İSPAT: 11'E BÖLÜNEBİLME KURALI

TEOREMLER VE İSPATLAR ➤ BÖLÜNEBİLME KURALLARI ➤ 11'E BÖLÜNEBİLME KURALI

TEOREMLER VE İSPATLAR

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

11'E BÖLÜNEBİLME KURALI

📚 Bir tam sayının 11’e kalansız bölünebilmesi için birler basamağından başlayarak, basamaklarına sırasıyla 1, 2, 3, 4... numaralarını verdiğimizde, tek numaralı (1., 3., 5. vs.) basamakların toplamı ile çift numaralı (2., 4., 6. vs.) basamakların toplamı arasındaki farkın 11’in tam katı veya 0’a eşit olması gerekir.

İSPAT

n basamaklı a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ sayısını 10’un kuvvetleri ile çözümleyelim.

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ = a_{n – 1}10^{n – 1} + a_{n – 2}10^{n – 2} + ... + a₂10² + a₁10¹ + a₀10⁰

Bu çözümlede kuvveti tek olan terimleri a_{2k – 1}(10^{2k – 1} + 1) – a_{2k – 1} ve kuvveti çift olan terimleri a^2k(10_2k – 1) + a^2k şeklinde yazalım. (n’nin tek veya çift olması ispattaki adımları değiştirmeyeceği için n’nin çift olduğunu kabul edelim.)

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ = a_{n – 1}(10^{n – 1} + 1) + a_{n – 2}(10^{n – 2} – 1) + ... + a₂(10² – 1) + a₁(10¹ + 1) + a₀(10⁰ – 1) – a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀ (1)

k bir tam sayı olmak üzere, eşitliğin sağındaki parantezlerin içinde 10^{2k – 1} + 1 ve 10^2k – 1 formlarında ifadeler görüyoruz. k’nın pozitif bir tam sayı olduğu durumlarda hem 10^{2k – 1} + 1 hem de 10^2k – 1 ifadeleri 11’e kalansız bölünür.

Ara ispat-1:

k pozitif bir tam sayı olmak üzere 10^{2k – 1} + 1 ifadesi 11’e kalansız bölünür.

Bu önermeyi ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

k = 1 için 10^{2k – 1} + 1 = 10¹ + 1 = 11 yapar.
m pozitif bir tam sayı olmak üzere, k = m için 10^{2k – 1} + 1’in 11’e kalansız bölündüğünü varsayıp

k = m + 1 için bu ifadenin 11’e kalansız bölünebildiğini gösterelim.

10^{2k – 1} + 1 ifadesi,
- k = m için 10^{2m – 1} + 1 ve
- k = m + 1 için 10^{2m + 1} + 1
olur.

10^{2m + 1} + 1’i, 10^{2m – 1} + 1 cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.

10^{2m + 1} + 1 = 100 . 10^{2m – 1} + 1 = 100 . 10^{2m – 1} + 100 – 100 + 1 = 100(10^{2m – 1} + 1) – 99 (2)

A bir tam sayı olmak üzere, 11’e kalansız bölünebildiğini varsaydığımız için 10^{2m – 1} + 1 ifadesini 11A şeklinde yazabiliriz. (2)’deki eşitliği A cinsinden yazarsak,

10^{2m + 1} + 1 = 100 . 11A – 99 = 11(100A – 9)

eşitliğini elde ederiz. 100A – 9 bir tam sayı olduğu için 11 sayısı 10^{2m + 1} + 1’in çarpanlarından biridir. Bu nedenle k = m + 1 için 10^{2k – 1} + 1 ifadesi 11’e tam bölünür.

Ara ispat-2:

k pozitif bir tam sayı olmak üzere 10^2k – 1 sayısı 11’e kalansız bölünür.

Bu önermenin doğruluğunu göstermek için de tümevarım yöntemini kullanabiliriz.

k = 1 için 10^2k – 1 = 10² – 1 = 99’dur ve 99, 11’e kalansız bölünür.
m pozitif bir tam sayı olmak üzere, k = m için bu önermenin doğru olduğunu varsayıp, k = m + 1 için doğruluğunu araştıralım. 10^2k – 1 ifadesi k = m için 10^2m – 1 ve k = m + 1 için 10^{2m + 2} – 1 olur.

10^{2m + 2} – 1 = 100 . 10^2m – 1 = 100 . 10^2m – 100 + 100 + 1 = 100(10^2m – 1) + 99

10^2m – 1’in 11’e kalansız bölünebildiğini varsaydığımız için bu ifadeyi, B bir tam sayı olmak üzere, 11B şeklinde yazalım.

10^{2m + 2} – 1 = 100 . 11B + 99 = 11(100B + 9)

Parantez içerisindeki 100B + 9, bir tam sayıya eşit olduğundan 10^{2m + 2} – 1’in çarpanlarından biri 11’dir. Buna göre, k = m + 1 için 10^2k – 1 ifadesi 11’e kalansız bölünür.

Yukarıdaki ara ispatlara göre, (1) eşitliğinin sağ tarafında parantez içerisinde kalan sayıların tamamı 11’e kalansız bölünür. C bir tam sayı olmak üzere, parantez içeren tüm terimlerin yerine 11C yazalım.

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ = 11C – a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀

“– a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀” işleminin sonucunu 11’e böldüğümüzde bölümün d ve kalanın e olduğunu varsayarsak, bu işlemi 11d + e şeklinde yazabiliriz.

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ = 11C + 11d + e = 11(C + d) + e

Bu ifadenin 11’e bölümünden kalan e’ye eşittir.

Buna göre, a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀’ın 11’e bölümünden kalan sayı “– a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀” işleminin 11’e bölümünden kalana eşittir.

“– a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀” işlemi ise, 11’e bölünebilme kuralında tanımlanan farka eşittir.

– a_{n – 1} + a_{n – 2} – ... + a₂ – a₁ + a₀ = (a_{n – 2} + a_{n – 4} + ... + a₂ + a₀) – (a_{n – 1} + a_{n – 3} + ... + a₃ + a₁)

Toplamlar arasındaki farkın 11'e bölümünden kalan 0 ise, a_{n – 1}a_{n – 2}...a₂a₁a₀ sayısı 11'e kalansız bölünür.

TEOREMLER VE İSPATLAR ➤ BÖLÜNEBİLME KURALLARI ➤ 11'E BÖLÜNEBİLME KURALI