İSPAT

a_{n – 1}...a₁a₀, n basamaklı bir tam sayı olsun. Bu sayının 10’un kuvvetleri ile çözümlemesi aşağıdaki gibidir.

a_{n – 1}...a₁a₀ = a_{n – 1}10^{n – 1} + ... + a₁10¹ + a₀10⁰         (1)

Bu çözümlemede , a₀10⁰ = a₀ haricindeki tüm terimler 10’un pozitif tam sayı kuvvetleri ile çarpılmıştır. a₀ dışında kalan toplamı 10 parantezine alalım.

a_{n – 1}...a₁a₀ = 10(a_{n – 1}10^{n – 2} + ... + a₁10⁰) + a₀

Parantez içerisindeki ifade, bir tam sayıdır. 10 bir çift sayı olduğu için parantez içerisindeki ifadenin değeri kaç olursa olsun, 10(a_{n – 1}10^{n – 2} + ... + a₁10⁰) ifadesi çifttir ve 2’ye kalansız bölünür.

(1)'deki toplamın tek mi çift mi olduğu a₀'ın değerine bağlıdır. Çünkü bir çift sayının bir tek sayı ile toplamı tek; bir çift sayı ile toplamı çifttir. (1)'deki toplam, a₀'ın tek olduğu durumda tek ve a₀'ın çift olduğu durumda çifttir. a₀’ı çift yapan değerler 0, 2, 4, 6 ve 8’dir.

Not: Şu anda lise kazanımlarında bulunmadığı için yukarıdaki çıkarımda modüler aritmetik kullanılmamıştır.