İSPAT

n basamaklı a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ sayısının 10’un kuvvetleri ile çözümlemesini yapalım.

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ = a_{n – 1}10^{n – 1} + a_{n – 2}10^{n – 2} + ... + a₁10¹ + a₀10⁰

= a_{n – 1}(10^{n – 1} – 1) + a_{n – 2}(10^{n – 2} – 1) + ... + a₁(10¹ – 1) + a_{n – 1} + a_{n – 2} + ... + a₁ + a₀           (1)

Elde ettiğimiz ifadede parantez içerisindeki tüm sayılar 9’a kalansız bölünür.

(1)'deki parantezli terimlerin toplamına A ve parantezsiz terimlerin toplamına B diyelim.

A = a_{n – 1}(10^{n – 1} – 1) + a_{n – 2}(10^{n – 2} – 1) + ... + a₁(10¹ – 1)

B = a_{n – 1} + a_{n – 2} + ... + a₁ + a₀

A'daki terimlerin her biri 9'a kalansız bölünebildiği için bu terimlerin toplamı olan A da 9'e kalansız bölünür. Buna göre c bir tam sayı olmak üzere, A = 9c; ve a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ = 9c + B eşitliklerini yazabiliriz. 9c + B ifadesinin 9'a bölümünden kalan, B'nin 9'a bölümünden kalana eşittir. Buna göre a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀'in 9'a kalansız bölünebilmesi için B'nin 9'a kalansız bölünebilmesi gerekir. B'nin değeri ise a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ sayısının basamakları toplamına eşittir.