine yazıp,
...
...
...
sonucuna ulaşırız.
Bu örnekte, aynı denklem sistemini yine ...’leri yok ederek çözelim. Fakat bu defa daha az kesirli sayıyla uğraşmak için hem birinci hem de ikinci denklemi farklı sabit sayılarla çarpalım.
...
...
-
İlk denklemi ...'yle ve ikinci denklemi ...'le çarptığımızda,
...
...
denklemlerini elde ederiz.
-
Bu denklemleri taraf tarafa topladığımızda ... ile ... terimleri birbirini götürür ve karşımıza
...
denklemi çıkar.
-
Bu denklemi ... için çözdüğümüzde,
...
...
sonucuna ulaşırız.
-
... değerini denklemlerden birinde yerine yazdığımızda ... sonucunu elde ederiz.
...
...
denklem sistemini çözelim.
-
Bu denklem sisteminin çözümü için ...'leri yok edelim.
-
...’leri yok etmek için ilk denklemi ... ile çarpalım. Bu işlemi yaptığımızda, denklem sistemi
...
...
haline dönüşür.
-
Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda ... ile ... birbirini götürür ve karşımıza
...
eşitliği çıkar.
-
Bu denklemin çözümü
...'tir.
-
...’nin değerini ikinci denklemde yerine yazdığımızda,
...
...
...
sonucunu elde ederiz. Böylece denklem sisteminin çözümünün ... olduğunu görebiliriz.
...
...
Bu denklem sisteminde de ...'leri yok edelim.
-
İlk denklemi ... ile çarptığımızda
...
denklemini elde ederiz.
-
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda ... ile ... birbirini götürür ve karşımıza
...
çıkar.
-
Bu denklemin çözümü
...'tür.
-
Bulduğumuz sonucu ilk denklemde yerine yazdığımızda
...
...
değerini elde ederiz. Böylece denklem sisteminin çözümünün ... olduğunu görebiliriz.
...
...
Denklem sistemini çözebilmek için ...'leri yok edelim.
-
İlk denklemi ... ile çarptığımızda denklemler
...
...
haline dönüşür.
-
Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda
... ...
denklemini elde ederiz.
-
Bu denklemin çözümü
...
...'dir.
-
...’nin değerini ilk denklemde yerine yazdığımızda
...
...
...
sonucunu elde ederiz. Böylece çözümün ... olduğunu görebiliriz.
