KESİRLER


KONU 18: DENK KESİRLER VE SADELEŞTİRME

BÖLÜM 2: SADELEŞTİRME


BÖLÜM 2: SADELEŞTİRME

..., 1'den büyük bir doğal sayı olmak üzere, bir kesrin hem payının hem de paydasının ...'ya kalansız bölünebildiğini düşünelim. Bu kesrin payının ve paydasının ...’ya bölünmesine, ... ile sadeleştirme ismi verilir.

 

... kesrini 2 ile sadeleştirelim.

 

... kesrinin hem payı hem de paydası 2’ye kalansız bölünür. Bu kesri 2 ile sadeleştirebiliriz.

Payı 2’ye bölersek 6 ÷ 2 = 3 ve paydayı 2’ye bölersek 4 ÷ 2 = 2 sayısını buluruz. Dolayısıyla, ...’ü 2 ile sadeleştirdiğimizde, ... kesrini elde ederiz.

... kesrini 5 ile sadeleştirelim.

 

Payı 5’e bölersek 10 ÷ 5 = 2 ve paydayı 5’e bölersek 15 ÷ 5 = 3 sayısına ulaşırız. Bu nedenle, ...’i 5 ile sadeleştirdiğimizde, ... kesrini elde ederiz.

Aşağıdaki boşlukları dolduralım.

 

a) ... kesri, 2 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

b) ... kesri, 3 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

c) ... kesri, 4 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

ç) ... kesri, 7 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

d) ... kesri, 5 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

e) ... kesri, 11 ile sadeleştirildiğinde ...... olur.

 

SADELEŞTİRME VE DENK KESİRLER

Bir kesir, sadeleştirilmiş haline denktir.

 

NEDEN?

c özdeş parçaya bölünmüş bir bütünün b parçası bir araya geldiğinde, bu kısmın bütüne oranını ... kesriyle ifade ettiğimizi hatırlayalım. Eğer b ve c sayılarından ikisi de a'ya kalansız bölünebiliyorsa, hem bütünü hem de bu kısmı oluşturan parçaları a taneli gruplar halinde birleştirebiliriz. Bu gruplardan her birini büyük parça olarak isimlendirdiğimizde, bütünü c ÷ a büyük parçayla ve kesirle ifade edilen kısmı b ÷ a büyük parçayla gösterebiliriz. Buna göre, bu kısmın bütüne oranını ... yerine payı b ÷ a ve paydası c ÷ a olan bir kesirle de ifade edebiliriz. Payı ve paydayı aynı sayıya böldüğümüzde, gösterdiği oran değişmediği için başlangıçtakine denk bir kesir elde ederiz.

Denk Kesirler-Daireler

Örneğin, soldaki şekilde bir bütün 6 parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 4’ünün tarandığını görüyoruz. Bu şekildeki taralı kısmın bütüne oranını ... kesri ile ifade edebiliriz.

Komşu parçaları ikişer ikişer birleştirdiğimizde, daha büyük parçalardan oluşan sağdaki şekli elde ederiz. Böylece, bütünü 3 büyük parçaya ayırmış oluruz. Taralı kısım 2 büyük parçadan oluştuğu için bu kısmın bütüne oranını ... kesriyle gösterebiliriz. İki kesir de aynı oranı gösterdiğinden, sadeleştirme sonucu elde edilen kesirle, başlangıçtaki kesir birbirine denktir.

...

... kesrini sadeleştirerek, bu kesre denk bir kesir bulalım.

 

Hem pay hem de payda 3’e kalansız bölündüğünden, bu kesri 3 ile sadeleştirebiliriz. Payı 3’e böldüğümüzde 3 ÷ 3 = 1 sayısını ve paydayı 3’e böldüğümüzde 21 ÷ 3 = 7 sayısını elde ederiz. Buna göre, ... kesrini 3 ile sadeleştirdiğimizde, ... kesrine ulaşırız. Bu kesirler denk olduğu için aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

...

Sadeleştirme yaparak aşağıdaki kesirlere denk kesirler bulalım.

 

a) ...,       b) ...,       c) ...,       ç) ...,       d) ...

 

SADELEŞTİRMENİN GÖSTERİMİ

Sadeleştirme yaparken, genellikle, böldüğümüz sayının üzerini çizip sağ üstüne bölme işleminin sonucunu yazarız.

... kesrini sadeleştirelim.

 
...

Payı 2’ye bölersek 3 buluruz.

6’nın üzerini çizip sağ üstüne 3 yazalım.

...

Paydayı 2’ye bölersek 2 buluruz.

4’ün üzerini çizip sağ üstüne 2 yazalım.

... Bulduğumuz sayılarla kesri tekrar yazalım.

Yukarıda öğrendiğimiz gösterimi kullanarak, aşağıdaki kesirleri sadeleştirelim.

 

a) ...,   b) ...,   c) ...,   ç) ...,   d) ...,   e) ...,   f) ...,   g) ...,   ğ) ...,   h) ...

 

ART ARDA SADELEŞTİRMELER

Bazı kesirlerde art arda birkaç sadeleştirme yapabiliriz.

... kesrini önce 2 ve daha sonra 3 ile sadeleştirelim.

 
...

2 ile sadeleştirme

Pay: 6 ÷ 2 = 3

Payda: 12 ÷ 2 = 6

...

3 ile sadeleştirme

Pay: 3 ÷ 3 = 1

Payda: 6 ÷ 3 = 2

... Sadeleştirme sonucunda kesrin payında 1 ve paydasında 2 kaldığını görüyoruz.
 

...

... kesrini üç defa 2 ile sadeleştirelim.

 
...

2 ile sadeleştirme

Pay: 8 ÷ 2 = 4

Payda: 24 ÷ 2 = 12

...

2 ile sadeleştirme

Pay: 4 ÷ 2 = 2

Payda: 12 ÷ 2 = 6

...

2 ile sadeleştirme

Pay: 2 ÷ 2 = 1

Payda: 6 ÷ 2 = 3

... Sonuç olarak, payında 1 ve paydasında 3 olan bir kesir elde ediyoruz.
 

...

 

a) ... kesrini önce 2 ve daha sonra 5 ile sadeleştirelim.

 

b) ... kesrini önce 2 ve daha sonra 3 ile sadeleştirelim.

 

c) ... kesrini sırasıyla 2, 3 ve 2 ile sadeleştirelim.

 

ç) ... kesrini üç defa 3 ile sadeleştirelim.

 

d) ... kesrini önce 3 ve daha sonra 5 ile sadeleştirelim.

 

SADELEŞTİRME SIRASI

Sadeleştirme sırasını değiştirdiğimizde sonuç değişmez.

...’yi önce 2 ve daha sonra 3 ile sadeleştirdiğimizde ... denk kesrini elde etmiştik.

Şimdi aynı kesri önce 3 ve sonra 2 ile sadeleştirelim.

 
...

3 ile sadeleştirme

Pay: 6 ÷ 3 = 2

Payda: 12 ÷ 3 = 4

...

2 ile sadeleştirme

Pay: 2 ÷ 2 = 1

Payda: 4 ÷ 2 = 2

... Sıralamayı değiştirdiğimiz halde, aynı sonucu elde ediyoruz.

Bir kesri art arda birkaç sayıyla sadeleştirmek yerine, tek seferde bu sayıların çarpımı ile de sadeleştirebiliriz.

... kesrini 2 ve 3 ile sadeleştirdiğimizde ... elde etmiştik.

Bunun yerine, bir defada 2 × 3 = 6 ile de sadeleştirme yapabiliriz.

 
...

6 ile sadeleştirme

Pay: 6 ÷ 6 = 1

Payda: 12 ÷ 6 = 2

... Sonuçta yine aynı kesri elde ediyoruz.

... kesrini üç defa 2 ile sadeleştirerek ... kesrini elde etmiştik.

Bunun yerine, direk olarak 2 × 2 × 2 = 8 ile de sadeleştirme yapabiliriz.

 
...

8 ile sadeleştirme

Pay: 8 ÷ 8 = 1

Payda: 24 ÷ 8 = 3

... Sonuçta yine ... kesrini elde ediyoruz.
 

TAM SAYILI KESİRLERDE SADELEŞTİRME

Tam sayılı bir kesir için, kesirli kısmı sadeleştirip, tam kısmında bir değişiklik yapmadan da denk bir kesir elde edebiliriz.

... kesrini 3 ile sadeleştirelim.

 
...

3 ile sadeleştirme

Pay: 6 ÷ 3 = 2

Payda: 15 ÷ 3 = 5

... Tam kısmında bir değişiklik yapmıyoruz.
 

...

→KONU ANASAYFASINA DÖN←

Denk Kesirler ve Sadeleştirme Konusuna Git