BÖLÜM 4: ÜSLÜ SAYILARIN ÜSSÜ

Tabanı a ve kuvveti n olan bir üslü sayının m'ninci kuvveti, a'nın (n . m)'ninci kuvvetine eşittir. Başka bir deyişle, üslü bir sayının kuvvetini alırken kuvvetleri çarparız.

ÖRNEKLER:

$\mathbf{(\color{#3a5998}2^{\color{indianred}2}\color{black})^{\color{darkgoldenrod}2}\color{black}=}$ $\mathbf{\color{#3a5998}2^{\color{indianred}2\color{black}.\color{darkgoldenrod}2}\color{black}=\color{#3a5998}2^{\color{black}4}}$
$\mathbf{(\color{#3a5998}5^{\color{indianred}4}\color{black})^{\color{darkgoldenrod}-2}\color{black}=}$ $\mathbf{\color{#3a5998}5^{\color{indianred}4 \color{black}. (\color{darkgoldenrod}-2\color{black})}\color{black}=\color{#3a5998}5^{\color{black}-8}}$
$\mathbf{(\color{#3a5998}6^{\color{indianred}-3}\color{black})^{\color{darkgoldenrod}5}\color{black}=}$ $\mathbf{\color{#3a5998}6^{\color{indianred}-3\color{black}.\color{darkgoldenrod}5}\color{black}=\color{#3a5998}6^{\color{black}-15}}$
$\mathbf{(\color{#3a5998}11^{\color{indianred}-2}\color{black})^{\color{darkgoldenrod}-3}}\color{black}=$ $\mathbf{\color{#3a5998}11^{(\color{indianred}-2\color{black}) \color{black}. (\color{darkgoldenrod}-3\color{black})}\color{black}=\color{#3a5998}11^{\color{black}6}}$

NEDEN?

aⁿ'nin m'ninci kuvveti, m tane aⁿ'nin çarpımına eşittir. Tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken kuvvetleri toplarız. Buna göre, a'nın kuvveti m tane n'nin toplamına eşittir. m tane n'nin toplamı ise, n . m'dir. Dolayısıyla, aⁿ'nin m'ninci kuvveti a^{n . m}'ye eşittir.

Alıştırmalar-10

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulun.

a) $(3^7)^2$ =.....

b) $((-2)^8)^5$ =.....

c) $(6^{-5})^{-4}$ =.....

d) $(2^{-2})^3$ =.....

e) $((-6)^{2})^{-3}$ =.....

CEVAPLAR

(aⁿ)^m = a^{n . m} formülünü kullanarak bir üslü sayının tabanını değiştirebiliriz. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

ÖRNEK:

8² sayısını 2 tabanında yazalım.

8 = 2³ olduğu için 8² ifadesindeki 8 yerine 2³ yazdığımızda, bu ifade (2³)² haline dönüşür. Kuvvetleri çarparak (2³)²'nin 2⁶'ya eşit olduğunu görebiliriz.

(2³)² = 2^{3 . 2} = 2⁶

ÖRNEK:

3¹⁶ sayısını 9 tabanında yazalım.

9 = 3²'dir. 3¹⁶'yı (3²)^a şeklinde yazabilirsek, 9'un kuvvetini de bulmuş oluruz.

9^a = (3²)^a = 3^2a = 3¹⁶

Yukarıdaki eşitliğe göre, a = 16 ÷ 2 = 8'dir. Buna göre 3¹⁶'yı 9⁸ şeklinde yazabiliriz.

3¹⁶ = 9⁸

Alıştırmalar-11

Aşağıdaki eşitliklerde soru işareti yerine gelmesi gereken sayıları bulun.

a) 25⁴ = 5^?, b) 2¹² = 4^?, c) 8² = 4^?, d) 27² = 3^?, e) 3²⁷ = 27^?